PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ - TOÁN 12_4 pptx

PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ - TOÁN 12 Bài tập đề nghị... PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 1... Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,…….hãy xây dựng những phương trình vô tỉ t

PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ

TỈ - TOÁN 12

Bài tập đề nghị

Giải các phương trình sau

4 x 4 1 x x 1 x 2  4 8

2x   8 4 4 x  4 x  4

16x   5 6 4x x

3` 3 2 8 40 8 4 4 4 0

8 x  64 x x  8x  28

2

2

      

3 Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học

3.1 Dùng tọa độ của véc tơ

 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: u x y1 ; 1, v x y2 ; 2

khi

đó ta có

u  v  u  v  x x  y  y  x y  x y

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ u , v

cùng hướng

0

k

    , chú ý tỉ số phải dương

 u v   u v  cos  u v 

, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi cos   1 uv

3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác

 Nếu tam giác ABC là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có MA MB MCOA OB OC với O là tâm của đường tròn Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi M O

 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc 0

120

Bài tập

2x  2x  1 2x  3 1  x  1 2x  3 1  x  1 3

IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu

 Dựa vào kết quả : “ Nếu y f t  là hàm đơn điệu thì

   

f x  f t  xt” ta có thể xây dựng được những phương trình vô tỉ

Xuất phát từ hàm đơn điệu :   3 2

y f x  x x  mọi x 0 ta xây dựng phương trình :

f x  f x  x x   x  x  , Rút gọn ta được phương trình

2x x  3x  1 2 3x 1 3x 1

Từ phương trình f x  1 f  3x 1 thì bài toán sẽ khó hơn

2x  7x  5x 4  2 3x 1 3x 1

Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau :

Đặt y 3x 1 khi đó ta có hệ :

2

3 1





 

trình ta được:

 3  2

2 x 1  x 1 = 3 2

2 y  y

Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ?

Bài 1 Giải phương trình :   2   2 

2x 1 2  4x  4x 4  3x 2  9x  3  0

Giải:

2x 1 2 2x 12 3  3x2  3x2 3 f 2x 1 f  3x

Xét hàm số    2 

f t t  t  , là hàm đồng biến trên R, ta có 1

5

x  

Bài 2 Giải phương trình 3 2 3 2

Giải Đặt 3 2

y x  x , ta có hệ :

3 3





  



Xét hàm số :   3

f t t t, là hàm đơn điệu tăng Từ phương trình

5

2

x

x







              

 



Bài 3 Giải phương trình :3 6x  1 8x3  4x 1

V PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

1 Một số kiến thức cơ bản:

 Nếu x 1 thì có một số t với ;

2 2

t  

  sao cho : sin t x và một

số y với y0; sao cho x cosy

 Nếu 0  x 1 thì có một số t với 0;

2

   sao cho : sin t x và một

số y với 0;

2

   sao cho x cosy

 Với mỗi số thực x có ;

2 2

  

  sao cho : x  tant

 Nếu : x,y là hai số thực thỏa: 2 2

1

x y  , thì có một số t với

0  t 2 , sao cho x sin ,t y cost

Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán :

 Nếu : x 1 thì đặt sin t x với ;

2 2

t  

   hoặc x cosy với

0; 

 Nếu 0  x 1 thì đặt sin t x, với 0;

2

  

  hoặc x cosy, với

0;

2

  

 

 Nếu : x,y là hai số thực thỏa: 2 2

1

x y  , thì đặt x sin ,t y cost

với 0  t 2

 Nếu x a, ta có thể đặt :

sin

a x

t

2 2

  

  , tương tự cho

trường hợp khác

 x là số thực bất kỳ thi đặt : tan , ;

2 2

Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ?

Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện x f t  thì phải đảm bảo với mỗi x có duy nhất một t, và điều kiện trên để đảm bào điều này (xem

lại vòng tròn lượng giác )

2 Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ?

Từ công phương trình lượng giác đơn giản: cos 3t  sint, ta có thể

tạo ra được phương trình vô tỉ

cos 3t  4cos t 3cost ta có phương trình vô tỉ: 3 2

4x  3x 1 x (1)

Nếu thay x bằng 1

x ta lại có phương trình : 2 2 2

4 3  x x x  1 (2)

Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố

4x  12x  9x  1 2xx (3)

Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ?

Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,…….hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác

3 Một số ví dụ

Bài 1 Giải phương trình sau :    

2

3 3

x

Giải:

Điều kiện : x 1

Với x  [ 1;0]: thì 1 x3  1 x3  0 (ptvn)

[0;1]

x  ta đặt : cos , 0;

2

    Khi đó phương trình trở thành:

2 6 cos 1 sin 2 sin cos

1

6

x 

Bài 2 Giải các phương trình sau :

  HD: tan 1 2 cos

1 2 cos

x x

x







1  1 x x 1 2 1  x Đs: 1

2

x 

3) 3

x  x x HD: chứng minh x 2

vô nghiệm

Bài 3 Giải phương trình sau: 3 6x  1 2x

Giải: Lập phương 2 vế ta được: 3 3 1

2

Xét : x 1, đặt x cos ,t t0; Khi đó ta được cos ; cos5 ;cos7

mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình

Bài 4 Giải phương trình 2

2

1 1

1

x

x





Giải: đk: x 1, ta có thể đặt 1 , ;

t

 

Khi đó ptt: 2  

cos 0 1

2

t t









Phương trình có nghiệm : x   2 3 1  

Bài 5 Giải phương trình :  

2 2 2

2

2

1 1

1

x x

x







Giải: đk x 0,x  1

Ta có thể đặt : tan , ;

2 2

2sin cos 2t t cos 2t  1 0  sin 1 sint  t 2sin t  0

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm 1

3

x 

Bài tập tổng hợp

Giải các phương trình sau

2

2x  2x 30  2007 30  4x 2007  30 2007

2

12 8

2 4 2 2

9 16

x

x



 3

3 x  1 3 x  1 x 2

3 x 3 x  1 2x 1

4x 5  3x  1 2x 7  x 3

4 3 10 3   x  x 2 (HSG Toàn Quốc

2002)

2 2 x 5 x  x 2 x 10 x

2

3

3

2x  11x 21 3 4  x 4  0 (OLYMPIC

30/4-2007)

2x   1 x  3x 2  2x  2x  3 x  x 2

2x  16x 18  x   1 2x 4

2

2

3 1

x

 

  



12 x 2 x  1 3x 9

4 4

2

4x  3x  3 4x x  3 2 2x 1

x  x x    x x 

4 2x 4  16 2 4 x  16 2 x  9x  16

2

(2004 )(1 1 )

(x 3 x 2)(x 9 x 18)  168x

3

x  x   x x 

 2 3 2  2

2 1 x  3 1 x  1 x  0 2

2008x  4x  3 2007 4x 3

3 2x   1 1 x 1 3  x 8 2x  1

2

12 1 36

4x 1 x   1 2x  2x 1



5x  14x  9 x  x 20  5 x 1

3

3 6x  1 8x  4x 1

15

30 4 2004 30060 1 1

2

4 9

28

x



4x  4x 10  8x  6x 10

3 x x xx

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

I PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Dạng 1 : Phương trình A B A B 0 x D (*)









Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của

0

A  hay B 0

Dạng 2: Phương trình A B B 02









Dạng 3: Phương trình

+)

0 0 2

A

 







(chuyển về dạng 2)

3

và ta sử dụng phép thế :3 3

A B Cta được phương trình :

3

3

Bài 1: Giải phương trình:

a) 2

x   x

b) x 2x 3  0

c) 2

1 1

e) 3x 2  x  1 3

f) 3 x 2 x  1

g) x 9   5 2x 4

h) 3x 4  2x  1 x 3

(x 3) 10 x  x  x 12

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2

Bài 3: Cho phương trình: 2

1

-Giải phương trình khi m=1

-Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 4: Cho phương trình: 2

2x mx  3 xm

-Giải phương trình khi m=3

-Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

II.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

-Nếu bài toán có chứa f x( ) và f x( ) khi đó đặt t  f x( ) (với điều kiện tối thiểu là t 0 đối với các phương trình có chứa tham số thì nhất thiết

phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ)

-Nếu bài toán có chứa f x( ), g x( ) và f x( ). g x( ) k (với k là hằng số) khi đó có thể đặt : t  f x( ), khi đó g x( ) k

t



-Nếu bài toán có chứa f x( )  g x( ) ; f x g x( ) ( ) và f x( ) g x( ) k khi đó có thể đặt: t  f x( )  g x( ) suy ra

2 ( ) ( )

2

-Nếu bài toán có chứa 2 2

a x thì đặt x asint với

2 t 2

 

   hoặc

cos

x a t với 0  t 

-Nếu bài toán có chứa 2 2

x a thì đặt

sin

a x

t

 với ; \ 0 

2 2

  

cos

a

x

t

 với 0; \

2

  

 

-Nếu bài toán có chứa 2 2

x a ta có thể đặt x a.tant với ;

2 2

  