PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Dạng cơ bản
x − = −4 x 2
2 2
2
2
x
< ≤
− = − ⇔ − = − ⇔ − = − + ⇔ − = ⇔ =
23
+
t= x 9, t− ≥ ⇒ = + ≥0 x t 9 9
Phương trình cho viết lại :
2
2
2
− =
=
≥
Vậy phương trình cho có 3 nghiệm x=13, x=25, x=73
+ ≥
− ≥
x
x
Đặt
2
−
2
−
Vì t2+ + >2t 2 0 nên ( )* ⇔ = ⇔t 2 x 1+ + 3 x− = ⇔2 (x 1 3 x+ )( − )= ⇔ = −0 x 1, x=3
Chú ý : Cho hai số a≥0, b≥0 nếu t= a + bthì a+ ≤ ≤b t 2 a( +b) ( Đại số 9)
Dễ thấy
AM GM
−
AM−GM viết tắt bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân
Trang 2Giải phương trình : ( ) 2 2 ( )
t= x +1, t≥1
1 ⇔ 4x 1 t− =2t +2x 1− ⇔2t − 4x 1 t− +2x 1− = ⇔0 2t 1 t− −2x 1+ =0
2
2
1
x
x 2
2
3
= < − > >
2x− ≥ ⇔ ≤ ≤x 0 0 x 2
2
− ≥ ⇔ ≥
2
⇒ ∈
2
∈
4
2
2 1
2
VT
xảy ra khi t= ⇔ =1 x 2
Vậy phương trình có nghiệm x=2
3
( )
Đặt
2
2
− +
+ +
Trang 3Phương trình ( ) 2 2 2
2
3
t 3
= − <
+ +
=
Vậy phương trình có nghiệm x=1
12
−
Điều kiện để phương trình có nghĩa :x>1
= > ⇒ < <
y
2
−
Phương trình ( )2 viết lại :
(
2
2
7 t
5
7
=
−
2 2
2
49 1
−
t
Từ ( )a và ( )b suy ra ( ) 5 4 5 3
=
x y
Chú ý : Với điều kiện x >1gợi liên tưởng bài toán này có cách giải lượng giác , với 1
cos
=
x
t hoặc
1
sin
=
x
t
Giải phương trình : x2−4x− =3 x+5
Điều kiện để phương trình có nghĩa :x+ ≥ ⇔ ≥ −5 0 x 5
( )2 2
y 2− = x+5, y≥ ⇔2 y 2− = +x 5
Ta có hệ :
2
2
2
x
− = +
+ + =
≥
Trang 4Giải phương trình : 2x 15+ =32x2+32x−20
2
+ ≥ ⇔ ≥ −
2
2
Ta có hệ :
2 2
2
x 2
y 2
Dạng tổng hiệu – bình phương
Giải phương trình : x+ 1 x− +2 x 1 x( − )−2 x 1 x4 ( − ) =1
≥
− ≥
x
x
( ) ( )
⇔
Phương trình
( )
( ) ( )
⇔
( )
2
Trang 54 4
4
4 2 4
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
− + >
Phương trình
( )
2
+ − + >
2
Dạng dùng bất đẳng thức
Giải phương trình : x2+ − + − + + =x 1 x2 x 1 x2− +x 2
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
2 2
+ − ≥
− + + ≥
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ,
x − + =x 2 x + − + − + + ⇔x 1 x x 1 x − + ≤ + ⇔x 2 x 1 x 1− ≤ ⇔ =0 x 1 Vập phương trình cho có nghiệm x=1
Giải phương trình : 2x2− + −x 3x2+3x 1+ =x2−2x+3
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
2 2
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ,
2
2 2
2
x 1
−
( )2 2
VP=x −2x+ =3 x 1− + ≥2 2
Trang 62
1 1 3x 3x
− =
= + −
Vậy phương trình có nghiệm x=1
Dạng khác
Giải phương trình :
Hướng dẫn :
4 1 '
−
−
x
x
t ⇒ ∈ −t 2; 2 2 Phương trình :
3
14 2 ,
2 , 0 0
8 2
Đặt t= x 1+ + 4−x ; x∈ −[ 1; 4]⇒ = ⇒ ∈ t ' 0 t 5; 10
2
5
2
=
∨
=
⇔
=
− +
2
>
− +
−
=
≥
0 ) ( '
; 1 4 1 4
)
(
2
1
2
x f x x
x
f
x
2
1 )
2
1 ( 1 )
Nhân lượng liên hợp
Giải các phương trình :
a) ( x 1 1+ + )( x 1 2x 5+ + − =) x
Nhân cả hai vế phương trình với x 1 1+ − ta được phương trình hệ quả
x x 1 2x 5+ + − =x x 1 1+ − ⇔x x 1 2x 5+ + − − x 1 1+ − =0
=
Thử lại ta thấy x=2 thỏa mãn
Nhân cả hai vế phương trình với 2x2+3x+ −5 2x2−3x+5 ta được phương trình hệ quả :
Trang 7( 2 2 ) ( )
=
2 2x +3x+ = +5 2 3x⇔4 2x +3x 5+ = +2 3x phương trình hệ quả
=
Kiểm tra lại các nghiệm x=4; x= −4; x=0 ta thấy x=4thỏa mãn
Giải các phương trình :
a)
2
x
4
a)
2
x
4
Độc giả thấy quá quen thuộc bài toán trên giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức , đánh giá , lượng giác… nay tôi giới thiệu cách giải nhân lượng liên hợp
+ ≥
− ≥
x
x
Vì − ≤ ≤1 x 1 nên
2
x
4
− >
Phương trình cho
16
2
2
x
16
=
⇔ = − + − ⇔ = − + − ⇔ =
2 2
x
16
− <
+ − <
Vậy phương trình cho có nghiệm x=0
b) 4x2− −1 2x 1 1 x+ = + −2x2
kiện để phương trình có nghĩa :
2
1
1
2
≥
⇔
+ ≥
x x
x
x
2
= −
2
= −
Trang 8• Nếu 1
2
≥
⇔ x− − = x+ − + ⇔x x− − x− + = x+ − +x x− +
=
x
2
Dùng đạo hàm
x+ +7 x −2x 1+ =2
3 3
6 2
3 3
+ + − =
≥
<
Trường hợp 1:
3 3
≥
Hàm số f x là hàm số đồng biến và luôn cắt đường thẳng y( ) =2 tại 1 giao điểm ; do đó phương trình cho có nghiệm duy nhất và f 1( )= ⇒ =2 x 1là nghiệm duy nhất của phương trình
Trường hợp 2 :
3 3
<
u= x+7, v= x 1−
Hệ
3 3
3
3
3 3
<
= + =
− =
+ =
=
− =
Vậy hệ cho có nghiệm x= −7; x=1
Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: x x+ x+12 =m( 5−x+ 4−x)
Phương trình cho ⇔(x x+ x+12)( 5−x− 4−x)=m
( )
( )
1442443 1442443
( )x =(x x+ x+12)
Trang 9( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )
−
trình có nghiệm khi và chỉ khi f( ) ( ) ( )0 ≤ f x ≤ f 4 ⇔2 3( 5− 4)≤m≤12
Bài tập :
Bài tập 1: Xác định m để phương trình : x2 −6x+m+ (x−5)(1−x)=0 có nghiệm
2
4
sin 2 sin sin
2
2
2 ' 1
|
|
; sin
sin 2 sin
2
2 2
∈
⇒
−
−
−
=
⇒
≤
=
− +
=
t z
z z t
z x z
x x
t
2
; 0
) ( 2 2 2
2
2 sin
2
sin
2 2
∈
=
− +
=
⇒
−
=
−
t
t f t
t m t
x x
cos sin
1 sin
sin 2
1 Giải phương trình khi m=2 2
2 Định m để phương trình cho có nghiệm
−
∈
2
; 2
π π x
Hướng dẫn :
∈
⇒
−
=
⇒
≤
=
−
+
=
4
9
; 0 2
1 ' 1
|
|
;
sin
sin sin
t z t
z
x
z
x x
t
2 2 2
1 4 ) ( 4
9
; 0
≤
≤
⇒
= +
−
=
∈
m t t
f t
Bài tập 4: Xác định theo m số nghiệm phương trình : x4+4x+ +m 4 x4+4m+ =m 6
t= x + x+m f x = − −x x+ =m
19
m> : vô nghiệm ; m=19 : 1 nghiệm ; m<19 : 2 nghiệm
1 2+ x 3−x > +m 2x −5x+3 thỏa mãn 1;3
2
∀ ∈ −
−
x
5
4
t = ⇔ =x
Trang 10x 1
2 − 5
4 3
t’ + 0 –
t 7
2 : 1;3 0;7 2 2 x∈ − ⇒ ∈t 0 0
Để bất phương trình cho đúng 1 2 ;3 thì : 6 2 x∈ − t+ > +t m đúng 7 0; 2 t ∈ Đặt 2 1 ( ) '( ) 2 1 '( ) 0 2 f t = + ⇒t t f t = + ⇒t f t = ⇔ = −t t −∞ 1
2 − 0 7
2 f’(t) +
f(t)
0
7 0;
2
t