Tài liệu Lý thuyết dao động ppt

PTS Nguyễn Thúc An, PTS Nguyễn Đình Chiều, PTS Khổng Doãn Điền, xuất bản tại Trường Đại học Thủy lợi, năm 1989, đã đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Công trình, ngành Thuỷ đi

Trường đại học thuỷ lợi

Bộ môn cơ học ứng dụng

- [\ [\ -

GS.TS Nguyễn Thúc An PGS.TS Nguyễn Đình Chiều PGS.TS Khổng Doãn Điền

Lý thuyết dao động

Hμ Nội 2003

Lời nói đầu

Giáo trình “Cơ học Lý thuyết II – Lý thuyết Dao động” – Tác giả PGS PTS Nguyễn Thúc An, PTS Nguyễn Đình Chiều, PTS Khổng Doãn Điền, xuất bản tại Trường Đại học Thủy lợi, năm 1989, đã đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Công trình, ngành Thuỷ điện và ngành Máy Xây Dựng những năm qua, trong đó đề cập đến các bài toán dao

động của hệ một bậc tự do, hai bậc tự do, vô số bậc tự do và giải quyết nguyên lý của bộ tắt chấn động lực, triệt tiêu dao động của một vài trường hợp cụ thể và cách giải quyết khi hệ

có nguy cơ xuất hiện hiện tượng cộng hưởng

Để đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & TBTL và các học viên Cao học, Nghiên cứu sinh mà luận án có đề cập đến bài toán động lực, chúng tôi biên soạn và đưa vào thêm: Chương IV (Va chạm của vật rắn vào thanh đàn hồi và áp dụng

Lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc); Chương V (Cơ sở của Lý thuyết dao động phi tuyến) và có đưa vào những ví dụ gần với thực tế tính toán công trình cho ngành Thuỷ lợi Tài liệu dùng để giảng dạy “ Lý thuyết dao động” cho sinh viên các ngành Công trình, Thuỷ điện, Cấp thoát nước, Trạm bơm và giảng dạy môn “ Dao động kỹ thuật” cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & Thiết Bị Thuỷ Lợi Tài liệu này cũng có thể dùng làm tài liệu

ôn tập thi tuyển Cao học và Nghiên cứu sinh cho các ngành Công trình, Động lực và làm tài liệu học tập và tham khảo cho Nghiên cứu sinh các ngành có liên quan

Chúng tôi mong nhận được những đóng góp ý kiến của đồng nghiệp và bạn đọc để bổ xung, sửa chữa cho tập giáo trình ngày một hoàn chỉnh hơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2003

Các tác giả

Chương mở đầu

1.1 Các quá trình thay đổi khác nhau của các đại lượng vô hướng được chia thành hai dạng: Các quá trình dao động và các quá trình không dao động

Quá trình dao động được đặc trưng bằng sự tăng hay giảm một cách luân phiên của các đại lượng biến đổi Nó được mô tả bằng các phương trình toán học

Dao động trong đó các phương trình vi phân mô tả chuyển động của nó là tuyến tính, gọi là dao động tuyến tính Ngược lại, gọi là dao động không tuyến tính (phi tuyến)

1.2 Chuyển động dao động được đặc biệt quan tâm là những dao động có chu kỳ

Hàm f*(t) mô tả quá trình dao động có chu kỳ, nếu như tồn tại giá trị T > 0, thoả mãn

điều kiện sau:

f*(t)=f*(t±T)=f*(t±2T)= =f*(t±nT) (1) Trong đó: T gọi là chu kỳ; n là số nguyên dương

Một dạng đặc biệt của dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao

động điều hoà Về mặt động học dao động điều hoà được miêu tả bởi hệ thức:

kT

i i

k k

q

r dt

r d

2 k

kvm2

j i

ijq qA2

1

ở đây: Aij = Aji là các hệ số chỉ phụ thuộc vào các tọa độ suy rộng Khai triển chúng theo chuỗi lũy thừa tại lân cận vị trí cân bằng (qi =0 i=1,n) và chỉ giữ lại số hạng đầu, ta nhận đ−ợc biểu thức động năng của hệ đã tuyến tính hoá:

1

T= • , trong đó a = A(0) (8) Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta đ−ợc:

= 11 •12 2 12 •1 •2 22 •222

1

qaqqaqa

aa

a

aa

a

aa ;

;0aa

aa

;0a

nn 2 1

n 22 21

n 12 11

22 21

12 11

Theo định lý Lagrăng-Điriclê thì: Tại vị trí cân bằng ổn định của hệ bảo toàn, thế năng của hệ cực tiểu Khai triển π theo chuỗi luỹ thừa tại lân cận vị trí cân bằng ổn định

)n

=

1 i

n

1 j

j i ij i

0 i

2

1qq)

Nếu chọn vị trí cân bằng ổn định của hệ làm gốc tính π thì (π)0 =0 và do (10) nên số hạng thứ hai trong (11) bằng không Mặt khác với hệ tuyến tính sẽ không chứa trong khai triển của thế năng các thành phần bậc cao hơn hai đối với toạ độ suy rộng Do đó thế năng π của hệ khi tuyến tính hoá là dạng toàn phương sau:

j i

ij q q c 2

1

ở đây:

0 j i

2 ji

1

++

2 22 0 2 1

2 12

0

2 1

2 11

qc

;qqc

;q

Giả sử hệ chịu tác dụng lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc: Rk =ưβk.vk

Trong đó: βk >0 là hệ số cản (nhớt); vk là vận tốc của chất điểm thứ k thuộc hệ Gọi toạ độ suy rộng của của hệ: qi(i=1,n) Các lực suy rộng tương ứng với lực cản bằng:

i k n

1

k k ki

k n

1

k ki

q

rvq

rRQ

∂

∂β

Khi sử dụng đồng nhất thức Lagrăng: ,

q

rq

r

i

r i

q

r r Q

2 k n

1 k k i i

k k n

1 k k

2 k

k 2

v

φ được biểu diễn ở (16) gọi là hàm hao tán Ta có thể viết φ giống như động năng T

j i

ij q q B 2

1

Trong đó: Bij =Bji là các hàm chỉ của toạ độ suy rộng: qi(i=1,n) Khai triển chúng theo chuỗi luỹ thừa tại lân cận vị trí cân bằng qi =0;(i=1,n) và chỉ giữ lại số hạng đầu, ta nhận được biểu thức của hàm hao tán đã tuyến tính hoá:

j i

ij q q b 2

2 1 1

5.1 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương trình Lagrăng II

Cơ sở lý thuyết của nhiều công trình nghiên cứu dao động các hệ Hôlônôm nhiều bậc

tự do là việc áp dụng phương trình Lagrăng loại II

Phương pháp thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ dao động bằng cách

sử dụng phương trình Lagrăng loại II gọi là phương pháp cơ bản

Đối với hệ Hôlônôm, có n bậc tự do, xác định bởi các toạ độ suy rộng độc lập:

)n,i:q

;Qq

Tq

Tdt

d

i i i

5.1a NÕu c¸c lùc t¸c dông lªn hÖ chØ lµ lùc cã thÕ

q Q

Q

i i

; q q

T q

T dt

d

i i

;0q

Lq

Ldt

d

i i

Q Q

i i i

Ph−¬ng tr×nh (21) trë thµnh:

n , 1 i

; q q q

T q

T dt d

i i i

; 0 q q

L q

L dt d

i i i

=

=

∂

∂ +

;QQQ

Vµ ph−¬ng tr×nh (21) viÕt ë d¹ng:

qqq

Tq

Tdt

i i i i

Bài giải

Giả thiết các thanh rắn tuyệt đối ; hệ có hai bậc tự do Ta chọn θ1, θ2 là các góc lệch của thanh với phương thẳng đứng Ay làm tọa độ suy rộng Tại vị trí cân bằng thì θ1 = θ2 = 0 Phương trình Lagrăng II viết cho hệ khảo sát là:

=

=θ

2 D

2 D BC

2 1 Az BC

2

1yxm2

1J

2

1T

θ

=+

=

g

P 12

1 J , g

P m , ) L 2 ( g

P 3

=

θ+θ

=

)coscos

2(Ly

)sinsin

2(Lx

2 1

D

2 1

θ+θ+θ

g

PL2

2 2

2 1 2

Xét dao động nhỏ: cos(θ1 ưθ2)≈1, ta nhận được:

g

PL2

2 2

2 1

θθ+θ+θ

=π

Rút gọn: π=PL(4ư3cosθ1ưcosθ2)

Với θ1,θ2 nhỏ:

21cos

;21cos

2 2 2

2 1 1

θ

ư

≈θ

θ

ư

≈θ

L2

;g

L2g

L16

5.2 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương pháp Đalămbe

Theo nguyên lý Đalămbe: ở mỗi thời điểm các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ và các phản lực liên kết cân bằng với các lực quán tính Từ đó:

O a

k O

qt k k

k

a k

FmN

mF

m

FN

Giả sử cho một dầm đàn hồi có gắn một số hữu hạn khối lượng tập trung

Để lập phương trình vi phân dao động (uốn) của dầm, thuận lợi hơn cả là dùng phương pháp lực Khi này cần sử dụng khái niệm dịch chuyển đơn vị

Hình 2

Đối với các hệ đàn hồi, theo hướng k hệ chịu tác dụng của lực Pk thì dịch chuyển do

nó gây ra theo hướng i sẽ tỷ lệ với lực, nghĩa là:

5.3a Xác định δ ik khi uốn của thanh:

Dùng công thức MO:

∫

∑

= δ

L

0

k i ik

EJ

dx M M

Ω

∑

=

ở đây: Ωi là diện tích biểu đồ M i , M*k là tung độ của biểu đồ M ktương ứng hoành

trong mỗi đoạn của

i

Ω

k

M là đường thẳng Theo định lý Macxoen ta luôn có: δik = δki

Thí dụ 2: Xác định các hệ số ảnh hưởng trong trường hợp dầm chịu các trọng tải tập

Hình 5a Hình 4

Bài giải:

Để xác định các dịch chuyển đơn vị (hệ số ảnh hưởng) δik (i, k = 1, 2, 3) ta xây dựng các biểu đồ Mômen uốn M 1 , M 2 , M 3 tương ứng với các lực đơn vị P1 =1,P2 =1, P3 =1 và biểu diễn như trên hình vẽ (Hình 5a, b, c)

M3

P3 = 1

36 5L

=

54

5.L36

5.L6

5.2

1L54

5.L36

5.6

L.2

1EJ

L25L2

1L36

5L54

5EJ

1L12

5L12

1L36

5.L54

5.EJ

Lk

3

=

EJ 1296 9

L 243 EJ 48

L EJ 96

L 2 6

L 4

L 2

L 2

1 6

L 4

L 2

L 2

1 EJ

L117

;k51EJ1296.9

L51

3 23

32 21 12

3 31

Trong đó: G là môđun tr−ợt, JP là mômen quán tính độc cực của

mặt cắt ngang Suy ra:

6.1.3 Thanh đàn hồi không trọng l−ợng chịu uốn Khi này: Hệ số cứng C còn phụ

thuộc vào điều kiện biên Ta xét thanh chịu uốn bị ngàm ở một đầu (Hình 8) Độ võng f bằng:

EJ

PL3

1f

3

L

EJ3

L

EJ3

C= (30)

Pf

dh 2

2 1

1

C

1C

1C

1C

FC

FC

F

Nếu hệ có n lò xo mắc nối tiếp, thì hệ số cứng

C của lò xo thay thế xác định bởi hệ thức:

vật liệu; d: đường kính dây lò xo;

3

2 1

2 1

CC

CCC

5

)ba(EJ3

)ba(EJ3

8

EJ3C

αα

12

L

)L(EJshC

αα

C2

C 1

L EJ

Chương I Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do

Đ1.1 Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do

1.1.1 Dao động tự do không cản

Xét hệ một bậc tự do, lực tác dụng lên hệ có thế Toạ độ suy rộng xác định vị trí cơ hệ

là q Phương trình Lagrăng II có dạng:

qq

Tq

Tdt

k= gọi là tần số vòng (riêng) của dao động, đơn vị thường dùng rad/s,

nó phụ thuộc vào tính chất của hệ (khối lượng và độ cứng)

Phương trình (1-1) là phương trình vi phân mô tả dao động nhỏ tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do

ở đây: A= C12 +C22 là biên độ dao động; (kt +α) là pha dao động; α là pha ban đầu;

k là tần số vòng (tần số dao động riêng) của hệ

Chu kỳ dao động T tính theo công thức:

c

a2k

2

T= π= π (1-4) Gọi f là số dao động trong một đơn vị thời gian (tần số dao động), khi đó:

a

ck

T

f

π2

1π2

k

q q A

=

⋅ +

0

0 2

2 0 2 0

q

kq arctg kt sin k

q q

Như vậy, dao động nhỏ tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do là dao động điều hoà Trong thực tế, việc xác định tần số riêng k là nhiệm vụ quan trọng của bài toán nghiên cứu dao động tự do Bảng 2 thống kê một số công thức đối với k của một số hệ đơn giản Bây giờ ta biểu diễn nghiệm của bài toán trên mặt phẳng pha (hệ tọa độ dịch chuyển - vận tốc) Tại mỗi thời điểm trạng thái của hệ được đặc trưng bằng dịch chuyển q và vận tốc Ta có trong trường hợp khảo sát:

=

=

α+

=

•

)ktcos(

Akqv

)ktsin(

Aq

Tập hợp các phương trình này có thể khảo sát như quỹ đạo pha cho ở dạng thông số

Để nhận được phương trình quỹ đạo pha cần khử t từ hệ (1-7) ta được:

1kA

vA

q

2 2

2 2

2

=

Nghĩa là phương trình Ellíp (Hình 11a) Điểm biểu diễn ban đầu (từ đó chuyển động

ban đầu quỹ đạo pha biểu diễn trên Ellíp khác Tập hợp trạng thái có thể của hệ được mô tả bằng hệ các Ellíp (Hình11) Gốc toạ độ tương ứng với trạng thái cân bằng của hệ (q0 =0 và

) Điểm này là điểm kỳ dị và gọi là tâm

0

q)0(

•

xm

Cx

C

x m

C

2 HÖ khèi l−îng lß

xo träng tr−êng

C M

m

Cy

ϕ•Lg

(q = ϕ)

L g

C ϕ

a O

0 J

mga

O

= ϕ +

ϕ•

J mga

C

O

= ϕ +

ϕ•

(q = ϕ)

O

J C

J 1

1 y

1 2 1 O

= +

+

•

(q = y)

1 2 1

O m C r m

J 1

1 +

C O

m

L

0 J

mgL C

O

= ϕ

− +

J 1

1 x

2 C

= +

+

•

(q = x)

m C mr

J 1

1

2 C

+

0 L g mr

J 1

1

2 C

= ϕ +

+

ϕ•

(q = ϕ)

L g mr

J 1

1

2 C

O r J

m C

L ϕ

JCC

m

r

2 C C

− + +

ϕ•

mgr

2 C C

C

− +

Tq

Tdt

Khi xét đến điều kiện đầu t = 0: q(0) = q0, q•(0)= q•0 Ta có:

=+

•

0 0

2 2 0 2

1 2

2

2 0 0 2 0

2 2

2

nqq

nkqarctgC

Carctg

;nk

nqqqC

CA

•

nqq

nkqarctgt

ksinenk

nqqq

0

2 2 0 1

2 2

2 0 0 2

ở đây: k1 = k2 ưn2 gọi là tần số dao động tắt dần Chu kỳ dao động tắt dần được xác định bằng:

2 2 1

1

nk

2k

2T

2 1

2

112

112

nT

k

nk

kn

T

Nghiệm (1-13) của phương trình (1-9) chỉ ra rằng: Độ lệch Ae của hệ có cản giảm nttheo thời gian với quy luật hàm số mũ Nó tiệm cận tới không và do đó dao động là tắt dần (Hình 1-1)

tO

q

Hình 1-1

Trong thực tế để đặc trưng cho sự giảm biên độ người ta thường dùng một đại lượng,

ký hiệu δ và gọi là độ suy giảm Lôgarit của dao động:

1

πψ

δ

2 1

nTy

yln

Muốn xác định δ bằng thực nghiệm, ta dùng công thức gần đúng:

y

y

yy

yln

yy

ylny

Δ+

=Δ

ư

=

=δ

λPhương trình (1-9) có NTQ dạng:

)eCeC(e

0 1

2k

q)nk(qC

•

++

2

0 2

0 2

k

q ) n k ( q C

0 t k 2

0 2

0

e k

q ) n k ( q e k

q ) n k ( q e

Hệ qua vị trí cân bằng tại các thời điểm thoả mãn phương trình:

02

0 2

0 2

2

0 2

k

q)nk(q

Với giá trị của biểu thức trong dấu móc bất kỳ, vế trái của phương trình → 0 khi t → ∞

Ta có chuyển động không tuần hoàn tắt dần

1.1.2c Trường hợp 3: n = k (lực cản tới hạn) Trong trường hợp này nghiệm của

phương trình đặc trưng là thực, âm và bằng nhau NTQ của (1-9) có dạng:

) C t C ( e

Chuyển động của hệ là tắt dần, không dao động

Trong một số tài liệu kỹ thuật trình bày về dao động người ta còn sử dụng khái niệm

độ cản Lehr - Độ cản Lehr ký hiệu là D, được xác định bởi hệ thức:

ac

bak

bk

nD

Như thế, khi D < 1 chuyển động của hệ là dao động tắt dần khi D ≥ 1 chuyển động của hệ là tắt dần không dao động

Giữa độ cản Lehr D với độ suy giảm Lôgarit δ, có liên hệ bằng hệ thức sau:

2 2

2

12

12

=

T

xThế năng của con lắc bằng công của trọng lượng

cos(

∂

∂

•

T T dt d

Ta nhận được phương trình dao động nhỏ của con lắc:

0

=θ+

θ•Lg

Đó là dao động điều hoà với tần số riêng

Thí dụ 1-2:

θ

Xét dao động xoắn nhỏ của đĩa gắn vào đầu mút dưới của

thanh đàn hồi không trọng lượng dài L Mút trên của thanh bị

ngàm (Hình 1-3) Gọi M là khối lượng của đĩa; ρ là bán kính

quán tính của đĩa đối với trục thanh; G là môđun trượt của vật liệu

thanh; JP là mômen quán tính độc cực của tiết diện ngang thanh

theo định luật Hooke) là 2

2

1 θ

=

nhận được phương trình dao động nhỏ khi xoắn:

C

C

MT

Người ta treo tải trọng trọng lượng P bằng một thanh tuyệt

đối cứng dài 2L ở giữa thanh có gắn hai lò xo đàn hồi có cùng

độ cứng C Tải trọng được ngâm trong bình chứa chất lỏng nhớt

Trong quá trình tải trọng thực hiện dao động nhỏ tự do chất lỏng

gây ảnh hưởng làm giảm dao động lên hệ (Hình 1-4) Tìm hệ số

ma sát nhớt của hệ, nếu chu kỳ dao động tắt dần của hệ T1 = 1s;

các tham số của hệ lấy các giá trị sau đây: P = 100 N; 2L = 30cm;

Đường kính lò xo D = 2cm; đường kính dây cuốn lò xo d = 2mm;

Môđun trượt của vật liệu làm lò xo G = 8.106 N/cm2; Số vòng

của mỗi lò xo i = 6

L

Bài giải:

Hệ có một bậc tự do Chọn toạ độ suy rộng q = ϕ là góc

lệch nhỏ của thanh so với phương thẳng đứng Phương trình

Lagrăng II áp dụng cho trường hợp này có dạng:

Ta có:

2 2

2

22

12

g

PV

g

PT

; 2

C 2 ) cos 1 (

ư

=

thẳng đứng của thanh (khi lò xo chứa biến dạng), với ϕ nhỏ: 1- cosϕ

=φThay các giá trị tính được vào phương trình Lagrăng II và rút gọn, ta nhận được:

02

P

L

ϕ

Hình 1-4

Chu kỳ dao động tắt dần là:

2 2 1

2nk

Tk

; thay số vào ta có: 2n = 12,5rad/s

Hệ số cản chuyển động tìm từ điều kiện:

g

nPL 4 PL

2

g

Đ1.2 Dao động cưỡng bức của hệ tuyến tính một bậc tự do

Dao động cưỡng bức xảy ra khi hệ có tác dụng của các kích động ngoài Các kích

động này có thể tuần hoàn hoặc va chạm

Giả sử hệ khảo sát chịu tác dụng của các lực có thế, các lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc và các lực kích động ngoài là hàm của thời gian t: P(t)

Gọi QP là lực suy rộng của lực kích động ngoài Phương trình Lagrăng II trong trường hợp này có dạng:

qqq

Tq

Tdt

2

q b 2

1

; cq 2

1

; q a 2

Phương trình (1-25) là phương trình vi phân mô tả chuyển động dao động nhỏ cưỡng bức của hệ tuyến tính một bậc tự do

Trong trường hợp lực cản nhỏ (n < k), NTQ của (1-25 ) có dạng:

Trong đó q là NR của phương trình (1-25) Các hệ số A, β được xác định từ điều kiện ban đầu

Ta tìm NR q ở dạng: q=eưntZ(t) (1-27) Thay (1-27 ) vào (1-25) Ta nhận được phương trình đối với hàm Z(t):

0 t k cos ) t ( C t k sin ) t ( C

nt 1 2

1 1

1 2

1 1

Dùng quy tắc Crame giải hệ (1-30) ta có:

k

)t(Qe)t(C

nt

1 1

nt

1 1

0

1 1

1 ; =ư∫t nτ τ sink τ.dτ

k

)(Qe)t(C

0

1 1

Thay (1-31) vào (1-29) ta nhận được nghiệm của phương trình (1-28):

τ τ

ư τ

= ∫e τ Q ( ) sin k t ) d k

1 ) (

t

0

n 1

t n 1

nt e Q ( ) sin k ( t ) d

k

1 ) t ( Z e

t n 1 1

nt e Q ( ) sin k ( t ) d

k

1 ) t k sin(

Khi p ≠ k, NTQ của (1-35) có dạng:

PktsinCktcosC

−++

Lấy điều kiện đầu t = 0: q(0) = q0; q•(0)= q•0 ta có:

C1 = q0;

)pk(k

pPk

Pktsin)pk(k

pPkt

sink

qktcosq

−

+

−+

+

=

•

(1-38) Trên cơ sở (1-38) ta có một số nhận xét sau:

1) Hai số hạng đầu của (1-38) ứng với dao động tự do tần số riêng k Khi

, những dao động này không xảy ra

00

P

q 2 0 2

−

Biểu thị dao động c−ỡng bức thuần tuý Ta chú ý một số tính chất sau:

a) Dao động c−ỡng bức xảy ra với tần số lực kích động p Nó không phụ thuộc vào

điều kiện đầu của hệ

b) Khi k > p thì dấu của độ lệch q cùng dấu với lực kích động Q, ta nói nó cùng pha Khi k < p chúng ng−ợc dấu nhau (ng−ợc pha) Ta có thể viết:

pk

ptsinkktsinpPptsinpk

Pktsin)pk(k

pP

2 2 0

2 2

0 2

2 0

Với k = p, nó có dạng

0

0 áp dụng quy tắc Lôpitan, lấy đạo hàm đối với p và cho

p→k, ta thu đ−ợc:

k

tPktsink

Pkp

ptcosktktsinPlim)

pk(k

ptsinkktsinp

P

k p p

0 2

0 0

2 2

tPktsink

Pktsink

qktcosqq

22

0 2

0 0

=

•

Rõ ràng khi p = k các giá trị nguy hiểm của biên độ tăng theo quy luật tuyến tính với thời gian t và trong khoảng thời gian hữu hạn nó không tiến tới vô hạn (Hình 1-5)

Sự trùng nhau giữa tần số của lực kích động p với

tần số riêng của hệ k và các hiện tượng xảy ra tiếp sau

gọi là hiện tượng cộng hưởng

q

Thực tế khi tính toán dao động cưỡng bức không

cản thường phân ra hai trường hợp: Trường hợp xa cộng

Động cơ điện đặt trên sàn m được đỡ bởi lò xo xoắn, trọng lượng tổng cộng của sàn và

động cơ bằng 327N Lò xo có tính chất là: Chiều cao của nó ngắn đi 1 cm khi chịu lưc 300N Người ta gắn vào trục động cơ một tải trọng m1 nặng 2N cách đường tim trục một khoảng r = 1,3cm Vận tốc góc của động cơ p = 30 rad/s Hãy viết phương trình dao động của sàn, giả thiết tại thời điểm đầu nó nằm yên; lấy g = 981 cm/s2 (Hình 1-6a)

Bài giải:

Sàn và động cơ chuyển động theo phương thẳng đứng Gọi x là toạ độ khối tâm của sàn và động cơ tính từ vị trí cân bằng ổn định

Các lực tác dụng lên hệ dao động gồm: Lực đàn hồi của lò xo F = Cx; lực kích động

do lực quán tính ly tâm của khối lượng lệch tâm m1 gây ra theo phương Ox: Fx=m1rp2cospt

C

Hình 1-6

Theo nguyên lý Đa-lăm-be, ta có:

pt cos rp m Cx x

1

= +

•

m

C k

; pt cos m

rp m x k

2 1

mpC

prmB

ư

Do đó phương trình dao động của sàn m là:

)ktcospt(cosmpc

rpm

C

981327

k p k

Với lực cản nhỏ (n < k), NTQ của (1-41) có dạng:

2 2 1 1

nt

n k k

; q ) t k sin(

e A

Chọn B, ε sao cho q thỏa mãn đồng nhất phương trình (1-42)

cosP)pk(B

0 0 2 2

2

Giải hệ (1-44), ta có: 2 2

2 2 2 2 2

nptg

;pn)pk(

PB

ư

=ε+

ư

Tích phân tổng quát phương trình (1-41) viết ở dạng:

)ptsin(

pn)pk(

P)

tksin(

eAq

nt

ε

ư+

ư+

β+

= ư

2 2 2 2 2

0 1

)ptsin(

pn)pk(

0

Phương trình (1-47) xác định chế độ dao động bình ổn của hệ

2) Dao động cưỡng bức kể cả khi có cản vẫn xảy ra với tần số lực kích động p Biên

độ của nó không phụ thuộc vào thời gian và không tắt dần vì lực cản Khi xảy ra cộng hưởng (p = k) biên độ này vẫn hữu hạn và không phải là giá trị lớn nhất trong các giá trị của biên độ Ta tìm p để biên độ:

2 2 2 2 2

0

p n ) p k (

P B

B, ta suy ra: p2= k2 - 2n2

Vậy B = Bmax khi p2 = k2 - 2n2 Biên độ dao động cưỡng bức đạt cực đại khi p nhỏ hơn

k một chút (trước cộng hưởng)

3) Trong dao động cưỡng bức của hệ có cản luôn xảy ra độ lệch pha giữa pha dao

động với pha của lực kích động Độ lệch pha ε xác định bằng công thức:

2 2

2pk

nptg

2

2 0

k

p n 4 k

p 1

1 B

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 2n/p=0

Từ đồ thị rõ ràng là: Các lực cản (nhớt) có tác dụng rõ rệt trong vùng gần cộng hưởng,

ở các vùng này thì có thể lấy η= ηmax (Hình 1-7b)

Do đó, mặc dù biên độ dao động cưỡng bức khi có cản là hữu hạn; nhưng các chi tiết của máy vẫn làm việc trong trường hợp này thì luôn xảy ra nguy cơ phá huỷ do ứng suất mỏi Vì vậy, khi thiết kế cần chọn mối liên hệ các kích thước và độ bền sao cho chế độ bình thường nằm xa chế độ cộng hưởng

Thí dụ 1-5:

Để ghi các quá trình dao động khi có tác động ngẫu

nhiên khác nhau (xô đập, va chạm) người ta thường dùng

các chấn đồ tần số thấp có lắp thêm bộ giảm chấn (dạng

giảm chấn ma sát nhớt) Sơ đồ nguyên tắc của chấn đồ

này được mô tả trên hình vẽ (Hình 1-8) ở đây chuyển

động của khối lượng m treo bằng lò xo với độ cứng C

được hãm lại bằng lực cản tỉ lệ với vận tốc chuyển động

tương đối của tải trọng, tức là bằng trong đó y là độ

lệch của khối lượng m đối với nền Tìm giá trị độ lệch

mà máy ghi lại như hàm của thời gian t, nếu nền chuyển

động theo quy luật:

2

,mn

;,m

Ck

α

Cm

y1

Hình 1-8

Bài giải:

Chuyển động lên xuống của tải trọng m, nhờ ngòi bút gắn vào nó sẽ ghi những dao

động của máy lên bảng chia độ (Hình 1-8)

Chuyển động thẳng đứng y của tải trọng m là chuyển động tương đối đối với khung chấn đồ gắn với bảng chia độ

Do móng và chấn đồ thực hiện chuyển động theo quy luật cho trước:

;m

2Nếu bỏ qua dao động tự do, nghiệm của phương trình trên trong trạng thái chuyển

động bình ổn của tải trọng m là:

n)

k(

y)

tsin(

n)k

(

y

2 2 2

2 2

2 0 1

2 2 2 2 2

2

400100

200

ω+

ω

ư

ω+

α

ưωω

+ω

k

ntg

;k

ntg

ưω

ω

=α

ưω

ω

=α

do máy ghi ra:

ω

=ω

2

,n

;,k

=

Thí dụ 1-6:

Để đầm bê tông ở chân móng các công trình người ta thường dùng một thiết bị đặc biệt:

Đó là chấn tử lệch tâm gồm một đế nặng khối lượng m, trên đó đặt hai đĩa quay khối lượng mỗi

đĩa bằng Các đĩa quay trong mặt phẳng thẳng đứng theo chiều ngược nhau với vận tốc góc

ω Trên mỗi đĩa người ta gắn một tải trọng m0 cách trục quay một khoảng là e (Hình 1-9a) Sau một thời gian đầm, ta có thể mô tả các tính chất của móng bê tông một cách gần đúng bởi mô hình lưu biến như hình vẽ (Hình 1-9b)

Gọi x là toạ độ trọng tâm của vỏ chấn tử tính từ vị trí cân bằng tĩnh, áp dụng nguyên lý

Đa-lăm-be Lực ly tâm do các đĩa gắn khối lượng lệch tâm chuyển động ngược nhau tác dụng theo phương chuyển động của vỏ chấn tử (theo phương x thẳng đứng) sẽ bằng:

P ( t ) 2 m 2 e sin t

0 ω ω

e m 2 x

k x n x

1 0

2 0

+ +

ω

= +

•

Trong đó:

)mm(m

CM

Ck,)]

mm(m[M

n

1 0

2 1

22

)]

m m ( 2 m [ k

e m 2 C

e m 2 A

1 0 2

2 0

2 0 0

+ +

2 2 0

k

nk

1

AA

1.2.3 Đệm đàn hồi của máy

Ta xét một mô hình áp dụng kỹ thuật của lý thuyết dao động cưỡng bức

1.2.3a Các máy quay có bộ phận không cân bằng sẽ truyền các lực kích động có chu

kỳ lên nền (móng) của nó, gây lên sự rung và tiếng ồn không mong muốn Để giảm hiện

tượng này thường áp dụng đệm đàn hồi

Giả thiết máy có trọng lượng Q (Hình 1-10) và ký hiệu P là lực ly tâm xuất hiện do

phần quay không cân bằng với vận tốc góc ω ( rad / s ) Như đã chỉ trên hình vẽ (Hình 1-10a)

Các lực kích động thẳng đứng, nằm ngang tương ứng là: Psinωt và Pcosω t

Nếu máy được bắt chặt với nền cứng thì lực kích động sẽ truyền hoàn toàn xuống nền

Để giảm lực kích động lên nền (móng) ta đưa vào đệm đàn hồi như hình vẽ (Hình 1-10b), ở

đó ta hạn chế chuyển động ngang của máy bởi các liên kết Khi này ta nhận được dao động

ϕ = ωt

e

m0

m1m

M

xα

C

Hình 1-9

cưỡng bức của vật Q đặt trên lò xo theo phương thẳng đứng với lực kích động Nếu chú ý đến biểu thức (1-39) ta có biên độ dao động cưỡng bức khi này bằng:

t sin

P A

P(t)

1.2.3b Trong phần trên ta mô tả đệm đàn hồi của máy

với giả thiết không tồn tại lực cản Điều này chỉ gần đúng

trong trường hợp đối với các lò xo xoắn bằng thép Nếu sử

dụng các nhíp lá hoặc bản bằng cao su thì lực cản là đáng kể

và không thể bỏ qua Khi đó đệm đàn hồi máy quy đổi thành

2 2 2

2 2

max

k

nk

1

k

n1C

PR

ω+

=

Khi chú ý tới (1-48) ta có:

C

Pk

nC

P

Trong đó: 2

2 2

41k

ra trên hình vẽ (Hình 1-12)

Tất cả các đường cong đi qua một điểm

các trường hợp: Khi chế độ làm việc nằm ở

vùng sau cộng hưởng lực truyền cho nền (móng) tăng do hệ quả của giảm chấn ý nghĩa vật

lý của hiện tượng này là ở chỗ: Các dao động truyền cho nền móng thực hiện bằng hai lực: Theo “con đường đàn hồi” và “con đường nhớt” Khi lực kích động có tần số cao xảy ra vận tốc lớn và tương ứng với lực cản nhớt tăng lên

0 1 2 3

ω/k

η*

Hình 1-12

0,5 0,4 0,3 0,2 2n/p=0,1

0,5 0,4 0,3 0,2 n/p=0,1

1.2.4 áp dụng phép biến đổi Laplace tính toán dao động cưỡng bức

1.2.4a định nghĩa phép biến đổi Laplace

Giải sử: f(t) là hàm liên tục từng khúc trên khoảng [0; + ∞ ) Phép biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân biến đổi hàm gốc f(t) của biến số thực thành hàm ảnh F(s) của biến số phức nhờ hệ thức:

)]

t([L)s(F

Trong đó ký hiệu: L gọi là toán tử Laplace Phép biến đổi Laplace ngược, ký hiệu theo toán tử L–1 sẽ được xác định bởi hệ thức:

)]

s F [ L ) t ( = ư 1

Toán tử L và toán tử L-1 có tính chất:

edtedt)t(e][L

st st

0

)0s(

;as

1e

as

1dte

dtee]e[L

0

) a s ( 0

t a s ( at

1.2.4b Các tính chất của phép biến đổi Laplace

Ta nêu một số tính chất cơ bản (không chứng minh) của phép biến đổi Laplace

i i

if (t) C F(s);

CL

1 1

b) Định lý vi phân: Nếu L[y(t)]= Y(s) thì:

c) Định lý đồng dạng: Nếu L[f(t)]=F(s) thì: )] aF(as)

a

t([

d) Định lý cản: Nếu L[f(t)]=F(s) thì: L [e-atf(t)]=F(s+a) (1-59)

e) Định lý trễ: Nếu L[f(t)]= F(s) thì: L[f(t-a)] =e-as F(s) (1-60)

Một số công thức cơ bản của phép biến đổi Laplace đ−ợc trình bày trong Bảng 3

et

) s

! n

+

α +

1

5

1 2

2 1

α

ưα

ư ư α α

ee

)s)(

s

1α+α+

1

ω+

ωs

s

s ω +

2

2+ωα+

ω)s(

2

2+ωα+

α+)s(s

)s

(

sω+ω

2 2

) s

(

s ω +

ω

ư

)s

)s

(s

s

2 2

2 2

4

2ω+

ω+

s ư β β

s

s β

ư

s 2 β

ư β

2 2

) s (

s β

ư

β +

1.2.4c áp dụng phép biến đổi Laplace tính dao động cưỡng bức

Cho phương trình vi phân mô tả dao động cưỡng bức ở dạng

)t(mqkqn

Để giải (1-61) bằng phép biến đổi Laplace, trước hết ta lập phương trình ảnh của phương trình (1-61), ta có:

)]

t([Lmqkqnq

1 ) s ( Q k ] q ) s ( sQ [ n ] q sq ) s ( Q

s

0 0

) s ( F ) s ( D

) s ( N ) s (

Dạng nghiệm (1-64) là tổng hai số hạng: Số hạng đầu

) s ( D

) s (

N0

phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu và tương ứng với nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất; số hạng thứ hai

)s(mD

)s(F phụ thuộc vào hàm lực kích động f(t) và tương ứng với NR của phương trình vi phân có vế phải

) s ( F L ) s ( D

) s ( N L )]

s ( Q [ L ) (

Hình 1-13

=

t khi 0

t 0 khi t sin P

0 t khi 0

kqn

)s(mD)s(

s

P]t[sinLP)]

t([L)s(

ω+

ω

=ω

=

=

Đến đây nói chung có thể dùng bảng để tìm ảnh ngược và khi đó có nghiệm q(t) ở

đây ta dùng cách phân tích các phân thức vế phải để có nghiệm của bài toán

Giả sử trong trường hợp tổng quát hàm F(s) là phân thức dạng:

)s(M

)s(N)s(

ương trình ảnh là:

Khi đó nghiệm của ph

) s ( D m

) s ( N ) s ( D

) s ( N ) s ( D ) s ( mM

) s ( N )

s ( N ) s (

) s ( D

(

D

)s

k 0 0

s s

1 ) s ( D m

) s ( N )

s ( D m

) s ( N

; s s

1 ) s ( D

) s ( N )

s ( D

) s ( N

(1-68)

ở đây D′ ( )và D′ ( s )là đạo hàm của D ( s )và D ( s )theo biến s Vậy, nghiệm phtrình ảnh bây giờ có dạng:

s ) s ( D )

s ( Q

Trở lại bài toán đang xét, chú ý tới (1-66) ta có:

2 2

0 ; M ( s ) s P

) s (

)knss

)(

s()s(D)s(M)s(

Ta có biểu thức nghiệm q(t) theo (1-70) có dạng sau:

)s(D

em

P)t(

),j

− λ

−

ω λ

−

− λ

−

− ω λ +

⎢

⎣ ( 1−λ2)2 +4 D2λ2C

2 2 2 2

1 2

1 2 2

2 1

2 0

e )

D 1 ( D 4 ) D 2 1

(

t sin ) D 1 )(

D 2 1

( t cos D 2

t cos D 2 t sin ) 1 ( P ) ( q

Với:

k

;k

nD

;n

=

1

Trong miền t > π⁄ω hệ thực hiện dao động tự do có cản ứng với điều kiện đầu:

Trong miền này ta có:

Biểu thức nghiệm có dạng:

) / ( q ) t q );

/ ( q

)

t

0 ) s ( N );

/ ( q ) / ( nq 2 ) / ( sq ) s (

t(q

π

−ωωπ+

π

−ωω

⎟

⎜ ω

π

−

tsin/qkt

cos/e

t n

1 1

Chương II Dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do

2.1.1 Hệ nhiều bậc tự do

Thực tế các hệ cần tính toán dao động phần lớn là các hệ đàn hồi phức tạp, như: dầm, thanh có tiết diện không đổi hoặc thay đổi, các trục thẳng có gắn các đĩa, các trục khuỷu của động cơ đốt trong, các cánh và đĩa tuốc bin v.v

Để xác định đầy đủ biến dạng của hệ sinh ra do dao động, ta cần biết dịch chuyển của tất cả các điểm của nó, những hệ đàn hồi như thế có vô số bậc tự do

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp việc nghiên cứu dao động ở các hệ phức tạp vô số bậc tự do gặp nhiều khó khăn về toán học Việc tính toán thực tế kỹ thuật phải đưa vào các sơ

đồ đơn giản để tính toán hệ dao động Có nhiều cách đơn giản hoá khác nhau, một trong các cách được sử dụng rộng rãi là: Thay hệ phức tạp bằng một hệ khác đơn giản hơn với khối lượng và độ cứng phân bố khác đi, nhưng gần hệ đã cho ở chỗ: Giá trị tính toán không khác mấy giá trị thực Hệ này được gọi là hệ thu gọn (hay hệ tương đương) Phương pháp này cho phép ta thay các hệ vô số bậc tự do bằng hệ hữu hạn bậc tự do tương đương

m

B

q

A

Ta minh hoạ ý tưởng trình bày trên bằng ví dụ đơn giản sau đây: Tải

trọng m được treo vào điểm A cố định bằng lò xo AB (Hình 2-1) Nếu kể đến

sự phân bố khối lượng của lò xo thì hệ sẽ có vô số bậc tự do Nhưng nếu khối

lượng của tải trọng m vượt xa khối lượng của lò xo và yêu cầu chỉ xác định tần

số dao động nhỏ nhất, ta có thể bỏ qua khối lượng lò xo và chỉ tính đến tính

đàn hồi của nó Mặt khác chỉ xét đến dịch chuyển thẳng đứng của tải trọng m

thì ta hoàn toàn có thể xem hệ có một bậc tự do, vị trí của hệ dao động được

xác định duy nhất bởi toạ độ suy rộng q

Hình 2-1

2.1.2 Phương pháp chung thiết lập phương trình vi phân chuyển động

Việc lựa chọn phương pháp thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ nhiều bậc tự

do phụ thuộc vào mô hình cơ học của hệ

Đối với các cơ hệ gồm các chất điểm, các vật rắn, các lò xo bỏ qua khối lượng, các bệ giảm chấn ma sát, người ta thường dùng phương trình Lagrăng loại II để thiết lập phương trình dao động Đối với các kết cấu đàn hồi, như dao động uốn của dầm có khối lượng tập trung, , người ta thường dùng phương pháp lực,

Trong phần trình bày này, ta nêu cách áp dụng phương trình Lagrăng loại II để thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ nhiều bậc tự do

Xét hệ N chất điểm, có n bậc tự do, chịu tác dụng của các lực có thế, các lực cản phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc và các lực kích động là hàm bất kỳ của thời gian Pi(t) (i =1,n)