Phương trình tích phân của hàm có giá trị vectơ

LOI CAM ON Trước tiên tôi xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa đã tận tình chỉ bảo, góp ý cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này.. Ở chương 2 : có hai vấ

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU PHAM TP.HO CHi MINH

Tran Van Tri

PHUONG TRINH TICH PHAN CUA HAM

CO GIA TRI VECTO

Chuyén nganh: Toan giai tich

Mã số: 60.46.01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS.LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh-2009

LOI CAM ON Trước tiên tôi xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa đã tận tình chỉ bảo, góp ý cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này

Nhân đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô, những người đã tận tình truyền đạt kiến thức cho tôi trong hai năm học cao học vừa qua Xin chân thành cảm ơn

Học viên

Trần Văn Trí

DANH MUC CAC KY HIEU

Phương trình (*) đã được khá nhiều nhà toán học quan tâm, bên cạnh việc

chứng minh sự tồn tại nghiệm việc khảo cứu cấu trúc của tập nghiệm cũng được đề cập chẳng hạn như:

Trường hợpE= và hàm ƒ(,s,x(s))= v(s,£)x(Ø,(s)), Avramescu [6] đã

chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình

x(t)=y(t)+ ! Vv(s,t)x(6,(s))ds + J K(t s)g(s,x(0,(s)))ds, t>0 (**)

Trường hợp E là không gian Banach thực Hóa, Ngọc [8] đã chứng minh

tập nghiệm của phương trình

x(t)= y(t )+ [Fle S 26} + [s(s x(s))ds , >0 (***)

là khác rỗng, compact, liên thông

Với các kỹ thuật và ý tưởng tự như trong [7], [8] tôi sẽ chứng minh tập

nghiệm của phương trình (*) khác rỗng, compact liên thông với các giả thiết

của hàm f, g nhẹ hơn trong [6],[7].|§] Kết quả chính của luận văn này được trình bày ở định lí 3.1, định lí 3.2 Cụ thê như sau

Ở chương 1 gồm các định lí mà các kết quá của nó dùng trong các chứng minh ở chương 2 và chương 3 gồm các định lí 1.2, định lí 1.3, định lí 1.6,

định lí 1.8, định lí 1.9

Ở chương 2 : có hai vấn đề

Một là sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân trong không gian

Banach và kết quả chính là định lí 2.1.5

Hai là định lí Krasnoselskii-Perov nói về tính chất của tập nghiệm

Ở chương 3 chứng minh tập nghiệm của phương trình (*) khác rỗng, compact, lién thong Viéc chứng minh dựa vào hai định lí 2.1.5 và định lí 2.2 Kết quả chính của chương và của luận văn là định lí 3.1 và định lí 3.2

Chuong 1: KIEN THUC CHUAN BI

Dinh nghia1.1:[1]

Cho X,Y là hai không gian Banach Ánh xạ f :X —> Y được gọi là lipsit địa

phương nếu: với mọi xe X, tồn tại lân cận J của x„ và một hằng số k (không phụ thuộc x,) sao cho f(x) -f (x ) < kÌx—x

Với xe D đặt a, =|y<P/Iz@=/0)<5] thi Dc Ua,

Gọi {ƒ,,4 A} là phủ mở của D, được gọi là phủ mở hữu hạn địa phương

mịn hơn cia phu {@,,x € D} sao cho:

+ VxeD, tồn tại lan can V(x) thoa man :V(x) AV, #¢ chi voi mét sé hitu

han Ze A

+ Với mỗi 4 eA tổn tại xe D đễ ƒ, cø,

Với 2A xác định a, :D— R dinh boi:

oC) = p(x,9V,) khix €V,

trong d6 p(x, A) = inf {

x-y|,y€A}.

Dat 6, (x)= [Ee, 6|} œ,(x),x€D

mì

0 <|x-y| khi x,y ¢ V,

Ta có |a, (x)— œ,(y)| =1pŒ.ØV, ) <lx-y| khixeV,,yø V,

|p(«.ØV,)—p(y,ØV,)|<|x-y| khi x,y€ V,

Vay a, lipsitz trên D

Do {Ƒ,,4 e A} là phủ mở hữu hạn địa phương nên chỉ có hữu hạn j € A sao

cho x€V, và như vậy chỉ có hữu hạn \€ À sao cho œ (x) > 0

Vậy @ (x) hoàn toàn xác định

Hơn nữa ò (x)=0 nếu xếV, và 6, lipsitz dia phuong.V6i mdi \€ A,

Với mỗi xe D, tồn tại 4A để xe, và tồn tại x eD để V, ca,

Khi do x,a, eV, C@_nén I#@)-ƒ(4,)

Ù Với mọi xe X hàm /E> ƒ(¿,x) là (>,B(Y)) đo được với B(7) là

ơ -đại số Borel của Y

ii) V6i moi teQ ham xb f (t,x) lién tuc

Dat N, (x)(t) = g(t,x(0))

Nhận xét:

Nếu X là một không gian metric khả li ( separable metrizable space) va Y

là không gian metric thi hàm (z,x)-> ƒ(z.x) la 2x B(X)-do được

Hơn nữa ƒ là đồng độ đo (sup-measurable), nghĩa là mọi hàm đo được

„:QO—> Xthì hàm zE> ƒ(z,⁄(z)) là đo được (Denkowski, Migorski & Papageorgiou)

Trong mục sau, nếu không có chú thích gì thì chúng ta xét (O,,z) là một

không gian độ đo nonatomic, ø -hữu hạn, đầy đủ ( trong các áp dụng thường

su dung Q là một tập con của ” vdi d6 do Lebesgue) va X,Y là hai không

gian Banach kha li (separable Banach spaces)

Giả sử tồn tại & >1 sao cho /(#,) = 0 Bỡi vì không gian độ đo nonatomic,

o -hitu hạn, chúng ta có thé lay 8, €3) sao cho

Hiển nhién S,(z)~¢ VzeB,,

va GrS, €(2NB,)x B(X), với B() là ơ -đại số Borel của X

Chúng ta áp dụng định lí chọn Yankov-von Neumann-Aumann và thu được

một ánh xạ (5),8(X)) -đo được w, : 8, —› X sao cho

u,(z)ES,(z) Vz€B,

Chúng ta mở rộng +, lên () bằng cách đặt

u,(z)=0 nếu z€O\,.

Vi h(z,0)=0 VzEQ va u, EL? (O,X), ta cd

fr(z.u, (z)) du = [ h(z.u, (z)}4u>2e

Mau thuan gia thiét Vay cé diéu phai chimg minh

Định lí 1.6: [9]

Nếu ƒ:OxX >Ylà một hàm Carathéodory, pre[l+»s) va

N,:Ứ(O,X)->U(O,Y) thì N,liên tục, bị chặn (nghĩa là biến tập bị chặn

thành một tập bị chặn) hơn nữa tồn tại ae//(O),a>0 và e > 0 sao cho

|f(@,x)|, <a) +el[r (hầu khap noi z €Q)

Chứng mình:

® Ta chứng minh N, liên tục

Lay {u,},,, c?(Q,X) sao cho u, >u trong L’(Q,X)

Đặt g:Ox x — R định nghĩa như sau:

va g(z,v,(z)) >0 hau khap noi z€Q khi k > +0

Boi vi g(z,x) >0 W(z,x)€Qx X va v,(z) 0 hau khap nơi z

Chúng ta tìm &(z)< N, sao cho £(z)=sup g(z,v,(2)) = 8(2,Vy)(2)-

kel Dat

[lsceraues [sony lies Yrliaay = De

Nên mọi day con của {V,(x,)}_ hội tụ đến N,(x) trong 7(@;)

Vay N,(x,) > N,(x) trong L'(Q;Y)

Không mất tính tổng quát ta gia sir f(z,0)=0 VvzeQ

Vì N, liên tục tại 0, nên tồn tại ở >0, sao cho:

<1,V lu

L(Y)

Lay tuỳ ý we L?(Q,X) vachon n>1,n EN sao cho:

no" < Wel ony <(n+1)é’

Ta viét

a=a,

là hợp của các khoảng rời nhau sao cho

|e ca, xy SO" VEE fh +1 LP (4X)

Vi N, bi chặn nên ta tìm được sé c>0, sao cho :

ac vex) <6 “Means! CO)

Đặt ”:OxX-> được định nghĩa

ñœ2)|/G.3), ~dal |

Sử dụng bat dang thite (¢,-,) <&"-€,Vé>&

Khi đó, ta có

#'(z,x) <||ƒ(,x)|ÿ —e'lx|[j khi h(z,x) >0 (2)

Như trên, không mắt tính tông quát ta có thể giả sử /(z,0)=0,vz eO và đo (1)

ta có jIƯŒ.Œ); du= > J fEu@), du <(n+1)c" (3)

Bởi vì (5) nên V,(z)#¢@ hau khap noi zeQ

Nhưng khi đó ta cũng có GrW, <(Ynn,)xzœ),

voi GrV, ={(x.x) €XxX ':x€ V(x)

Ap dung dinh li chon Yankov-von Neumann — Aumamn ta chọn được một

anh xa (2,B(X))- do duge v,:D, > X sao cho:

Khi »>0 chúng ta áp dụng bổ đề Fatou’s ta được

Ja @du< jim inf [A"(z,y,(2))du se’

Q

Q

Như vậy ze7/(©)

Theo định nghĩa của »(z,x) ta có điều phải chứng minh

Ménh dé 1.7:[5]

Néu X là không gian Banach, CC Xlà tập khác rỗng, đóng và

f,:C—X la anh xa compact và ƒ, (x) — f(x) trong X và hội tụ đều trên tập con bị chặn của C thi f:C — X 1a anh xa compact

Chứng mình:

Theo giả thiết thì ƒ:C —› X liên tục Lấy 8C C là một tập bị chặn Khi đó với e>0, tồn tại m = m(e,B) > 1 sao cho

œ)=7G)|,<5 Vn>n,,xe 8 qd)

với n>n, tap f,(B) là tập compact trong X

Chúng ta lấy {x,},", với N, = N,(n,e) >1 sao cho

Do L là hữu hạn chiều nên compact

+ Với we L’(Q,X),1< p< khi đó với mọi £>0 tổn tại ham don giản

u, eỨ(O,X) sao cho:

|u-u,\, <e Khi đó L,h=[h(t)w,(t)de

fF, :Q4C=C(S,X) 1a L-do dugc Hay moi ge C(S,X) hàm khoảng

cach t-> d(f,(t),@) 1a L-do được

That vay

d(f,(t),~)= suparctan| f (¢,5) -9(s)|= suparctan| /(¢,5, ) —¢(s,)]

6 day {s,} là một dãy tập con trong S

Nhưng do giả thiết mọi hàm

t> arctan| ƒ (,s,) — @(s, | là L- đo được

thi {Q,\ là một họ tăng các tập con đo được của 2 thoa

và mỗi ƒ,:O, —> C(S, X) là L- đo được

Khi đó theo định lí Lusin với mọi £ > 0 tồn tại tập compact K,cO, với

„(O,\K,)< >

và với mọi ø€Ñ thì ƒ,: K, —> C(S, X) liên tục

Lay

Khi do Q, 1a tập compact thỏa ~(Q\Q,)<e va f,:Q, >C(S,X) 1a lién

tuc

Chương 2: SỰ TÒN TẠI VÀ TÍNH CHÁT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

2.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân trong không gian

Một tập 4 trong C(S) là compact tương đối khi và chi khi voi méi ne N, A

dang liên tục trên S, va tap {x(s):x 4,s §,} là compact tương đối trong

X,

Ménh dé 2.1.2:[3]

Gia sit N là tập số tự nhiên và {q, :s e[a,b]} là họ các hàm

4,:ÑxÑ—[0,+oo)_ thoả mãn các điều kiện sau:

i) g,(m,n)<q, (mn) néu s<s°

ii) 9,(m,n) < q,(m,k) + 94,(k,k) + 4,(kn)

ii) Với mỗi z>0 và se(z,ø) tồn tại số 5>0 va s6 reN sao cho voi

s,s’ e(a,b) vam,neN thi

Bước 2: Cho ¢>0 ta chon cdc sé 6,r theo diéu kién (ii) cha dinh lí để có

Điều Kién A[7]

Cho X là không gian vectơ tôpô lồi địa phương với P là họ tách các nửa

chuẩn trên X Cho Ð là tập con của X và U:D—> X, với mỗi ae X ta định

nghĩa U,(x) =U(x) + a là một ánh xạ từ D vào X

Toán tử Ú gọi là thỏa giả thiết (A) trên tập con © của X nếu

(4) với mọi aeO,U (D)cD

(4.) với mọi aeO và mọi pe Ptồn tại k„€Z, có tính chất

Ve>0,4r E€N,6>0:x,y ED, a? (x,y) <c+6>ơ/(UŒ).U;(y))<e

trong đó zƑ(x, y) =max{ p(U/ (x)-U! (z)).i./ = 0, k,}

Ménh dé 2.1.3:[7]

Cho X là không gian lồi địa phương với họ tách các nửa chuân P Cho Ð là

tập con đầy đủ theo dãy của X Toán tử U liên tục “tựa chuẩn” trên D (nghĩa

là với mọipeP và >0, tồn tại ổ>0 sao cho p(x—y)<ổ thi

p(U(x)~U(y))<)

Giả sử rằng U thỏa điều kiện (A) trên tập con O của X Thì toán tử

(1—U)}ˆ” xác định và liên tục trên ©

Chứng mình:

Bước 1:Với mọi aœO toán tử Ư, có một điểm bất động duy nhất trên D, gọi

Ø(4), và đấy {U;(x)}„ hội tụ Ø(2),với mọi xe D That vay

Theo điều kiện (4,) thì với mọi aeQ va peP, tồn tại k€Z, sao cho

Ve>0,1r€NÑ và đ>0, Vx,yeD:

a(x,y)<£+ð= ø(U;/(%),U/(y))<£

Đặt q:Z — [0;+oo) được định nghia : g(m,n) = a(u" (x),U2 (2))

Khi đó q thỏa mãn (i)(ii)(iii) cha ménh dé 2.1.2 nén Jim, q(m,n)=0

Do d6 Jim p(U7()~U2())= 0

Nên với mọi x,ye Ð các đấy {U/(x)} ,{U/(y)} là các dãy Côsi Vì D đầy

đủ theo dãy và U liên tục nên day {U"(x)} hdi ty đến điểm bất động của U,

gọi là (2) nghĩa là:

U(ø(4))+a=øØ(a) hoặc (I-U)(9(a)) =a

Tiếp theo, ta thấy nếu Ø(),ø(b) là hai điểm bất động tương ứng của Ứ, và

U,và Ø(a)=90) thì U(ð(a))+a=U(ø(b))+b

Nghĩa là a=b

Vì ø là song ánh từ @ vào ¢(Q) cD va (1-U)(¢(a)) =a voi mọi ae©

thì (1—U) =ø* hoặc ý=(1—U)` Điều này có nghĩa là (/1—U) ` được

định nghĩa trên Q

Bước 2: (—U)ˆ` liên tục trên ©

Với moi aeQ va peP, lay e >0 tuỳ ý theo điều kiện A tồn tai re N va

5>0(d<e) sao cho z(U;(x).U;(y))<« với mọi x,yeJD khi

a (x,y) <O+E

Vi U lién tuc tya chuan, nén 7 - cũng liên tục tựa chuẩn với mọi ¡=0, 1,.,r-1

do đó mà tồn tại ở;,0< ổ,< ở sao cho: p(U/(x)—U;(y))< ổ,V¡ =0,1, k

Hơn nữa, sử dụng tính liên tục tựa chuẩn của U, chúng ta có thể xây dựng

một họ {8} sao cho i=1 ,r—1:

a)0<5, <2

2

b) p(U(x)-UG))< “a , khi p(x~y)<ð,

Nếu be© sao cho p(ø—)< ở, thì vì limU7"(đ(2)) =ø(b)nên

P(ø(a)~#(b))= lim p(ø(a)=U7 (ø(4)))-

Tiếp theo ta chứng minh bằng quy nạp rằng :

a(¢(a),U; (¢(2))) <£+ổ

Từ (1) và (4) ta suy ra

p(ø(a)~U;(U;(ø(a))))< ö.Vi =0,1 k

=z(ø(a).U;(ø(a))}<ö<ö+z

Giả sử (2) đúng với ø nghĩa là a(ø(a).U7 (ø(a)))<ö+« thì ta có

ơ(#(a).U;“"(ø(a)))<ø(ø(a).U;(U7 (ø(4))))+a(U;(07 (ø(a))).U;“°(ø(a))}

Theo điều kiện (A) ta có

z(0;(ø(4)):z(07 (ø(2))))=e(2(a).0;(07(0(4))))<s

lấy x=Uz'(ø(a)) theo (3) ta có:

p(U;(Uz (ø(a)))~U;“°(ø(a)))< ở,

Theo (1) ta có p(Uz'(U; (ø(z)))—U;(U;“°(ø(a)))) <ở,Vi =0,1, k,

Hay ø(U;(U7 (ø(a))).U2“°(ø(a))}<ở

Do đó ø(đ(2).U;“'°(ø(4)))<ö+e

Theo (2) ta thấy p(Ø(a)~U7 (ø(a)))< ø(ø(a).U; (ø(a)))}<e+ö<2s

Cho n— +00 din đến

p(ø(a)~ø(b))= lim p(ø(a)~U7 (6(4)))<2e:

Chứng tỏ rằng ø=(7—U) ˆ liên tục trên ©.

Mệnh đề 2.1.4[ 6]

Cho X là không gian đầy đủ theo dãy, lồi địa phương với họ tách các nửa

chuẩn P Cho DÐ là tập con lồi, đóng, bị chặn của X Cho C: D— X hoàn toàn liên tục và U :D —› X liên tục đều, và thỏa điều kiện (4,) trên C(D) Gia sit

U(x)+C(y)eD Vx,yeD (1)

Khi đó U+C có điểm bất động trén D

Chứng mình:

Do D la tap đóng và do (1) nén U(D) +C(D) CD Nên U thỏa điều kiện

(4) trên C(Ð)và do vậy nó thỏa điều kiện (A) trên C(D) Theo ménh dé 2.1.3 thì (1U) ` liên tục trên C(D)

Do C hoàn toàn liên tục và D bị chặn nên tập C(D) la tap compact Khi do

(1-u)' CD)

la tap compact trong D

Do vậy (7—U) `C là toán tử hoàn toàn liên tục trên D Mà D 1a tap 16i, đóng ,nên theo định lí điểm bất độngSchauder-Tychonoff, (J—U) `C_ có

điểm bắt động trên 7

Giả sử xạ €D sao cho :

(1—-U)”C(w)=x hay x, =U(x,)+C(x))

Vay U+C co diém bat động trén D.

Định lí 2.1.5:[7]

Cho X là không gian đầy đủ theo dãy, lồi địa phương với họ tách các nửa

chuẩn P Ư, C là các toán tử trên X sao cho:

i) U thoa giả thiết (A)

ii) Với p tùy ý thuộc P tồn tại &>0 (độc lập với p) sao cho

p(U() - U(y)) < kp(x -y) voimoi x,yeX

iii) Tén tạix, e X có tính chất : với p tùy ý thuộc P tén tai r €N*,\ €[0;1)

(^,r độc lập với p) sao cho :

Giả sử U thỏa mãn điều kiện (A) trên X, thì (7-U) là phép đồng phôi trên X

Nó chứng tỏ: 3D c X, D lồi, đóng, bị chặn sao cho mọi xe Ð thì Ứ,„ có

điểm bất động trong D Gọi z„ là điểm bất động của U,

Với mọi xe X và pc P,ta có

U2j(y)~U£(y)=U(U21(y)~UZ'(y))+ C@)—x„Vye X

Khi đó kết hợp điều kiện (i),(ii), ta thấy

P(UZ (2) - 2) = p(UZ.,(z¿)~Uz (z,))

<p (U4 Ua) -U U5 (2))) + P(U Ua 2) -U, ))

< kp (UG URS 2.) UL UA (z,)) + p(C(x) =x) + Ap (UE) = 20)