Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M II.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần A hoặc phần B A.. Viết phương
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I – NĂM 2011
MÔN TOÁN; KHỐI A, B
Thời gian làm bài : 180 phút; không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho hàm số yx3 3x2 mx (C2 m)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (Cm) khi m = 0
2 Tìm m để hàm số (Cm) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thi hàm số cách đều đường thẳng d: x – y – 1 = 0
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: sin 3x sin 2x.sin x
2 Giải phương trình: 4x2 8x 2x3 1 (x )
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
1
ln x 1 ln x
x 1 ln x
e
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và
tam giác SCD vuông cân tại S Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD Tính thể tích khối chóp S.AICJ
Câu V (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm là H(-1;4), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(3;0) và trung điểm của cạnh BC là M(0;3) Viết phương trình đường thẳng AB, biết B có hoành độ dương
2 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 2) và B(5; 4; 4) và mặt phẳng (P): 2x + y – z + 6 = 0 Tìm điểm M nằm trên (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm môđun của số phức x biết 4z1 3i z 2521i
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;1), B(3;2) và C(7;10) Viết phương trình đường thẳng
d đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B đến đường thẳng d và C đến đường thẳng d là lớn nhất
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z + 6 = 0 và đường thẳng d:
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P)
Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình
2
y 4xy 4x 2y 1
x, y log x.log 1 y 1
-Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: www.laisac.page.tl
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1-NĂM 2011
Môn Toán, Khối A,B
(Đáp án-thang điểm gồm 05 trang)
ĐÁP ÁN- THANG ĐIỂM
1 (1,0 điểm)
Khi m 0, ta có hàm số yx33x2 2
Tập xác định :
Sự biến thiên : -Chiều biến thiên: y'3x26x ; y'0x hoặc 0 x 2
0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 0) và (2; ; nghịch biến trên khoảng (0; 2) ) -Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x0;y CĐ 2, đạt cực tiểu tại x2;y CT 2 -Giới hạn: lim
; lim
x
y
0,25
-Bảng biến thiên:
0,25
Đồ thị
0,25
2 (1,0 điểm)
I
(2,0
điểm)
Ta có 2
y x xm (1) Hàm số (C m) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệtm3
0,25
'
y
2
2
+
O
2
2
y
Trang 3Đáp án Điểm
Giả sử A( x y ), B(1; 1 x y ) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (2; 2 C m), (x x là hai 1, 2
nghiệm của (1)) Vì '.( 1) 2( 1) 2
y y x và y x'( )1 y x'( 2) nên 0
phương trình đường thẳng đi qua A, B là 2( 1) 2
y x (d’) Do đó, các điểm
A, B cách đều đường thẳng (d) trong hai trường hợp sau:
0,25
Trường hợp 1 (d’) cùng phương (d) 2( 1) 1
3
m
2
m
( không thỏa mãn)
0,25
Trường hợp 2 Trung điểm I của AB nằm trên (d) Do I là trung điểm AB nên tọa độ I
là
1 2
1 2
2
x x x
y y
Vì I nằm trên (d) nên ta có 1m 1 0m0( thỏa mãn)
Vậy: m 0
0,25
1 (1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương: sin 3x c os3xsin 2 (sinx xcos )x 0,25
2(sin 3x c os3 )x cosx c os3xsin 3xsinx sin 3xcos3xsinxcosx 0,25
Vậy nghiệm của phương trình là: ;
k
0,25
2 (1,0 điểm)
Điều kiện: 3
2
(2x2) 2x35
Đặt y 2x3, y Ta có hệ phương trình: 0
2 2
0,25
(2x2)2y2y2x 2 0 (2xy2)(2x y 1)0 2 2 0
x y
x y
0,25
Với 2x y 2 0 2 2 x 2x3 2 22 0
x
5 21 4
0,25
II
(2,0
điểm)
Với 2x y 1 0 2x 1 2x3 2 2 1 0
x
3 17 4
Vậy phương trình có hai nghiệm là: 5 21
4
; 3 17 4
0,25
III
(1,0
điểm)
Đặt t lnx dt dx
x
Với x 1 thì t 0; với x thì e t 1 Suy ra
1 1
t t
0,25
Trang 4Đặt tsinudtcosudu Với t 0 thì u 0; với t 1 thì
2
Ta có
2 2
0
sin 1 sin
cos
1 sin
u
2 0
sin (1 sin )u u du
0,25
2 0
1 sin (1 os2 ) 2
I
2 0
4
0,25
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên IJ SH I J Mặt khác,SI AB,
I J AB AB(SI J) SH AB Suy ra SH (AICJ)hay SH là đường cao
của hình chóp S.AICJ
0,25
2
a
SI ;
2
a
SJ , I J a SI2SJ2 I J2 tam giácSIJ vuông tại S 0,25
Ta có 12 12 12
SH SI SJ
3 4
a
IV
(1,0
điểm)
Kết hợp với 1 2
2
AICJ
S a , suy ra . 1
3
S AICJ AICJ
3
3 24
a
Vì (a b c ) là một hoán vị vòng trong , , M nên không mất tính tổng quát ta giả sử
Ta có
0,25
V
(1,0
điểm)
2
1 ( )
b c
Suy ra
2
2
1 ( )
a
2
1
1
a
0,25
Xét hàm số 2 2
2
1
1
t
trên
1
;1 3
Ta có: '( ) 4 2 2 2
(1 )
t
f t t
t
;
2 3 2
2 3
(1 )
f t
t
và
'(1) ' 1 0
3
f f
tồn tại duy nhất 0
1
;1 3
t
: f t'( )0 0.
Bảng biến thiên
0,25
0,25
Trang 5
Suy ra 2 (1) 2 3
2
M f Do đó, giá trị lớn nhất của M là 7
2 khi một trong ba số
, ,
a b c bằng 1, hai số còn lại bằng 0
1 (1,0 điểm)
Giả sửN là trung điểm của AC, vì ABH MNI và HA/ /MI nênHA2MI
Kết hợp với 2MI ( 6; 6)
,H ( 1; 4) ta có A ( 7;10) Từ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm của BC, suy ra IAIB và IM MB
0,25
Do đó tọa độ ( ; )B x y với x 0, thỏa mãn hệ :
(7; 4)
B
Phương trình AB : 7 10
hay3x7y49 0
0,25
2 (1,0 điểm)
Gọi I là trung điểm của AB, ta có I(3;3;3) và 2 2 1 2 2
2 2
MA MB AB IM Do
đó, MA2MB2 nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên ( )P
0,25
Giả sử d là đường thẳng đi qua Ivà vuông góc với ( )P , phương trình của
:
Tọa độ M x y z thỏa mãn hệ : ( ; ; )
0,25
VI.a
(2,0
điểm)
Giả sử za bi (a b ), khi đó ta có 4(, a bi ) (1 3 )( i a bi )25 21 i 0,25
5a 3b 3(a b i) 25 21i
5 3 25 3( ) 21
a b
2 5
a b
2 5
0,25
VII.a
(1.0
điểm)
1 (1,0 điểm)
Ta có AB(2;1)
, AC(6;9)
cosBAC 0 BAC nhọn 0,25
Nếu đường thẳngdcắt đoạnBCtại M thì d( ; )B d d ( ; ) C d BM CM BC
Dấu đẳng thức xảy ra khi d vuông gócBC
0,25
VI.b
(2,0
điểm)
Nếu đường thẳng d không cắt đoạn BC, gọi I(5; 6) là trung điểm BC Ta có
d( ; )B d d ( ; ) C d =2.d ( ; ) I d 2AI Dấu đẳng thức xảy ra khi d vuông góc với AI
0,25
t
'( )
f t
1
0
( )
f t
t
131 90
3 2
( )
f t
t
Trang 6Do tam giác ABC có BAC nhọn nên BC2AI Suy ra d( ; )B d d ( ; ) C d lớn
nhất khi và chỉ khi d đi qua (1;1)A và có vectơ pháp tuyến AI (4;5)
Vậy phương trình d: 4(x1) 5( y1) hay 0 d: 4x5y 9 0
0,25
2 (1,0 điểm)
Tọa độ giao điểm của d và ( )P là ( ; ; ) A x y z , thỏa mãn hệ :
x y z
( 2; 1;1)
A
0,25
Gọi B(3;3;3)d và H là hình chiếu vuông góc của B lên ( )P , suy ra phương trình
:
0,25
Tọa độ H x y z thỏa mãn hệ ( ; ; )
H ( 1;1;5)
0,25 Hình chiếu vuông góc của d lên ( )P là đường thẳng d đi qua 1 A có véctơ chỉ ,
phương AH (1; 2; 4)
Phương trình 1: 2 1 1
0,25
Điều kiện: x0,y Hệ phương trình tương đương: 1
2
0,25
0,25
0,25
VII.b
(1,0
điểm)
2
4 1
x
1 2 1
x y
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1;1
2
0,25
-Hết -
