PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ VECTƠ

Ở chương 2 : có hai vấn đề Một là sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân trong không gian Banach và kết quả chính là định lí 2.1.5.. Hai là định lí Krasnoselskii-Perov nói về tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS.LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh-2009

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên tôi xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa đã tận

tình chỉ bảo, góp ý cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này

Nhân đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô, những người đã tận tình truyền đạt kiến thức cho tôi trong hai năm học cao học vừa qua Xin chân thành cảm ơn

Học viên

Trần Văn Trí

tuyến tính liên tục từ E vào E

Phương trình (*) đã được khá nhiều nhà toán học quan tâm, bên cạnh việc chứng minh sự tồn tại nghiệm việc khảo cứu cấu trúc của tập nghiệm cũng được đề cập chẳng hạn như:

Trường hợp E = và hàm f t s x s( , , ( ))v s t x( , ) ( ( ))1 s , Avramescu  6 đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình

tập nghiệm của phương trình

Với các kỹ thuật và ý tưởng tự như trong  7 ,  8 tôi sẽ chứng minh tập nghiệm của phương trình (*) khác rỗng, compact liên thông với các giả thiết của hàm f, g nhẹ hơn trong  6 , 7 , 8 Kết quả chính của luận văn này được trình bày ở định lí 3.1, định lí 3.2 Cụ thể như sau

Ở chương 1 gồm các định lí mà các kết quả của nó dùng trong các chứng minh ở chương 2 và chương 3 gồm các định lí 1.2, định lí 1.3, định lí 1.6, định lí 1.8, định lí 1.9

Ở chương 2 : có hai vấn đề

Một là sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân trong không gian Banach và kết quả chính là định lí 2.1.5

Hai là định lí Krasnoselskii-Perov nói về tính chất của tập nghiệm

Ở chương 3 chứng minh tập nghiệm của phương trình (*) khác rỗng, compact, liên thông Việc chứng minh dựa vào hai định lí 2.1.5 và định lí 2.2 Kết quả chính của chương và của luận văn là định lí 3.1 và định lí 3.2

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định nghĩa1.1: 1

Cho X,Y là hai không gian Banach Ánh xạ : f X  được gọi là lipsit địa Y

phương nếu: với mọi x0 , tồn tại lân cận V của X x và một hằng số k 0

(không phụ thuộc x ) sao cho 0 f x  f x , k x x , ,x x V, ,

Định lí 1.2: 1

Cho E, F là hai không gian Banach, D là tập con mở của E và ánh xạ liên

tục f D: F Khi đó với mỗi  tồn tại ánh xạ Lipschitz địa phương :

Vậy al lipsitz trên D

cho x VÎ m và như vậy chỉ có hữu hạn m Î L sao cho am(x) 0>

Định lí 1.3: 7

i) Với mọi x X hàm t  f t x , là , ( )B Y  đo được với B(Y) là

 -đại số Borel của Y

ii) Với mọi t hàm x  f t x , liên tục

Đặt N x t g( )( )=g t x t( , ( ) )

Nhận xét:

là không gian metric thì hàm  z x,  f z x( , ) là  B X -đo được

:

Papageorgiou)

sử dụng  là một tập con của n với độ đo Lebesgue) và X,Y là hai không gian Banach khả li (separable Banach spaces)

s -hữu hạn, chúng ta có thể lấy B Î å k sao cho

và GrS k Î åÇ( B k)´B X( ), với B(X) là s -đại số Borel của X

Chúng ta áp dụng định lí chọn Yankov-von Neumann-Aumann và thu được một ánh xạ (å, B X( ) )-đo được :u B k k  X sao cho

u z k( )ÎS z k( ) " Îz B k

u z = nếu \ k( ) 0 zÎ W B k

N :L p(  ,X) L r(  ,Y) thì N f liên tục, bị chặn (nghĩa là biến tập bị chặn

r p X

và g(z,v k(z))  0 hầu khắp nơi z khi k  

Bỡi vì g z x( , ) 0 ,³ "( )z x, Î W´ và X v k(z)  0 hầu khắp nơi z

k

p X L n k

p X L k

p X k k

Do đó N f(x n ) N f(x)

k  trong L r ( Y ; ) Nên mọi dãy con của N f(x n)n1 hội tụ đến N f (x) trong L r ( Y ; )

Không mất tính tổng quát ta giả sử f(z, 0 )  0 z 

Vì N f liên tục tại 0, nên tồn tại   0, sao cho:

k

r Y

r Y

p

k

u n

d z u z f d

z u z f

Y c x x

z f x z

r z x f z x c x

h ( , )  ( , )  khi h(z,x)  0 (2)

) 1 ( ))

( , ( ))

( ,

k C

r r

Y C

r Y

k

c n d z u z f d

z u z

)

k x z h x

z h k

x X x z V

k x k

x X k

X X

Bởi vì (5) nên ( )V z k  hầu khắp nơi z  

Như vậy aL r( )

Theo định nghĩa của h ( x z, ) ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.7: 5

:

n

Chứng minh:

với 0e> , tồn tại n0 =n0(e,B)³1 sao cho

Do L là hữu hạn chiều nên compact

compact    với     và \   f :   S X liên tục

Chứng minh:

Bước 1:

f S :  C C S X( , ) là L-đo được Hay mọi ( , )C S X hàm khoảng cách td f t S( ),  là L-đo được

ở đây  s n n là một dãy tập con trong S

Nhưng do giả thiết mọi hàm

tarctan f t s , n   s n là L- đo được

và mỗi f S : n C S X( , ) là L- đo được

Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG

TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

2.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân trong không gian

Banach:

đẳng liên tục trên S n và tập x s x A s S :  ,  n là compact tương đối trong

Bước 2: Cho  >0 ta chọn các số ,r theo điều kiện (ii) của định lí để có

,( , 0 ) s ( )0

r s

q m kr n  r M n  Tiếp theo, ta sử dụng điều kiện ii) của định lí và được

Điều Kiện A 7

Cho X là không gian vectơ tôpô lồi địa phương với P là họ tách các nửa

Khi đó q thỏa mãn (i)(ii)(iii) của mệnh đề 2.1.2 nên

a)0 1

2

i i

p  a U x  (4) 

Mệnh đề 2.1.4 6

liên tục và :U D liên tục đều, và thỏa điều kiện (X A2) trên C D( ) Giả sử

U x C y  D x y D,  (1)

Khi đó U+C có điểm bất động trên D

Chứng minh:

I U  C có điểm bất động trên D

Giả sử x0D sao cho :

  1

I U  C ( x )=0 x hay 0 x0 U x 0 C x 0

Vậy U+C có điểm bất động trên D

Định lí 2.1.5: 7

Cho X là không gian đầy đủ theo dãy, lồi địa phương với họ tách các nửa

chuẩn P U, C là các toán tử trên X sao cho:

i) U thỏa giả thiết (A)

ii) Với p tùy ý thuộc P tồn tại k>0 (độc lập với p) sao cho

p U x  U y  kp x y   với mọi ,x y X

iii) Tồn tạix0X có tính chất : với p tùy ý thuộc P tồn tại rÎ*,lÎ[ )0;1

( ,r độc lập với p) sao cho :

Giả sử U thỏa mãn điều kiện (A) trên X, thì (I-U) là phép đồng phôi trên X

-r i i

r i i

U , nên  C x  D với mọi x D

Với D đặt ở trên ta thấy   1

ii) Với mỗi 0  tồn tại toán tử hoàn toàn liên tục T thỏa

h  có nhiều nhất một nghiệm trên D

Khi đó tập N(I-T,D) gồm các nghiệm của phương trình x=T(x) là khác rỗng, compact, liên thông

Ta có deg(I-T,D,0) = deg(I-T, O1,0) + deg(I-T, O2,0)

Ta sẽ chứng minh deg(I-T, O1,0) = deg(I-T, O2,0) =0 và mâu thuẫn với giả thiết deg(I-T,D,0)  0.

Do N O1   nên tồn tại x1  sao cho:N O1 T x( )1 x vì x1( )  Đặt ( )x  x T x( )x1T x( )1  trong đó 0

Theo điều kiện (ii) , ( ) 0 x  có nhiều nhất một nghiệm và do



Vậy deg( , ,0) deg( O2  I T O , ,0) 02 

Tương tự ,do N O2  ta cũng có deg(I T O , ,0) 01  ,mâu thuẫn

Vậy N là tập liên thông

Chương 3: TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM CHO

f   f t dt Đặt X0 C 0;;E là không gian gồm tất cả các hàm liên tục từ 0; vào E Khi đó X0 là không gian tôpô sinh bỡi họ nửa chuẩn  p n n, với

Khi đó X là không gian Fréchet 0

Với mỗi số tự nhiên n đặt

f    liên tục thỏa điều kiện : E E

Tồn tại hàm : 0;   0; liên tục và    r  sao cho r

f t s x , ,  f t s y , ,  k t h s      x y  ở đây

k h, :0;  0; , h s( )ÎBC( [0;¥ ), ) và ( )k t thỏa một trong hai

điều kiện sau:

đều với t thuộc tập con bị chặn của 0; và 

Nếu f(t,s, tx( ) )thỏa các giả thiết V và , 5i  i i thỏa V thì 2 U X z : a  X a là

1

( )

NK s t

đó ( )U x z thỏa (i),(ii),(iii) của định lí 2.1.5

1 0

!

m q t

 

1 1

1 !

m q q

q p

n

H k a

x y m

1 !

m q q

q p m

1

1 !

m q q

q p

H k a m

Bước 1: Chứng minh C(x) liên tục

Xét dãy  x m m trong X sao cho: a lim m 0

Đặt A= ( ):x s x ,s  0;a , khi đó A là tập bị chặn trong E

Vì g là hoàn toàn liên tục, nên g  0;a A là tập compact tương đối trong

E Do đó g  0;a A là tập bị chặn trong E

Khi đó t t, , 0; :a t t , ,x ta có

                      

' 2 2

toán tử hoàn toàn liên tục trên X avà vì thế C cũng hoàn toàn liên tục trên X0

Bổ đề 3.1.4:  

n

n x

n

C x x

 với mọi x thỏa x  và với mọi s 0;a

       

2 2

I U  liên tục đều trên X a

D

 ,T D D, D là tập lồi nên deg(I-T,D,0)0

Đặt Ax s s :  0; ,a x D  khi đó A là tập bị chặn trong E theo định lí

1.3 tồn tại hàm liên tục g là mở rộng của g 0;a A trên  0;a E sao cho

Tiếp theo ta chứng minh : Với mọi h sao cho h n  phương trình

 

x T x  h có nhiều nhất một nghiệm trên D

Giả sử x(t),y(t) là hai nghiệm của phương trình (*) Do 1   t ,2 t thỏa giả thiết V2(hoặc V3) nên suy ra x(0)=y(0)=h(0).

Đặt bsup  0; :a x t  y t ,0 t   Khi đó b 0;a

Giả sử trái lại b<a vì g Lipschitz địa phương nên tồn tại số thực r>0 sao

Mâu thuẫn giả thiết

Vậy a b hay x(t)=y(t), t  0;a

Như vậy toán tử T thỏa giả thiết trong định lí 2.2 nên bước 1 đã được chứng minh

Bước 2: Tập nghiệm của phương trình (*) trên 0; khác rỗng, compact, liên thông

thì x 0;a  t cũng là nghiệm của (*) trên  0;a Ngược lại với mỗi nghiệm

 

a

0; Tương tự ta có kết quả sau

Đặt S là tập nghiệm của (*) trên 0; theo định lí 2.1.5 thì S khác rỗng Đặt S a là tập nghiệm của (*) trên  0;a ta có S a compact liên thông trên Xa

Xét dãy  x m m trong X a sao cho lim m 0

, 0

                      

, 2 2

n

C x x

2

g t x x



( , ) 0

,

,

2

p p q

( , )

( , )

2

p p a

n

C x x

Chứng minh định lí

Bước 1 Tập nghiệm của phương trình (*) trên  0;a : khác rỗng, compact, liên

khi đó A là tập compact trong E

Vì g là hàm Carathéodory theo định lí 1.9 tồn tại tập compact    0;a

sao cho g:   là ánh xạ liên tục Vì vậy : E E g    liên tục  A E

Theo định lí 1.3 tồn tại hàm liên tục g mở rộng của hàm 1 g A

Theo định lí 1.2 tồn tại hàm Lipschitz địa phương g s x s ,    trên

 0;a  sao cho: E  ,  2( )   ,  2( ) 

0; \

,2

p p

q a

0; \

,

2

p p

q a

Điều này suy ra T x T x  n  

Bước 2:

thông

Chứng minh tương tự như trong 3.1

Vậy định lí được chứng minh

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Sau một thời gian tìm hiểu về đề tài “ Phương trình tích phân của hàm có giá trị vectơ” với sự giúp đỡ tận tình của thầy Lê Hoàn Hóa Tôi đã tiếp cận sâu hơn về môn giải tích phi tuyến Qua đó tìm hiểu các định lí về điểm bất động Krasnosel’skii và các cách thức mở rộng của nó Một mở rộng của nó là định lí 2.1.5 Sau khi sử dụng kết quả của định lí này vào phương trình tích phân (*) chúng ta thu được những kết quả là sự tồn tại nghiệm cho phương trình tích phân (*) Kết quả này so với các kết quả trước đó mạnh hơn Vì phương trình tích phân đưa ra có biểu thức phức tạp hơn và điều kiện đưa ra cũng tương đối nhẹ hơn

Cùng với việc chứng minh tồn tại nghiệm cho phương trình tích phân (*) thì trong luận văn này tôi cũng chứng minh được tập nghiệm là tập compact, liên thông với các giả thiết đặt ra tương ứng

So với mục tiêu đặt từ đầu khi làm đề cương, tôi đã hoàn thành được nội dung đề tài đặt ra từ đầu Nếu có điều kiện tiếp tục học tôi sẽ cố gắng làm nhẹ giả thiết của định lí Đặt biệt là giả thiết đặt ra cho hàm f, g nhẹ hơn có thể

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt

[1] Lê Hoàn Hóa, Giải tích phi tuyến 1

[2] Lê Hoàn Hóa, Đỗ Hoài Vũ, Lê Thị Kim Anh (2008), “ Cấu trúc topo của tập nghiệm của phương trình tích phân trong không gian Fréchet”,

Tạp chí khoa học ĐHSP TP HCM,(14), tr.20-30

[3] Nguyễn Bích Huy, Võ Duy Thượng (2008), “ Điểm bất động của ánh xạ

ĐHSP TP HCM,(14), tr.32-34

Tiếng Anh

sugli spazi di Banach, Rend Sem Math.Univ Padua, 39 (1967),

349-361

Kluwer Academic Publishers

[6] C.Avramescu (2006), Some remarks on a fixed point theorem of

Krasnoselskii, Electronic Journal of Qualitative theorem of Differetial

Equation,No.5pp,1-14

[7] Le Hoan Hoa and Klaus Schimtt (1994), Fixed point theorems of

Krasnosel , skii type in locally convex space and application, Results in

Mathematics Vol.25pp.291-313

[8] Le Hoan Hoa, Le Thi Phuong Ngoc (2006), The conectiviy and

compactness of solution set of an integral equation and weark solution set of an initial –boundary value problem, Demonstratio Mathematica

Vol.XXXIX No 2 pp 357-376

[9] Leszek Gasi’nski, Nikolaos S.Papageorgiou (2005), Nolinear Analysis,

Taylor Francis Group, LLC

[10] J Dugundji (1951), An extension of Tietze’s theorem, Pacific J.math,

353-363