Chuyên đề Định thức Toán cao cấp 1

Giới thiêu về định thứcVới một ma trận vuông cấp 2 bất kỳ, ta tìm thấy điều kiện cần và đủ để ma trận là khả nghịch. Thật vậy, xét ma trận: Ma trận A là khả nghịch khi và chỉ khi ad - bc ≠ 0. Ta gọi số này là định thức của A. Từ điều này, chúng ta muốn có một kết quả tương tự cho các ma trận lớn hơn (tức là ma trận có cấp cao hơn). Vì vậy, ta có định nghĩa định thức tương tự cho một ma trận vuông bất kỳ, nó xác định một ma trận vuông là khả nghịch hay không?Để tổng quát khái niệm cho các các cấp cao hơn, chúng ta cần phải nghiên cứu về khái niệm định thức và những tính chất nào của nó được thỏa mãn. Trước hết, chúng ta sử dụng ký hiệu sau đây cho định thức.Định thức của a c b d = det a c b d = a c b d = ad - bcCác tính chất của định thức1.Định thức của ma trận A bất kỳ và chuyển vị của nó là bằng nhau, nghĩa là Từ tính chất này ta suy ra sử dụng dòng hay cột để tính định thức đều được. Đặc biệt ta sẽ thấy các phép biến đổi cơ bản trên hàng hữu hiệu thế nào trong việc tìm định thức. Do đó, ta có những kết quả tương tự cho các phép biến đổi cơ bản trên cột.2.Định thức của ma trận tam giác là tích của các phần tử trên đường chéo, tức là 3.Nếu ta đổi chỗ hai dòng thì định thức đổi dấu, tức là 4.Nếu ta nhân vào một dòng với một số, định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ nhân với số đó, tức là. Đặc biệt, nếu tất cả các phần tử trong một dòng là số 0 thì định thức bằng 0.5.Nếu ta cộng vào một dòng với dòng khác nhân một số thì định thức của ma trận mới sẽ bằng định thức của ma trận cũ, tức 6.Ta có Đặc biệt, nếu A là khả nghịch (điều này xảy ra nếu và chỉ nếu det A ≠ 0), khi đó Nếu A và B tương tự, khi đó Ta lấy ví dụ để hiểu rõ hơn về các tính chất trên.Ví dụ. Tính Chúng ta hãy đưa ma trận này về ma trận tam giác qua các phép biến đổi cơ bản. Ta giữ lại dòng 1 và lấy dòng 1 nhân với 12 rồi cộng vào dòng 2. Ta được Sử dụng tính chất 2, ta được Vì vậy, ta có ta có thể dễ dàng kiểm tra lại kết quả.Định thức của các ma trận cấp cao hơn sẽ được trình bày ở mục . Định thức của các ma trận cấp caoNhư đã trình bày trước đó, mong muốn của chúng ta là những tính chất của định thức đã đúng với ma trận cấp 2 vẫn còn đúng với một ma trận vuông tổng quát. Nói cách khác, chúng ta giả định:1.Định thức của ma trận A bất kỳ và chuyển vị của nó là bằng nhau, tức là 2.Định thức ma trận tam giác là tích của các phần tử trên đường chéo.3.Nếu ta đổi chỗ hai dòng thì định thức đổi dấu.4.Nếu ta nhân vào một dòng với một số, định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ nhân với số đó.5.Nếu ta cộng vào một dòng với dòng khác nhân một số thì định thức của ma trận mới sẽ bằng định thức của ma trận cũ.6.Ta có Đặc biệt, nếu A là khả nghịch (điều này xảy ra nếu và chỉ nếu det A ≠ 0), khi đó Vì vậy, chúng ta hãy xét một ma trận cấp 4.Ví dụ. Tính Ta có Nếu ta lấy mỗi dòng trừ cho dòng đầu nhân với một số thích hợp, ta được Ta giữ lại dòng đầu, biến đổi trên những dòng còn lại. Đổi dòng 2 với dòng 3, ta được Nếu ta lấy mỗi dòng trừ cho dòng thứ 2 nhân với một số thích hợp, ta được Sử dụng tính chất trước đây, ta được Nếu ta nhân dòng thứ ba với 13 và cộng vào dòng thứ tư, ta được định thức này bằng 3. Như vậy, định thức ban đầu là Những tính toán dường như là khá dài. Sau này ta sẽ thấy có một công thức dùng để tính định thức của ma trận.Ví dụ. Tính Trong ví dụ này, những phép biến đổi cơ bản không được trình bày chi tiết. Ta có Ví dụ. Tính Ta có Công thức chung để tính định thức Cho A là một ma trận vuông cấp n . Ta viết A = (aij), trong đó aij là phần tử ở dòng i và cột j, với i = 1, …, n và j = 1, …, n. Với mỗi i, j ta đặt Aij (gọi là phần bù đại số) là định thức cấp (n-1) có được từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j nhân với (-1)i+j. Ta có với i cố định, và với k cố định. Nói cách khác, chúng ta có hai công thức: công thức khai triển theo dòng (thứ i) hoặc khai triển theo cột (thứ j). Ta khai triển theo bất kỳ dòng nào hoặc cột nào đều được. Bí quyết là sử dụng dòng nào hoặc cột nào có nhiều số không nhất.Đặc biệt, ta có công thức khai triển theo dòng Hoặc Hoặc Như một bài tập, hãy viết các công thức khai triển theo cộtVí dụ. Tính Ta sử dụng công thức khai triển theo dòng thứ ba. Ta có Có kỹ thuật để tính định thức dễ dàng hơn không?. Câu trả lời là phụ thuộc vào định thức được yêu cầu tính. Có những định thức nên dùng các phép biến đổi cơ bản, có những định thức nên dùng công thức khai triển. Tất cả những vấn đề đó là để có được câu trả lời chính xác.Lưu ý: Tất cả các tính chất ở trên vẫn đúng trong trường hợp tổng quát. Ngoài ra, ta nên nhớ rằng các khái niệm của định thức chỉ tồn tại cho ma trận vuông.Định thức ma trận và ma trận khả nghịch.Tìm ma trận nghịch đảo là vẫn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học. ví dụ giải mã một tin nhắn ta tìm ma trận nghịch đảo. Xét ma trận vuông. Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu và chỉ nếu . Ngoài ra nếu A có cấp n, khi đó Ai,j được định nghĩa là ma trận cấp n-1 tạo thành từ ma trận A bằng cách bỏ đi phần tử nằm ở dòng I cột j. Nhắc lại với mọi I cố định và với mọi j cố định. Định nghĩa ma trận chuyển vị của A, kí hiệu adj(A).Ví dụ. Cho Ta có Lấy giá trị . Ta có Chú ý rằng . Do đó ta có Định nghĩa chuyển vị của ma trận A kí hiệu adj(A), là ma trận mà phần tử dòng i cột j là phần tử dòng j cột i của ma trận ban đầu.Định lí. Với mọi ma trận A cấp n, ta có Đặc biệt, nếu , khi đó Cho ma trận vuông cấp hai, ta có điều này dẫn đến Đây là công thức đã dùng ở trang trước. Trong trang tiếp theo, chúng ta thảo luận ứng dụng công thức trên vào hệ tuyến tính.Ứng dụng của định thức tới hệ phương trình: Qui tắc Cramer.Chúng ta thấy rằng định thức là hữu ích trong việc tìm ma trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch. Ta có thể sủ dụng sự tìm kiếm này trong việc giải hệ phương trình tuyến tính cho ma trận hể số khả nghịch. Xét hệ tuyến tính( dưới dạng ma trận) A X = B trong đó A là ma trận hệ số, B là ma trận hạn cột tự do, và X ma trận cột ẩn. Ta có: Dịnh lí. Hệ tuyến tính AX = B có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu A là ma trận khả nghịch. Trong trường hợp này, nghiệm được cho bởi quy tắc định thức Cramer: trong đó xi là nghiệm của hệ hoặc là một phần tử của X, và ma trận Ai được xác định từ A bằng cách thay thế cột thứ I bởi ma trận cột B. Khi đó, ta có với bi những phần tử của B. Đặc biệt, nếu hệ tuyến tính AX = B là thuần nhất, nghĩa là , khi đó nếu A khả nghịch, nghiệm duy nhất của hệ là tầm thường , đó là . Do đó nếu ta ta tìm nghiệm khác 0 của hệ, ma trận hệ số A phải khả nghịch.Ta cũng biết rằng điều này xảy ra néu và chỉ nếu . Đây là kết quả quan trọng. Ví dụ. Giải hệ phương tình tuyến tính. Giải. Trước hết, chú ý rằng điều này chỉ ra ma trận hệ số khả nghịch. Sử dụng công thức Cramer. Ta có và nghiệm là Chú ý rằng, dễ thấy z=0. Thật vậy, sự xác định cho z có hai dòng giống nhau ( dòng 1 và dòng cuối). Ta cố gắng kiểm tra giá trị tìm được của x, y, và z là nghiệm của hệ cho trước. Chú ý. Quy tắc Cramer chỉ sử dụng cho hệ tuyến tính mà ma trận hệ số khả nghịch.Giá trị riêng và vectơ riêng: Giới thiệu. Bài toán giá trị riêng là vấn đề đáng quan tâm về lí thuyết và ứng dụng rộng rãi. Ví dụ, vấn đề này là quan trọng trong việc giải hệ phương trình vi phân, phân tích mô hình tăng trưởng dân số và tính toán bậc của ma trận ( trong việc xác định lũy thừa ma trận). Các lĩnh vực khác như vật lí, xã hội học, sinh học, kinh tế và thống kê đã tập trung sự chú ý đáng kể vào giá trị riêng và vectơ riêng trong các ứng dụng và tính toán của chúng. Trước khi cung cấp khái niệm chính thức, chúng tôi giới thiệu khái niệm này trong một ví dụ.Ví dụ. Xét ma trận Xét ba cột của ma trận Ta có Suy ra Tiếp theo xét ma trận P có các cột là C1, C2, và C3, Ta có det(P) = 84. Nên ma trận khả nghịch. Tính toán đơn giản Tiếp theo tính P-1AP ta có Sử dụng ma trận tích, ta được điều này chỉ ra A đồng dạng với một ma trận chéo. Đắc biệt, ta có với . Chú ý rằng không thể tìm A75 , một cách trực tiếp từ dạng ban đầu của A. Ví dụ này là phong phú để kết luận nhiều câu hỏi đặt ra một cách tự nhiên.Ví dụ , cho trước ma trận vuông A, làm thế nào để tìm ma trận cột đồng dạng với những cái ở trên? Nói cách khác, làm thế nào để tìm ma trận cột giúp ta tìm ma trận khả nghịch P sao cho P-1AP là ma trận chéo? Từ bây giờ, chúng tôi sẽ gọi ma trận cột vectơ. Vì vậy các cột ma trận C1, C2, và C3 là các vectơ. Chúng ta có định nghĩa. Định nghĩa. Cho A là ma trận vuông. Một vectơ C khác 0 được gọi là vectơ riêng của A nếu và chỉ nếu tồn tại một số ( thực hoặc phức) sao cho mỗi giá trị là giá trị riêng của A. Vectơ C được gọi là vectơ triêng của A tương ứng với giá trị riêng . Chú ý. Vectơ riêng C phải khác 0 bởi vì ta có với bất kì số . Ví dụ. Xét ma trận Ta thấy rằng trong đó Dó đó C1 là vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng 0. C2 là vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng -4 , C3 là vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng 3. Lệu có thể tìm được tất cả các giá trị riêng trên không. Trong phần tiếp theo sẽ thảo luận về điều này.Tính các giá trị riêng Cho ma trận vuông A có cấp n, số là giá trị riêng nếu và chỉ nếu tồn tại một vectơ C khác 0 sao cho Sử dụng tính chât của tích hai ma trận, ta thu được Đây là hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số Chúng ta cũng biết rằng hệ này có một nghiệm nếu và chỉ nếu ma trận hệ số khả nghịch, tức là Bởi vì vectơ 0 là một nghiệm C không là vectơ 0, nên ta phải có Ví dụ. Xét ma trận Phương trình tương đương với tương đương với phương trình bậc hai Giải phương trình này dẫn đến Nói cách khác, ma trận A chỉ có hai giá trị riêng. Tông quát, cho ma trận vuông A cấp n, phương trình cho nghiệm là giá trị riêng của A. Phương trình này được gọi là phương trình đặc trung hay đa thức đặc trưng của A. Đó là hàm đa thức bậc n. Ta biết rằng phương trình này có nhiều nhất n nghiệm. Do đó ma trận vuông A cấp n sẽ có không quá n giá trị riêng. Ví dụ. Xét ma trận đường chéo Đa thức đặc trưng của nó là Nên giá trị riêng của D a là a, b, c, và d, là các phần tử trên đường chéo. Kết quả này là đúng cho mọi ma trận chéo có cấp tùy ý. Nên tùy thuộc vào giá trị trên đường chéo, bạn có thể có mọt, hai hay nhiều hơn các giá trị riêng.Nhận xét. Thật là tuyệt vời khi thấy rằng ma trận A có cùng giá trị riêng với ma trận chuyển vị AT của nó bởi vì Cho bất kì ma trận cấp 2, A, trong đó đa thức đặc trưng được cho bởi phương trình Số (a+d) được gọi là vết A (denoted tr(A)), và rõ ràng số (ad-bc) là định thức của A. Nên đa thức đặc trưng của A có thể được viết lại như sau Cho giá trị của ma trậnB = A2 - tr(A) A + det(A) I2. Ta có Ta dẫn đến Nói cách khác, ta có Phương trình này được gọi là định lí Cayley-Hamilton . Nó đúng cho mọi ma trận vuông có cấp tùy ý. trong đó là đa thức đặc trưng của A. Ta có một số tính chất của các giá trị riêng của một ma trận.Định lí. Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu là một giá trị riêng của A, thì: 1. là giá trị riêng của Am, với 2. Nếu A khả nghịch, thì là giá trị riêng của A-1. 3. A không khả nghịch nếu và chỉ nếu là một giá trị riêng của A. 4. Nếu là một số tùy ý, thì là một giá trị riêng của . 5. Nếu A và B là đồng dạng nhau, then they have thì chúng có cùng đa thức đặc trưng (điều này đãn đến có cùng giá trị riêng). Câu hỏi tự nhiên tiếp theo là tìm vectơ riêng. Trong phần tiếp theo sẽ thảo luận về vấn đề tìm vectơ riêng.Tính vectơ riêng. Co ma trận A vuông cấp n và là một giá trị riêng của nó. X là vectơ riêng của A ứng với . Ta phải có Đây là hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số là . Bởi vì vectơ 0 alf một nghiệm, hệ này có nghiệm. Thật vậy, ta sẽ đề cập trong trang khác là ccấu trúc nghiệm của hệ là phong phú. Trong phanà này ta thảo luận vần đề có bản là tìm nghiệme. Nhận xét. Khá dễ dàng để thấy rằng nếu X là một vectơ thỏa mãn , thì vectơ Y = c X (cho mọi số c tùy ý) thỏa mãn cùng phương trình . Nói cách khác, nếu ta biết X là một vectơ riêng, thì cX cũng là một vectơ tương ứng với cũng vectơ riêng. Chúng ta bắt đầu với một ví dụ. Ví dụ. Xét ma trận Trước hết ta tìm giá trị riêng của A. Chúng là nghiệm của đa thức đặc trưng Suy ra Nếu ta khai triên định thức này theo cột thứ ba, ta được Sử dụng biến đổi đại số, ta có dẫn đến các giá trị rieneg của A là 0, -4, và 3. Tiếp theo ta tìm các vectơ riêng. 1. Trường hợp : Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính điều này có thể được viết lại bởi Có nhiều cách để giải hệ phương trình này. Phương trình thứ ba là đồng nhất với phương trình đầu . Vì vậy, từ phương trình thứ hai, ta có y = 6x, phương trình đầu dẫn đến 13x + z = 0. Nên hệ này tương đương với Do đó vectơ X được cho bởi Vì vậy, bất kì giá trị riêng X của A tương ứng với giá trị riêng 0 được cho bởi trong đó c là một số tùy ý. 2. Trường hợp : Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ điều này có thể được viết lại Trong trường hợp này, ta sử dụng phương pháp khử để giải. Tước hết ta xét ma trận bổ sung , đó là Ta sử dụng phép biến đỏi trên dòng để nhận được ma trận chéo. Chuyển đổi các dòng cho nhau ta được Tiếp, ta lấy dòng đầu nhân với 5 cộng vào dòng thứ hai, nhân với 6 rồi cộng vào dòng ba. Thu được Nếu giản ước dòng thứ hai cho 8, dòng thứ ba cho 9, ta được Cuối cùng, trừ dòng thứ hai cho dòng thứ ba Tiếp, ta đặt z = c. Từ dòng thứ hai, nhận được y = 2z = 2c. dòng đầu nhạn được x = -2y+3z = -c. Do vậy Vì thế, bất kì vectơ riêng X của A tương ứng với giá trị riêng -4 được cho bởi trong đó c là một só bất kì. 2. Trường hợp : Giải chi tiết dành cho bạn đọc. Sử dụng mô tả tương tự trên, một vectơ riêng X of A tương ứng với 3 được cho bởi trong đó c là một số bất kì. Nhận xét. Tổng quát, giá trị riêng của ma trận là tất cả các nghiệm phân biệt của phương trình đặc trưng. Ví dụ. Xét ma trận Phương trình đặc trưng của A cho bởi Do đó giá trị riêng của A là -1 và 8. Với giá trị riêng 8, dễ thấy rằng bất kì vectơ riêng X được cho bởi trong đó c là một số tùy ý. Ta tập trung vào giá trị riêng -1. Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ điều này được viết lại Rõ ràng, phương trình thứ ba và hai tương đương với phương trình đầu . Nói cách khác hệ này, hệ này tương đương với mọt phương trình 2x+y + 2z= 0. ĐỂ giải nó, ta chọn hia số cố định trước và tìm số thứ ba. Ví dụ, nếu ta ðặt và , ta được . Do đó, bất kì vectơ riêng X của A tương ứng với giá trị riêng -1 cho bởi Nói cách khác, với mọi vectơ riêng X của A ứng với giá trị riêng -1 là tôe hợp tuyến tính của hai vectơ trên Ví dụ. Xét ma trận Phương trình đặc trưng cho bởi Do đó ma trận A có một giá trị riêng -3. Ta tìm vectơ riêng tương ứng. Chúng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính được viết lại như sau Hệ này tương đương với mọt phương trình duy nhất của hệ x - y = 0. Nên nếu đặt x = c, thì bất kì vectơ riêng X của A tương ứng với giá trị riêng -3 được cho bởi Tổng kết lại các ví dụ trên. Tóm tắt: Cho A là ma trận vuông cấp n. Giả sử là một giá trị riêng của A. Để tìm vectơ riêng tương ứng, ta làm các bước sau: 1. Viết hệ phương trình tương ứng 2. Giải hệ phương trình. 3. Viết lại vectơ X dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ đữ biết. Trong các ví dụ trên, giả sử rằng các giá trị riêng là số thực. Tổng quát, this is not the case except for symmetric matrices.Chứng minh điều này là phức tập, chỉ dễ dàng với ma trận vuông cấp 2.Xét ma trận vuông đối xứng Phương trình đặc trưng của nó Đây là phương trình bậc hai. Nghiệm phụ thuộc vào dấu của định thức Biến đổi đại số ta được Do đó, là một số dương, suy ra giá trị riêng của A là nững số thực. Nhận xét. Chú ý rằng ma trận A có một giá trị riêng, đó là nghiệm kép của phương trình, nếu và chỉ nếu . Nhưng điều này chỉ có thể a=c và b=0. Nói cách khác, Ta cóA = a I2. Phần tiếp theo sẽ thảo luận về giá trị riêng phức. TRƯỜNG HỢP GIÁ TRỊ RIÊNG PHỨC Trước tiên, ta chứng tỏ rằng tồn tại ma trận với các giá trị riêng phức .Ví dụ. Hãy xét ma trận Phương trình đặc trưng được cho bởi Phương trình bậc hai này có nghiệm phức được cho bởi Vì vậy ma trận chỉ có giá trị riêng phức.Bí quyết là chúng ta xem các giá trị riêng phức như là số thực. Nghĩa là chúng ta xem nó như là một con số và làm các tính toán bình thường cho các vectơ riêng. Ta hãy xem nó được tính toán như thế nào.Với , các vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính tính.A X = (1+2i) XCó thể viết lại như sau Thực ra, hai phương trình trên là đồng nhất vì (2+2i)(2-2i) = 8. Vì vậy, hệ phương trình giảm xuống còn một phương trình(1-i)x - y = 0Đặt x=c, khi đó y=(1-i)c. Do đó, ta có trong đó c là một số tùy ý.Nhận xét. Rõ ràng là mong đợi có các phần tử phức trong các vectơ riêng . Chúng ta thấy rằng (1-2i) cũng là một giá trị riêng của ma trận trên. Vì các phần tử của ma trận A là số thực, khi đó ta dễ dàng chỉ ra rằng nếu là một giá trị riêng phức thì liên hợp của nó cũng là một giá trị riêng. Hơn nữa, nếu X là một vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng , khi đó vector , có được từ X bằng thay số phức liên hợp của các phần tử của X, là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng . Vì vậy, các vectơ riêng các ma trận A ở trên ứng với giá trị riêng (1-2i) được cho bởi trong đó c là một số tùy ý.Chúng ta tóm tắt lại những gì đã làm trong ví dụ trên.Tóm tắt: Cho A là một ma trận vuông. Giả sử là một giá trị riêng phức của A. Để tìm các vectơ riêng tương ứng, ta làm theo các bước sau đây:1.Viết ra hệ phương trình tuyến tính tương ứng. 2.Giải hệ phương trình. Các phần tử của X sẽ là những số phức .3.Viết lại vectơ X là tổ hợp tuyến tính của các vectơ chưa biết với các phần tử là số phức.4.Nếu A có phần tử là số thực thì số phức liên hợp cũng là một giá trị riêng. Các vectơ riêng tương ứng được cho bởi các phương trình tương ứng, được tìm thấy trong 3, ta lấy liên hợp của các phần tử của vectơ rồi tổ hợp tuyền tính lại.Nói chung, một ma trận vuông với các phần tử là những số thực vẫn có thể có giá trị riêng phức. Điều này là bình thường. Ta có thể đặt câu hỏi liệu có tồn tại lớp các ma trận chỉ có giá trị riêng thực. Điều này chỉ đúng với ma trận đối xứng. Chứng minh rất kỹ thuật và được trình bày trong một trang khác. Nhưng đối với ma trận vuông cấp 2, chứng minh là khá dễ . Chúng ta sẽ trình bày dưới đây.Xét ma trận vuông đối xứng Phương trình đặc trưng của nó được cho bởi Đây là một phương trình bậc hai. Nghiệm của nó (là những giá trị riêng của A) phụ thuộc vào các dấu hiệu của biệt thức  Sử dụng các thao tác đại số, ta có Vì  là một số dương nên ta suy ra các giá trị riêng của A là các số thực.Nhận xét. Lưu ý rằng ma trận A sẽ có một giá trị riêng, tức là phương trình đặc trưng có nghiệm kép, nếu và chỉ nếu . Nhưng điều này chỉ xảy ra nếu a = c và b = 0. Nói cách khác, ta cóA = a I2Chéo hóa Ma trậnKhi giới thiệu về các giá trị riêng và các vectơ riêng , ta sẽ đặt câu hỏi khi nào thì ma trận vuông đồng dạng tương đương với ma trận chéo? Nói cách khác, cho trước một ma trận vuông A, có tồn tại một ma trận chéo D sao cho ? (tức là có tồn tại một ma trận P khả nghịch sao cho A = P-1DP).Nói chung, một số ma trận không tương tự như ma trận đường chéo. Ví dụ, ta xét ma trận Giả sử tồn tại một ma trận chéo D sao cho A = P-1DP. Ta có tức là đồng dạng với . Vì vậy, chúng có cùng một phương trình đặc trưng. Do đó A và D có cùng một giá trị riêng. Vì các giá trị riêng của D là các số trên đường chéo, và giá trị riêng duy nhất của A là 2, nên ta phải có Như vậy ta có, A = P-1DP = 2 I2, . Điều này là vô lý. Do đó, A không đồng dạng với ma trận chéo.Định nghĩa. Một ma trận chéo hóa được nếu nó là đồng dạng với một ma trận chéo.Nhận xét. Ở mục trước, ta đã thấy rằng các ma trận có ba giá trị riêng khác nhau. Và ta cũng đã chưng minh A là chéo hóa được. Trong thực tế, có một kết quả chung dọc theo những dòng.Định lý. Cho A là một ma trận vuông cấp n . Giả sử rằng A có n giá trị riêng phân biệt. Khi đó A là chéo hóa được. Hơn nữa, nếu P là ma trận với các cột C1, C2, ..., và Cn là n vectơ riêng của A, khi đó ma trận P-1AP là ma trận chéo. Nói cách khác, ma trận A là chéo hóa được.Bài toán: Điều gì sẽ xảy ra với các ma trận vuông cấp n có ít hơn ít hơn n giá trị riêng?Chúng ta có câu trả lời một phần cho bài toán này.Định lý. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Để biết được liệu A có chéo hóa được không, chúng ta làm các bước sau:1.Ghi lại các đa thức đặc trưng 2. Phân tích thành nhân tử p( ) . Trong bước này, ta có trong đó, mỗi  i , i = 1, …, k , có thể là số thực hoặc số phức. Với mỗi i, lũy thừa ni được gọi là số bội (đại số) của giá trị riêng  i .3.Với mỗi giá trị riêng, tìm các vectơ riêng tương ứng. Chẳng hạn, với các giá trị riêng  i, các vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính Sau đó giải hệ trên, ta sẽ tìm được vectơ X chưa biết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ, tức là , trong đó,  j , j = 1, …, m i là các hằng số tùy ý .Số nguyên mi được gọi là số bội hình học của  i. 4.Nếu với mỗi giá trị riêng số bội đại số bằng số bội hình học, khi đó ta có điều này suy ra nếu ta đặt các vectơ riêng C j, tìm được trong 3., cho tất cả các giá trị riêng, ta sẽ có đúng n vectơ. Đặt P là ma trận vuông cấp n mà các cột là các vectơ riêng C j. Khi đó P là khả nghịch và là một ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo là các giá trị riêng của A. Vị trí của các vectơ C j ở trong P đồng nhất với vị trí của các giá trị riêng tương ứng trên đường chéo của D. Điều này suy ra A đồng dạng với D. Vì vậy, A chéo hóa được. Nhận xét. Nếu số bội đại số ni các giá trị riêng  i là bằng 1, khi đó rõ ràng là chúng ta có mi = 1. Nói cách khác, ni = mi.5.Nếu có giá trị riêng nào mà số bội đại số không bằng số bội hình học, khi đó A không chéo hóa được.Ví dụ. Ta xét ma trận Để biết được liệu A có chéo hóa được không, chúng ta thực hiện theo các bước như trên.1.Đa thức đặc trưng của A là Như vậy, -1 là một giá trị riêng với số bội là 2 và -2 là một giá trị riêng với số bội là 1.2.Để biết được liệu A có chéo hóa được không, ta chỉ quan tâm đến giá trị riêng -1. Thật vậy, các vectơ riêng tương ứng vơi giá trị riêng -1, được cho bởi hệ Hệ này giảm xuống còn một phương trình -y + z = 0. Đặt và y =  , khi đó ta có Vì số bội hình học của -1 là 2 bằng số bội đại số của nó. Vì vậy, ma trận A là chéo hóa được. Để tìm ra P ma trận, chúng ta cần phải tìm vectơ riêng ứng vơi giá trị riêng -2. Hệ phương trình tương ứng là giảm xuống thành hệ .Đặt , khi đó ta có Đặt khi đó Nhưng nếu ta đặt khi đó Chúng ta thấy rằng nếu A và B là đồng dạng, khi đó An có thể biểu diễn dễ dàng qua Bn. Thật vậy, nếu ta có A = P-1BP, khi đó ta sẽ có An = P-1BnP. Đặc biệt, nếu D là một ma trận chéo thì Dn dễ dàng tính được. Đây là một trong những ứng dụng của sự chéo hóa ma trận. Trong thực tế, các bước giải trên có thể được sử dụng để tìm căn bậc hai và căn bậc ba của một ma trận. Thật vậy, xét ma trận ở trên Đặt khi đó Do đó A = P D P-1 Đặt Khi đó ta có B3 = ANói cách khác, B là một căn bậc ba của A.Biên soạn: Cao Văn TúTrường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.comWebsite: www.caotu95.blogspot.com

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com

Giới thiêu về định thức

Với một ma trận vuông cấp 2 bất kỳ, ta tìm thấy điều kiện cần và đủ để ma trận là khả nghịch Thật vậy, xét ma trận:

Ma trận A là khả nghịch khi và chỉ khi ad - bc ≠ 0 Ta gọi số này là định thức của A Từ điều này,

chúng ta muốn có một kết quả tương tự cho các ma trận lớn hơn (tức là ma trận có cấp cao hơn) Vì vậy,

ta có định nghĩa định thức tương tự cho một ma trận vuông bất kỳ, nó xác định một ma trận vuông là khảnghịch hay không?

Để tổng quát khái niệm cho các các cấp cao hơn, chúng ta cần phải nghiên cứu về khái niệm định thức và những tính chất nào của nó được thỏa mãn Trước hết, chúng ta sử dụng ký hiệu sau đây cho định thức.

Định thức của = det = = ad - bc

Các tính chất của định thức

1 Định thức của ma trận A bất kỳ và chuyển vị của nó là bằng nhau, nghĩa là

Từ tính chất này ta suy ra sử dụng dòng hay cột để tính định thức đều được Đặc biệt ta sẽ thấy các phép biến đổi cơ bản trên hàng hữu hiệu thế nào trong việc tìm định thức Do đó, ta có những kết quả tương tự cho các phép biến đổi cơ bản trên cột

2 Định thức của ma trận tam giác là tích của các phần tử trên đường chéo, tức là

3 Nếu ta đổi chỗ hai dòng thì định thức đổi dấu, tức là

nhân với số đó, tức là.

Đặc biệt, nếu tất cả các phần tử trong một dòng là số 0 thì định thức bằng 0

5 Nếu ta cộng vào một dòng với dòng khác nhân một số thì định thức của ma trận mới sẽ bằng định thức của ma trận cũ, tức

6 Ta có

Đặc biệt, nếu A là khả nghịch (điều này xảy ra nếu và chỉ nếu det A ≠ 0), khi đó

Nếu A và B tương tự, khi đó

Ta lấy ví dụ để hiểu rõ hơn về các tính chất trên

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com

Vì vậy, ta có

ta có thể dễ dàng kiểm tra lại kết quả

Định thức của các ma trận cấp cao hơn sẽ được trình bày ở mục

Định thức của các ma trận cấp cao

Như đã trình bày trước đó, mong muốn của chúng ta là những tính chất của định thức đã đúng với ma trận cấp 2 vẫn còn đúng với một ma trận vuông tổng quát Nói cách khác, chúng ta giả định:

1 Định thức của ma trận A bất kỳ và chuyển vị của nó là bằng nhau, tức là

2 Định thức ma trận tam giác là tích của các phần tử trên đường chéo

3 Nếu ta đổi chỗ hai dòng thì định thức đổi dấu

4 Nếu ta nhân vào một dòng với một số, định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ nhân với số đó

5 Nếu ta cộng vào một dòng với dòng khác nhân một số thì định thức của ma trận mới sẽ bằng định thức của ma trận cũ

6 Ta có

Đặc biệt, nếu A là khả nghịch (điều này xảy ra nếu và chỉ nếu det A ≠ 0), khi đó

Vì vậy, chúng ta hãy xét một ma trận cấp 4

Ví dụ Tính

Ta có

Nếu ta lấy mỗi dòng trừ cho dòng đầu nhân với một số thích hợp, ta được

Ta giữ lại dòng đầu, biến đổi trên những dòng còn lại Đổi dòng 2 với dòng 3, ta được

Nếu ta lấy mỗi dòng trừ cho dòng thứ 2 nhân với một số thích hợp, ta được

Sử dụng tính chất trước đây, ta được

Nếu ta nhân dòng thứ ba với 13 và cộng vào dòng thứ tư, ta được

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com

định thức này bằng 3 Như vậy, định thức ban đầu là

Những tính toán dường như là khá dài Sau này ta sẽ thấy có một công thức dùng để tính định thức của

là phần tử ở dòng i và cột j, với i = 1, …, n và j = 1, …, n Với mỗi i, j ta đặt Aij (gọi là phần bù đại

số) là định thức cấp (n-1) có được từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j nhân với (-1)i+j Ta có

với i cố định, và

với k cố định Nói cách khác, chúng ta có hai công thức: công thức khai triển theo dòng (thứ i) hoặc khai triển theo cột (thứ j) Ta khai triển theo bất kỳ dòng nào hoặc cột nào đều được Bí quyết là sử dụng dòng nào hoặc cột nào có nhiều số không nhất

Đặc biệt, ta có công thức khai triển theo dòng

Hoặc

Hoặc

Như một bài tập, hãy viết các công thức khai triển theo cột

Ví dụ Tính

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com

Ta sử dụng công thức khai triển theo dòng thứ ba Ta có

Có kỹ thuật để tính định thức dễ dàng hơn không? Câu trả lời là phụ thuộc vào định thức được yêu cầu tính Có những định thức nên dùng các phép biến đổi cơ bản, có những định thức nên dùng công thức khai triển Tất cả những vấn đề đó là để có được câu trả lời chính xác

Lưu ý: Tất cả các tính chất ở trên vẫn đúng trong trường hợp tổng quát Ngoài ra, ta nên nhớ rằng các

khái niệm của định thức chỉ tồn tại cho ma trận vuông

Định thức ma trận và ma trận khả nghịch.

Tìm ma trận nghịch đảo là vẫn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học ví dụ giải mã một tin nhắn

ta tìm ma trận nghịch đảo Xét ma trận vuông Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu và chỉ nếu

Ngoài ra nếu A có cấp n, khi đó Ai,j được định nghĩa là ma trận cấp n-1 tạo thành từ ma

Lấy giá trị Ta có

Chú ý rằng Do đó ta có

Định nghĩa chuyển vị của ma trận A kí hiệu adj(A), là ma trận mà phần tử dòng i cột j là phần tử dòng j

cột i của ma trận ban đầu

Định lí Với mọi ma trận A cấp n, ta có

Đặc biệt, nếu , khi đó

Cho ma trận vuông cấp hai, ta có

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com

điều này dẫn đến

Đây là công thức đã dùng ở trang trước

Trong trang tiếp theo, chúng ta thảo luận ứng dụng công thức trên vào hệ tuyến tính

Ứng dụng của định thức tới hệ phương trình: Qui tắc Cramer.

Chúng ta thấy rằng định thức là hữu ích trong việc tìm ma trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch Ta cóthể sủ dụng sự tìm kiếm này trong việc giải hệ phương trình tuyến tính cho ma trận hể số khả nghịch Xét hệ tuyến tính( dưới dạng ma trận)

A X = B

trong đó A là ma trận hệ số, B là ma trận hạn cột tự do, và X ma trận cột ẩn Ta có:

Dịnh lí Hệ tuyến tính AX = B có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu A là ma trận khả nghịch Trong trường

hợp này, nghiệm được cho bởi quy tắc định thức Cramer:

trong đó xi là nghiệm của hệ hoặc là một phần tử của X, và ma trận Ai được xác định từ A bằng cách thay thế cột thứ I bởi ma trận cột B Khi đó, ta có

với bi những phần tử của B

Đặc biệt, nếu hệ tuyến tính AX = B là thuần nhất, nghĩa là , khi đó nếu A khả nghịch, nghiệm

duy nhất của hệ là tầm thường , đó là Do đó nếu ta ta tìm nghiệm khác 0 của hệ, ma trận hệ số

A phải khả nghịch.Ta cũng biết rằng điều này xảy ra néu và chỉ nếu Đây là kết quả quan trọng

Ví dụ Giải hệ phương tình tuyến tính.

Giải Trước hết, chú ý rằng

điều này chỉ ra ma trận hệ số khả nghịch Sử dụng công thức Cramer Ta có

và nghiệm là

Chú ý rằng, dễ thấy z=0 Thật vậy, sự xác định cho z có hai dòng giống nhau ( dòng 1 và dòng cuối) Ta

cố gắng kiểm tra giá trị tìm được của x, y, và z là nghiệm của hệ cho trước

Chú ý Quy tắc Cramer chỉ sử dụng cho hệ tuyến tính mà ma trận hệ số khả nghịch.

Giá trị riêng và vectơ riêng: Giới thiệu.

Bài toán giá trị riêng là vấn đề đáng quan tâm về lí thuyết và ứng dụng rộng rãi Ví dụ, vấn đề này là quan trọng trong việc giải hệ phương trình vi phân, phân tích mô hình tăng trưởng dân số và tính toán

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com

bậc của ma trận ( trong việc xác định lũy thừa ma trận) Các lĩnh vực khác như vật lí, xã hội học, sinh học, kinh tế và thống kê đã tập trung sự chú ý đáng kể vào giá trị riêng và vectơ riêng trong các ứng dụng

và tính toán của chúng Trước khi cung cấp khái niệm chính thức, chúng tôi giới thiệu khái niệm này trong một ví dụ

ta có

Sử dụng ma trận tích, ta được

điều này chỉ ra A đồng dạng với một ma trận chéo Đắc biệt, ta có

với Chú ý rằng không thể tìm A75 , một cách trực tiếp từ dạng ban đầu của A

Ví dụ này là phong phú để kết luận nhiều câu hỏi đặt ra một cách tự nhiên.Ví dụ , cho trước ma trận

vuông A, làm thế nào để tìm ma trận cột đồng dạng với những cái ở trên? Nói cách khác, làm thế nào để tìm ma trận cột giúp ta tìm ma trận khả nghịch P sao cho P-1AP là ma trận chéo?

Từ bây giờ, chúng tôi sẽ gọi ma trận cột vectơ Vì vậy các cột ma trận C1, C2, và C3 là các vectơ Chúng

ta có định nghĩa

Định nghĩa Cho A là ma trận vuông Một vectơ C khác 0 được gọi là vectơ riêng của A nếu và chỉ nếu

tồn tại một số ( thực hoặc phức) sao cho

mỗi giá trị là giá trị riêng của A Vectơ C được gọi là vectơ triêng của A tương ứng với giá trị riêng

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com

Chú ý Vectơ riêng C phải khác 0 bởi vì ta có

Cho ma trận vuông A có cấp n, số là giá trị riêng nếu và chỉ nếu tồn tại một vectơ C khác 0 sao cho

Sử dụng tính chât của tích hai ma trận, ta thu được

Đây là hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số

Chúng ta cũng biết rằng hệ này có một nghiệm nếu và chỉ nếu ma trận hệ số khả nghịch, tức là

Bởi vì vectơ 0 là một nghiệm C không là vectơ 0, nên ta phải có

Ví dụ Xét ma trận

tương đương với phương trình bậc hai

Giải phương trình này dẫn đến

Nói cách khác, ma trận A chỉ có hai giá trị riêng

Tông quát, cho ma trận vuông A cấp n, phương trình

cho nghiệm là giá trị riêng của A Phương trình này được gọi là phương trình đặc trung hay đa thức đặc trưng của A Đó là hàm đa thức bậc n Ta biết rằng phương trình này có nhiều nhất n nghiệm Do đó ma trận vuông A cấp n sẽ có không quá n giá trị riêng

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com

Ví dụ Xét ma trận đường chéo

Đa thức đặc trưng của nó là

Nên giá trị riêng của D a là a, b, c, và d, là các phần tử trên đường chéo

Kết quả này là đúng cho mọi ma trận chéo có cấp tùy ý Nên tùy thuộc vào giá trị trên đường chéo, bạn

có thể có mọt, hai hay nhiều hơn các giá trị riêng

Nhận xét Thật là tuyệt vời khi thấy rằng ma trận A có cùng giá trị riêng với ma trận chuyển vị A T của

nó bởi vì

Cho bất kì ma trận cấp 2, A, trong đó

đa thức đặc trưng được cho bởi phương trình

Số (a+d) được gọi là vết A (denoted tr(A)), và rõ ràng số (ad-bc) là định thức của A Nên đa thức đặc trưng của A có thể được viết lại như sau

B = A2 - tr(A) A + det(A) I2

Ta có

Ta dẫn đến

Nói cách khác, ta có

Phương trình này được gọi là định lí Cayley-Hamilton Nó đúng cho mọi ma trận vuông có cấp tùy ý

Ta có một số tính chất của các giá trị riêng của một ma trận

Định lí Cho A là ma trận vuông cấp n Nếu là một giá trị riêng của A, thì:

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com

A không khả nghịch nếu và chỉ nếu là một giá trị riêng của A

Co ma trận A vuông cấp n và là một giá trị riêng của nó X là vectơ riêng của A ứng với Ta phải có

Đây là hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số là Bởi vì vectơ 0 alf một nghiệm, hệ này

có nghiệm Thật vậy, ta sẽ đề cập trong trang khác là ccấu trúc nghiệm của hệ là phong phú Trong phanànày ta thảo luận vần đề có bản là tìm nghiệme

Nhận xét Khá dễ dàng để thấy rằng nếu X là một vectơ thỏa mãn , thì vectơ Y = c X (cho mọi số c tùy ý) thỏa mãn cùng phương trình Nói cách khác, nếu ta biết X là một vectơ riêng, thì cX cũng là một vectơ tương ứng với cũng vectơ riêng

Chúng ta bắt đầu với một ví dụ

Ví dụ Xét ma trận

Trước hết ta tìm giá trị riêng của A Chúng là nghiệm của đa thức đặc trưng

Nếu ta khai triên định thức này theo cột thứ ba, ta được

Sử dụng biến đổi đại số, ta có

dẫn đến các giá trị rieneg của A là 0, -4, và 3

Tiếp theo ta tìm các vectơ riêng

1

Trường hợp : Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính

điều này có thể được viết lại bởi

Có nhiều cách để giải hệ phương trình này Phương trình thứ ba là đồng nhất với phương trình đầu

Vì vậy, từ phương trình thứ hai, ta có y = 6x, phương trình đầu dẫn đến 13x + z = 0 Nên hệ này

tương đương với

Do đó vectơ X được cho bởi

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com

Vì vậy, bất kì giá trị riêng X của A tương ứng với giá trị riêng 0 được cho bởi

trong đó c là một số tùy ý

2

Trường hợp : Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ

điều này có thể được viết lại

Trong trường hợp này, ta sử dụng phương pháp khử để giải Tước hết ta xét ma trận bổ sung

, đó là

Ta sử dụng phép biến đỏi trên dòng để nhận được ma trận chéo Chuyển đổi các dòng cho nhau ta được

được

Nếu giản ước dòng thứ hai cho 8, dòng thứ ba cho 9, ta được

Cuối cùng, trừ dòng thứ hai cho dòng thứ ba

Tiếp, ta đặt z = c Từ dòng thứ hai, nhận được y = 2z = 2c dòng đầu nhạn được x = -2y+3z = -c

Do vậy

Vì thế, bất kì vectơ riêng X của A tương ứng với giá trị riêng -4 được cho bởi

trong đó c là một só bất kì

2

Trường hợp : Giải chi tiết dành cho bạn đọc Sử dụng mô tả tương tự trên, một vectơ

riêng X of A tương ứng với 3 được cho bởi

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com

trong đó c là một số bất kì

Nhận xét Tổng quát, giá trị riêng của ma trận là tất cả các nghiệm phân biệt của phương trình đặc trưng.

Ví dụ Xét ma trận

Phương trình đặc trưng của A cho bởi

Do đó giá trị riêng của A là -1 và 8 Với giá trị riêng 8, dễ thấy rằng bất kì vectơ riêng X được cho bởi

trong đó c là một số tùy ý Ta tập trung vào giá trị riêng -1 Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ

điều này được viết lại

Rõ ràng, phương trình thứ ba và hai tương đương với phương trình đầu Nói cách khác hệ này, hệ này tương đương với mọt phương trình

ĐỂ giải nó, ta chọn hia số cố định trước và tìm số thứ ba Ví dụ, nếu ta ðặt và , ta được

Do đó, bất kì vectơ riêng X của A tương ứng với giá trị riêng -1 cho bởi

Nói cách khác, với mọi vectơ riêng X của A ứng với giá trị riêng -1 là tôe hợp tuyến tính của hai vectơ

trên

Ví dụ Xét ma trận

Phương trình đặc trưng cho bởi

Do đó ma trận A có một giá trị riêng -3 Ta tìm vectơ riêng tương ứng Chúng được cho bởi hệ phương

trình tuyến tính

được viết lại như sau

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com

Hệ này tương đương với mọt phương trình duy nhất của hệ

Viết lại vectơ X dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ đữ biết

Trong các ví dụ trên, giả sử rằng các giá trị riêng là số thực Tổng quát, this is not the case except for symmetric matrices.Chứng minh điều này là phức tập, chỉ dễ dàng với ma trận vuông cấp 2

Xét ma trận vuông đối xứng

Phương trình đặc trưng của nó

Đây là phương trình bậc hai Nghiệm phụ thuộc vào dấu của định thức

Biến đổi đại số ta được

Do đó, là một số dương, suy ra giá trị riêng của A là nững số thực

Nhận xét Chú ý rằng ma trận A có một giá trị riêng, đó là nghiệm kép của phương trình, nếu và chỉ nếu

Nhưng điều này chỉ có thể a=c và b=0 Nói cách khác, Ta có

A = a I2 Phần tiếp theo sẽ thảo luận về giá trị riêng phức

TRƯỜNG HỢP GIÁ TRỊ RIÊNG PHỨC

Trước tiên, ta chứng tỏ rằng tồn tại ma trận với các giá trị riêng phức

Ví dụ Hãy xét ma trận

Phương trình đặc trưng được cho bởi

Phương trình bậc hai này có nghiệm phức được cho bởi

Vì vậy ma trận chỉ có giá trị riêng phức

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com

Bí quyết là chúng ta xem các giá trị riêng phức như là số thực Nghĩa là chúng ta xem nó như là một con

số và làm các tính toán bình thường cho các vectơ riêng Ta hãy xem nó được tính toán như thế nào

Với , các vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính tính

A X = (1+2i) X

Có thể viết lại như sau

Thực ra, hai phương trình trên là đồng nhất vì (2+2i)(2-2i) = 8 Vì vậy, hệ phương trình giảm xuống còn

một phương trình

(1-i)x - y = 0 Đặt x=c, khi đó y=(1-i)c Do đó, ta có

trong đó c là một số tùy ý

Nhận xét Rõ ràng là mong đợi có các phần tử phức trong các vectơ riêng

Chúng ta thấy rằng (1-2i) cũng là một giá trị riêng của ma trận trên Vì các phần tử của ma trận A là số thực, khi đó ta dễ dàng chỉ ra rằng nếu là một giá trị riêng phức thì liên hợp của nó cũng là một giá trị riêng Hơn nữa, nếu X là một vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng , khi đó vector ,

có được từ X bằng thay số phức liên hợp của các phần tử của X, là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng Vì vậy, các vectơ riêng các ma trận A ở trên ứng với giá trị riêng (1-2i) được cho bởi

trong đó c là một số tùy ý

Chúng ta tóm tắt lại những gì đã làm trong ví dụ trên

Tóm tắt: Cho A là một ma trận vuông Giả sử là một giá trị riêng phức của A Để tìm các vectơ

riêng tương ứng, ta làm theo các bước sau đây:

1 Viết ra hệ phương trình tuyến tính tương ứng