Lời giải chỉnh hóa của phương trình tích phân loại một 4

Luận án thạc sĩ toán học chuyên ngành Giải Tích -Chuyên đề : Lời giải chỉnh hóa của phương trình tích phân loại một

Chu'dng 0 : Cong C~I

CHUaNG 0:

0.1 Dinh 19 :

X , Y la cac khong gian dinh chu~n vdi chugn II .II ;

A :X -+ Y ; A tuye'n Hnh

p : X/KerA -+R

[X]H inf IIx + t II = II [x] liT

tEKerA :::) p la chu~n trong khong gian thuong X/KerA

CONG CTJ

0.2 Dinh Iv Fubini : Gill Sl((X, Mx, !lx) ; (Y, My , ~ly) la cac khong gian vdi dQ do cr- huu h~n va f la ham ~lxX Ily khil tich khi d6 :

(i) 1'(.,y) la ham ~lxkhil tich vdi h'au he't YEY

rex, ) la hamlly khil tich vdi h'au he't XE X

(ii) Ham YH f xf(x,y)d ~lxla ~lykhil tich

Ham XH f yf(x,y)d ~lyla ~lxkhil tich

(iii) Jx x yf(x,y)d(~lxXlly)= Jy(J xf(x,y)d~lx) dlly=f x(Jyf(x,y)d~ly)d~lx

0.3 Dinh 19 Ascoli:

X la khong gian Metric compact; C(X) la khong gian cac ham thlfc lien t\lc tren X vdi

chafin 111'11= sup Irex) I

XEX

E c C(X) ; E bi ch~n va E lien t\lCd'ong b?c

tilc Vf, > 0 :3 0 >0 V t,t' E X saG cho d(t,t')< 0:::) I [(l) - f(t') 1< f, VrEE

Khi d6 : E la compact tuong d6i trong C(X)

0.4 Dinh Iv hoi tu bi chao (dinh ly lebesgue)

Cho [II: A~ R ; A la t?P do du(jc trong khong gian do (X, M, !l) va illla day ham do dli(jc VnEN

Ne'u i) bmf" (x) = rex) VxEA

ii) :3g kh{ltich lren A saGchoIr,,(x)l~g(x) Vn

thl [khil tich va f Afdll=lim JAflldll

II~OC

0.5 Tieu chafin compact trong LP ,PE fl,+oc)

Dinh Iv : (Frechel -Kolmogorov)

Gia sa:O c RN la md va F la t?P con bi ch~n ct'iaU(.o) vdi 1~ p<oo

Gia sU': .Vf, >0 V00 cc .0,:3 0>0,0< dist (00,0.0) saG cho

IIT1J-fIILP(w)<f,VhERN va Ilhll<o vaV[EF .Vf, >0 3oocc.o saG cho Ilflkp(O\w)< f, Vf E F

khi d6 F compacttuong d6i trong U(.o)

0.6 To;ln tU'lien hop V~lmot s6tinh cha't

0.6.1 Dinh IVRiez

X la mQtkhong glaDHilbert; f la mQtphie'm ham tuye'n tinh , lien t\lCba'tky tren X 3! XcEX saG cho rex) =(xc,x) VXEX

va Ilfllx'=Ilxdlx

d day (.,.) la tich v6 huang tren X

11.11 x' la chugn tn~nkhong gian x' cac phie'm ham tuye'n Hnhlien t1,lctren X

0.6.2 Binh IV

Cho A: X +Y X, Y la cac khong gian Hilbert

A tuye'n Hnh , lien t~IC, 1-1, RangeA =Y

Xet A* : Y +X xac dinh bdi ( A*y ,x)=(y,Ax)

A * la hoan loan xac dinh va ta gQi la loan ta lien hQp cua A

A* tuye'n tfnh, 1-1 va A* lien t~ICva IIA*II=IIAII

0.6.3 Binh IV :

Cho A: X + Y X,Y la cac khonggian Hilbert, A la tuye'ntfnh,lien t~ICkhi d6 (RangeAl

=Ker(A *) va (Ker A)-L=Range(A *)

0.6.4 Binh Iv : X, Y la Cclckh6ng gian Hilbert A la loan ta tuye'n tinh lien t~IC;

*

A compact <=>A compact

0.6.5 Binh nghIa: X la khong gian Hilbert A: X + X la tu lien h<;1pne'u A=A*

0.6.6 Binh Iv : A :X la loan ttf tuye'n Hnh , compact, tu lien hQp ;

g9i XI , X2, , xn, la h~ tho'ng tn[c chugn d'ay dll g'6m loan cac vectd rieng clla A va II,), A2, ,An, Iii cac gic1tri rieng tuong ling Khi d6 : M6i x EX ta c6 :

00

Ax=L: All (x,xn)xn

n=1

0.7.Mot so et qua cua y t uyet p a:A KkK .,., I' h K h ll

0.7.1 Binh nghIa :

Cho A la loan ta tuye'n tinh , lien t~ICtu kh6ng gian Hilbert X vao X

Ph6 0(A) clia loan ta Ala t<:lph<;1p

G(A) ={AEC : A - AI Iii khong song anh}

Trang d6 I Ia anh x~ d'6ng nha't

0.7.2 Binh Iv :

X Ia khong gian Hilbert A: X +X tuye'n Hnhlien t~ICthi :

0(A) Ia compact trong C va 0 (A) -:j; <p

sup{IAI,AE 0(A)}~IIAII

( sup {IAI,AE0(A)}duQCg9i la ban kfnh ph6 clla A ky hi~u 10(A)1)

Ne'u them gia thie't A la t1jlien hQp thi I0(A)I= IIAII

Ne'u Ala mOtgia tr~rieng clla A ta tha'y ngay AE0(A)

MOt so'ke't gull khac v'e ph6 clla loan ta tuye'n Hnh lien, t~ICcompact, t1jlien hQp

Ne'u A Iii loan ta tuye'n tinh , lien t~IC, compact, t1j lien h<;1pthi :

0(A) \ {a} g'6m loan Bhang ch~mco I~p

M6i gia tri rieng Aclla A , khOnggian rieng tuong ling vdi A : Ker(A-AI) - la huu h~n chi'eu va nhung gia tr~rieng cua A c6 th€ vie'tdudi d~ng mOtday AI,A2, ,An, (ne'u c6 vo

ClllMng 0 : C6ng C~I

Cac oinh ly cLla ly thuye't ph6 cling cho phep ta oinh nghla ham cua loan tli' tlf lien h<;1p, compact A nhu san:

Cho mOt ham thlfc lien t~lCf tren a(K) ta oinh nghla

f(A)x = If(Au)(X,xu)xu

u Toan tli'reA) ou<;1coinh nghla nhu V?y cling la mOt loan tli'tlf lien h<;1p, compact va ph6

Cl!ano cling lien quan vdi ph6 clla A bdi d~ng thuc : a (f(A))=f(a (A))

Cling vdi cac ke't qua tren ta SHYdu<;1c:

IIf(A) 11= la (f(A)!=sup{lf(A)I, AEa (A)}

va SHYra ou<;1cke't qua san :

Ne'u (fu)ula day ham thlfc lien t~lChOit~ld'eu v'e f tren a (A)

khi do IIfn(A)- reA)11-+0 khi n-+ 00

0.7.3 Singular System:

D€ yR~ngne'uA lil loan tli'tuye'nHnhCompacttu X vao Y la cac kh6nggian Hilbert

A* A :X-+X la loan t11tuye'n ttnh , Compact, tlf lien h<;1pva m6i gia tri rieng p clla A*A thoa

(5day x la vecLOricng Luongung vdi gi~1tIi rieng p va IIxII =1

Do do cac gia tri rieng khac 0 clla A*A co the s~p xe'p thanh ,,/ ~ A22~

Ne'u ta ky hil$uvl,v 2, la day cac vecto rieng tnfc chu§'ntuong ung va O?t

/In= /l n va Un=~lu Vn

Khi 00 (un,ulII) = ~ln/llll ( A vn,A V111)= ~ln~llll(vlI,A * A Vlll)

0 ne'u n:;t:m 2

)

-{

= ~lll~llll( Vn,AIIl 1 neu n = m Hen (un) la d~IYtnfc chufin trang Y va

/lnA*un= Vn

Nhi'eu hcln nG'aly thuy0l ph6 co th€ chi ra du<}cday (un) la trlfc chufin a'ay all trong RangeA

=(KerA*)1-va (vn) la day trlfc chu§'n a'ay all trang (RangeA*)=(KerA)

1-Day {un,Vn,~ln}gQila singular system clla A .

Ke't qua sau du'<;1c gQi la dinh ly Picard:

0.7.4 Dinh IV:

A: X-+ Y la loan tli'tuye'n Hnh , compact vdi singular system {un,Vn,/ln}.De phuong tdnh Au =g co nghil$m, oi'eu kil$nc'an va all 13g E RangeA=(KerA *)1-va

00

I ~ln l(g,un)1 < 00

n=1

0.7.5 Dinh IV: Gi~lsU'gE(KerA*)1-= RangeA ,De gE Range(A(A*A)") ai'eu kil$nc'anva

.(hlla :

00 4V+2

1

(

~

2

0.8 Dinh Iv :

Ne'u L la mQtkhong gian con dong cila khong gian Hilbert X thl m6i phftn ta XE X du(,1c bi€u dieD mQteach duy nha't duoi d?ng

x=y + z voi YE L; ZE LL

(y gQi]a hlnh chie'u tn,(cgiao con dong clla x lt~nkhong gian con L)

Toan tli' P: X ~ L

XHY trong do L la khong gian con dong, L :t:{0};Y la hlnh chie'u tnlc giao cua x teen L

Toan ta P gQila phep chie'utn;tcgiao cl1aX leu L vaIIPI!=1

0.9 Dinh Iv :

Ala loan tli'compact tli khong gian dinh chufin X vao khong gian dinh chufin Y

Ne'u (XII)IIla day hQit\l ye'u trong X thl (Axil) hQit\1m?nh trong Y

0.10 J-)inhIv Lax-Milgram

Gia sli'd~lllgsong tuye'n tlnh a:X x X~ R lien t\lCva thoa dihl ki~n cltong buc :

3a > 0 sao clIo a( U,u) ~a IIu112'v'u E X (6day X la khonggian Hilbert tht1c)

Khi do mQi anh X? tuye'n tlnh lien t\lC L: X~ R; Cant?i duy nha't u E X sao clIo 'v' VEX

a(u,v) =L(v)

0.11 Dinh Iv :

X la mQtkhong gian dinh chufin

i) (XII)eX; XII~> X thl Ilxu Ilbi ch~1ll va Ilx II::; liminfllxlIll

u~OCJ

ii) Ne'u X ]a khong gian Banach ioi d"eu

(XII) eX; XII~X va lim Sup Ilxu II::;Ilx II

II~OCJ

Khi d6 XII~ x (m?nh)

.6 day khong gian Banach X la foi d"eune'u 'v'f,>0,30>0 sao clIo x, YEX , IIxII::; 1;

Ilyll::; 1 va Ilx-yll> f, thlll(x+y)/211< 1-0 '

Chli Y rhng mQi khong gian Hilbert thl iai d"eu

Do (i) XII~X =>Ilxll::; 1iminfllxIIII

lI~ao

ne'uc61imSup IIxll::;lIxll

II~OCJ

Ta phai suy du'(}eJim IIxnll=lIxll

Il-)OC

0.12 Dinh Iv Banach Steinhaus

Cllltdng 0 : Cong C\I

Hequa: X,Y la cac khong gian Banach; ( Tn) la day cac loan tiXtuye'n tinh lien Wc

X + Y sao cho m6i x E X Tux hQi t~lv'e mQt gioi h<;tnTx khi d6 ta c6 :

a) Sup IITnIIL(x,v)< 00

II

b) T EL(X,Y)

c) liT IIL(X,y)::; liminf IITnIIL(x, y)

11 7 00

0.13 B6 d'e J)ini

(fll)la day nhung ham thlfc lien t~lclren l?p con compact K ciia khong gian Hilbert X

va voi m6i XEK ; (flll(x» la day giam v'e 0 khi d6 (fm)hQitl,ld'eu v'e o

0.14 Dinh IVBanach

X,Y la cac khong gian Banach; A la loan anh tuye'n tinh , lien t~ICtu X len Y thl A la anh X~md

He qua: Ne'u A la song anh tuye'n tinh lien t~ICgiua 2 khong gian Banach X, Y thl A cling

la d6ng phoi tllye'n tinh

0.15.13a'l d~ng lhllc Holder

Gia siXp> I va q> 1 thoa lip +lIq =1

Ne'u f ELp(E) ; gELq(E) thl fg E LI(E) va IIfgI" ::;Ilfllp' IlgIlq

f)~c bi~t khi p=q=2 thl IlfgIiI ::;Ilf112.jig112con gQila ba't d&ngthllc Bun-nhi-a-c6p-xki