PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Vấn đề này xuất hiện nhiều trong các đề thi toán vào Đại học, Cao đẳng.. Ngay từ lớp 10 các bạn cần nắm vững những phương pháp để giải quyết các phư
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Vấn đề này xuất hiện nhiều trong các đề thi toán vào Đại học, Cao đẳng Ngay từ lớp 10 các bạn cần nắm vững những phương pháp để giải quyết các phương trình, bất phương trình
vô tỷ
1 Phương pháp lũy thừa
Những điều cần lưu ý:
- Phải đảm bảo các căn bậc chẵn có nghĩa
- Chỉ được bình phương hai vế của phương trình, bất phương trình khi hai vế không âm
- Một số phép biến đổi tương đương cơ bản
a = b a b ;
a 0
=
=
a = b b 02
a b
=
=
a < b 0 = a < b ; a b< 2
b 0
a b
a 0
>
<
=
a > b
2
b 0
a 0
b 0
a b
<
=
=
>
- Thận trọng trước khi quyết định lũy thừa hai vế bởi sẽ làm tăng bậc của ẩn Có khi phương trình, bất phương trình đưa về được dạng tích
Thí dụ 1:(Đề ĐHXD - 1997) Giải phương trình
2
x + x 1+ =1 (*)
Giải: Ta có (*) x 1 1 x+ = − 2
2
2 2
x 1 (1 x )
− >
+ = −
(x 1)[1 (1 x) (1 x) ] 0
− = =
1 x 1 x(x 1)(x x 1) 0
− = =
1 x 1
x 0
x
2
− = =
=
= −
=
x 0
x 2
=
= −
= −
Thí dụ 2: Giải phương trình
Trang 23x 1+ − 2x 1 x+ =
Giải: Ta có 3x 1+ − 2x 1 (3x 1) (2x 1)+ = + − +
( 3x 1+ − 2x 1+ ) [ 3x 1+ + 2x 1 1+ − =] 0
Trường hợp 1: 3x 1+ = 2x 1+ 3x + 1 = 2x + 1 = 0
Trường hợp 2: 3x 1+ + 2x 1 1+ =
1
x
3
5x 2 2 (3x 1)(2x 1) 1
= −
2
1 x 3
= −
2
x
− = = −
x 5 2 7= −
Tóm lại pt có 2 nghiệm x = 0 hoặc x = 5 2− 7
không đưa về dạng tích thì lời giải sẽ phức tạp hơn nhiều
Thí dụ 3:(Đề thi Tài chính Kế toán - 1997)
Giải bất phương trình: 51 2x x2 1
1 x
− − <
Giải: (*)
2
2
1 x 0
1 x 0
51 2x x (1 x)
− <
− >
− − < −
2
2 2
x 1
x 1
>
<
− >
0
0 Giải từng hệ ta có nghiệm x (1; 1 2 13 ] [ 1 2 13; 5] − + − − −
Chú ý: Nhiều bạn và nhiều cuốn sách luyện thi hiện nay đang sử dụng phép biến đổi:
3a+3b = c (1) a b 3 a b= + 3 3 (3a+3b)= c3
Sau đó thế 3a+ b bởi c để được: 3
3
3 3
a b 3 a b c c+ + = (2)
Lưu ý rằng các nghiệm của (2) chưa hẳn đã là nghiệm của (1) Ta thử tìm mối liên hệ giữa tập nghiệm của (1) và (2)
Ta có: (2) a b ( c)+ + − 3−3 a b ( c) 03 3 − =
Dùng kết quả:
x +y + −z 3xyz (x y z)(x= + + +y +z −xy yz zx)− −
ta dẫn đến:
Trang 3(2) (3 3 ) (3 3 ) (3 ) (2 3 )2
a+ b c− a − b + a c+ + b c+ 0=
(1) (3) Như vậy:
y Nếu (3) vô nghiệm thì (1) và (2) tương đương
y Nếu (3) có nghiệm x = α thì (2) cũng có nghiệm x = α Nghiệm này thỏa mãn (1) x = α là nghiệm của hệ
c a = b = c = 0
Nghiệm này không thỏa mãn (1) x = α
không thỏa mãn : a = b = c = 0
y Nếu x = α là nghiệm của (2), không là nghiệm của (3) sẽ là nghiệm của (1)
Thí dụ 4: Giải phương trình:
32x 1+ +3x 1+ =33x 1− (1)
Giải: a = 2x + 1; b = x + 1; c=33x−1
Ta có phương trình (2)
2x + 1 + x + 1 + 33(2x 1)(x 1)(3x 1) 3x 1+ + − = −
3(2x 1)(x 1)(3x 1)+ + − = −1
6x3+7x2 =0
x 0 7 x 6
=
= −
Ta có (3) là 32x 1+ =3x 1+ = −33x 1− x = 0
Vậy x 7
6
= − không là nghiệm của 93) nên là nghiệm của (1) Mặt khác x = 0 không thỏa mãn 2x + 1 = x + 1 = 33x 1 0− = nên không thỏa mãn (1)
Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất x 7
6
= −
Chú ý: Các bạn giải bài trong đề 48 của Bộ đề thi tuyển sinh cần lưu ý (3) vô nghiệm nên (1) và (2) tương đuowng
2 Phương pháp đặt ẩn phụ
Điều cần lưu ý các bạn là điều kiện của ẩn phụ phải thật chính xác, kẻo chuyển bài toán ban đầu về một bài toán không tương đương Các hướng đặt ẩn phụ sẽ thể hiện qua các thí dụ:
Thí dụ 5:(Đề thi ĐHKTQD - 1998) Xác định a để phương trình
1 x+ + 8 x a− = − (1 x)(8 x)+ − (*) có nghiệm
Giải: Đặt t= 1 x+ + 8− x
Trang 4⇒ t ' 8 x 1 x 7 2x
2 (1 x)(8 x) 2 (1 x)(8 x)( 8 x 1 x )
Lập bảng biến thiên của t:
t
3
3 2
3
Khi đó: t2 9 (1 x)(8 x)
2− = + − nên (*) trở thành t a t2
2
−
= − 9
2
2 + − =2 (**)
Phương trình (*) có nghiệm (**) có nghiệm thỏa mãn
t [3; 3 2 ] đường thẳng y = a có điểm chung với đồ thị
2
= = + − với t [3; 3 2]
Vì f'(t) = t + 1 nên ta có bảng biến thiên:
f(t)
3
9
3 2
2+
Do đó a 3; 9 3 2
2
Thí dụ 6: Giải phương trình:
(4x 1) x− − =1 2x +2x 1+
Giải: Đặt t= x2+ =1
2
2(t − +1) 2x
1 thì x2 = −t2 1 Phương trình đưa về dạng
2t2−(4x 1)t 2x 1 0.− + − =
Giải t theo x ta có t 1
2
= hoặc t = 2x − 1
Trang 5Vì t = 1 nên t = 2x − 1 x2+ =1 2x−1
1 x 2
x 1 (2x 1)
=
2
1
x
2
=
x 4
3
=
Thí dụ 7: Giải phương trình:
x + =1 2 2x−1
Giải: Đặt t=32x−
3
x + =1 2t
t
x
1 1
0
khi đó phương trình đã cho trở thành Vậy ta có hệ:
3
t + =1 2x
3
3
+ =
Nếu x > t ⇒ x3+ > +1 t3 ⇒ 2t > 2x ⇒ t > x mâu thuẫn
Nếu x < t ⇒ ⇒ 2t < 2x ⇒ t < x cũng mâu thuẫn Vậy t = x Phương trình đã cho tương đương với
x + < +1 t
3
x + =1 2x x3−2x 1+ = ⇒ (x−1)(x2+ − =x 1) 0
⇒
x 1
x
2
=
− ±
=
Thí dụ 8: Giải phương trình
4x+417 x− = 3
Giải: Đặt u=4x = 0 ; v=417 x− =0, dẫn đến hệ:
7
=
u v 3
+ =
u v 3 [(u v) 2uv] 2(uv) 17
+ =
(uv) 18(uv) 32 0
+ =
u v 3
uv 2
uv 16
+ =
=
Theo định lý Viet thì u, v là các nghiệm của phương trình:
t = 1 và t = 2 hoặc (vô nghiệm)
2
Do đó:
Trang 6u 1
v 2
u 2
v 1
=
=
=
=
4 4 4 4
x 1
17 x 1
=
− =
=
− =
x 1
x 16
=
=
3 Sử dụng bất đẳng thức và tính chất hàm số
Thí dụ 9: Giải phương trình
20001 x+ +20001 x 1− =
Giải: Điều kiện căn thức có nghĩa: −1 = x = 1
Gọi vế trái là f(x) Nếu x > 0 thì 20001 x 1+ > nên f(x) > 1, không thỏa mãn Nếu x < 0 thì 20001 x− nên f(x) > 0 cũng không thỏa mãn Tóm lại phương trình vô nghiệm
Thí dụ 10:(ĐH Ngoai thương - 1997) Giải phương trình:
x +15 3x 2= − + x + 8
Giải: Viết phương trình về dạng:
x + −15 x + =8 3x− 2
Gọi vế trái là f(x) thì f(x) > 0 với mọi x nên 3x − 2 > 0 ⇒ x 2
3
>
Lưu ý:
7 x)
=
+ f(1) = 1 = 3.1 − 2 nên x = 1 là nghiệm
+ Nếu x > 1 thì f(x) < f(1) = 1 < 3x − 2 nên không thỏa mãn
+ Nếu 2 x 1
3< < thì f(x) > f(1) = 1 > 3x − 2 nên cũng không thỏa mãn
Tóm lại: PT có nghiệm duy nhất x = 1
Chú ý: Các bạn lớp 12 có thể thấy f'(x) < 0 với x 2
3
> nên f(x)
nghịch biến trên 2;
3 + 8
Thí dụ 11: Tìm m để phương trình:
1 x+ + 1 x− + 1 x+ + 1 x− = có nghiệm duy nhất m
Giải: Gọi vế trái là f(x) thì f(x) là hàm số chẵn trên [−1; 1]
Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm duy nhất x = α, vì f(x) là hàm số chẵn nên f(α) = f(−α) ⇒ x = −α cũng là nghiệm Vì nghiệm là duy nhất nên α = −α ⇒ α = 0 Thay x = 0 vào phương trình ta có m = f(0) = 4
Trang 7Điều kiện đủ: Với m = 4, ta có phương trình f(x) = 4 Áp dụng bất
đẳng thức Bunhiacôpski ta được
1 x+ + 1 x− =2(1 x 1 x) 4+ + − = ⇒ 1 x+ + 1 x 2− = (1)
1 x+ + 1 x− =2 1 x+ + 1 x− = 4
⇒ 41 x+ +41 x 2− = (2)
Từ (1), (2) suy ra: f(x) = 4 Vậy f(x) = 4 (1), (2) đồng thời trở
thành đẳng thức
41 x 41 x
+ = −
Do đó m = 4 là giá trị duy nhất thỏa mãn
Thí dụ 12. Giải bất phương trình
x+ x − + >x 1 2 x− 9+1
Gọi vế trái là f(x) và vế phải là g(x)
2x 1 1
(2x 1) 3 2x 1
f '(x)
− +
| 2x 1| 2x 1
0
− + −
mọi x
⇒ f(x) đồng biến trên R
Mặt khác g'(x) = −99x2 =0 mọi x nên f(x) nghịch biến trên R
Ta có: f(1) = g(1) = 2 Nếu x > 1 thì f(x) > f(1) = g(1) g(x)
⇒ x > 1 thỏa mãn Nếu x < 1 thì f(x) < f(1) = g(1) < g(x) nên
không thòa mãn
Tóm lại: Nghiệm của bất phương trình là x > 1
4 Phương pháp lượng giác hóa
Nhiều phương trình, bất phương trình có thể lượng giác hóa để lợi
dụng các công thức lượng giác rút gọn các biểu thức vô tỷ
Thí dụ 13: Giải phương trình
1+ 1 x− =x 1 2 1 x+ −
Giải: Để căn thức có nghĩa thì x [−1; 1] Đặt x = sinα với
;
2 2
π π
α −
Phương trình trở thành:
Trang 81 cos+ α =sin (1 2cos )α + α
3
α = α + α <> α =
;
2 2
π π
α −
sin
2α = 2
;
6
π
α = hoặc 2
π
α = x 1
2
= hoặc x = 1
Thí dụ 14: Tìm m để bất phương trình:
m+ x + m− x = 2 có nghiệm
Giải: Với m < 0 thì m− x vô nghĩa với mọi x nên bất PT vô nghiệm Với m = 0 thì dễ thấy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 Với m > 0 thì điều kiện căn thức có nghĩa là x
m
Đặt x =m cosα với α 0;
2
π
thì bất phương trình trở thành:
m(1 cos )+ α + m(1 cos )− α =2 cos 1
α π
− =
0;
2
π
α thì 22 =cos α π2 − .
1 4
Vậy bất phương trình có nghiệm:
1
2
m = 2 0 = m = 2 Tóm lại: 0 = m = 2
Bài tập: 1. Giải phương trình
a) 5 x3+ =1 2(x2+2)
b) x 2 5x22 10x 1
− =
d) 3x 1+ − x 1 2x+ =
2. Tìm m sao cho:
a) 3x2−mx m 3 1 2x+ − + = có nghiệm duy nhất
Trang 9b) x2−2x m+ = 3 2x x+ − 2 thỏa mãn với x [ 1; 3] −
3. Giải bất phương trình:
−
− − − > 1
x
b) 33x 1− + x 1 4.+ >
4*. Giải phương trình:
1+ 1 x− (1 x)+ − (1 x)− = +2 1 x− 2
