Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cỏch từ đường thẳng BC tới mặt phẳng B’AD.. Theo chương trỡnh chuẩn Cõu VIa: 1.. Cho hỡnh thang vuụng ABCD vuụng tại A và D cú đỏy l
Trang 1Trường THPT kim thành ii
đề chính thức
Đề thi thử đại học năm 2011 lần iI
Mụn : Toỏn, khối A,B (Thời gian 180 khụng kể phỏt đề) Cõu I: Cho hàm số 2 1
1
x
y
x
-
=
- cú đồ thị (C)
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số đó cho.
2. Tỡm m, n để đường thẳng (d) cú phương trỡnh y=mx+n cắt (C) tại hai điểm phõn biệt A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d1): x+3yư7=0.
Cõu II:
1. Giải phương trỡnh:
c x
-
2. Giải phương trỡnh: x3-8x2+13x+ +6 6( x-3) x2 -5x +5= 0
Cõu III: Tớnh
2
0
1 cos
2 3sin 1
x
p
ũ
Cõu IV: Cho hỡnh lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’. Cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a, gúc A bằng 60 0 . Gúc giữa mặt phẳng (B’AD) và mặt đỏy bằng 30 0 . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và
khoảng cỏch từ đường thẳng BC tới mặt phẳng (B’AD).
Cõu V: Cho a, b, c là ba số dương thỏa món 1
2
a b c + + = Tớnh giỏ trị lớn nhất của biểu thức:
P
PHẦN RIấNG (3 điểm)
A. Theo chương trỡnh chuẩn
Cõu VIa:
1. Cho hỡnh thang vuụng ABCD vuụng tại A và D cú đỏy lớn là CD, đường thẳng AD cú phương trỡnh 3xưy=0, đường thẳng BD cú phương trỡnh xư2y=0, gúc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 45 0 . Viết phương trỡnh đường thẳng BC biết diện tớch hỡnh thang bằng 24 và điểm B cú hoành độ dương.
2. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): 2 2 2
x +y +z - x+ y- z - = , mặt phẳng (P): 2x+3yư2z+1=0 và đường thẳng d: 1 2 1
y
= - = Viết phương trỡnh mặt phẳng
(Q) biết (Q) vuụng gúc với (P), song song với d và tiếp xỳc với (S).
Cõu VIIa: Cho phương trỡnh: z3-5z2 +16z -30= (1), gọi z0 1, z2, z3 lần lượt là 3 nghiệm của phương trỡnh (1) trờn tập số phức. Tớnh giỏ trị biểu thức: A= 2 2 2
z +z + z .
B. Theo chương trỡnh nõng cao
Cõu VIb:
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường trũn (C): x2+y2 -2x+4y - = và đường 4 0
thẳng d cú phương trỡnh x+y+m=0. Tỡm m để trờn đường thẳng d cú duy nhất một điểm A mà
từ đú kể được hai tiếp tuyến AB và AC tới đường trũn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giỏc ABC vuụng.
2. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; ư1) và đường thẳng d cú phương trỡnh: 1 1
x- y z -
= = Lập phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng
cỏch từ d tới (P) lớn nhất .
Cõu VIIb: Tỡm giỏ trị lớn nhất của tham số m sao cho bất phương trỡnh:
1 log+ x +1 ³log mx +4 x+ m được nghiệm đỳng với mọi xẻR
.H ết
Họ v tờn SBD
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
www.laisac.page.tl
Trang 2I
1) Txd: D=R\{1}
2 1
1
x
x
x
®±¥
-
=
- =>y=2 là đường tiệm cận ngang.
- - =>x=1 là đường tiệm cận đứng
( ) 2
1
1
y
x
= - <
-
với mọi x D Î
Bảng biến thiên:
x ¥ 1 +¥
y
2 + ¥
Hàm số nghịch biến trên khoảng:(¥;1) và (1;+¥)
Hàm số không tồn tại cực trị
Khi x=0 =>y=1; x=1=>y=3/2
Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) là tâm đối xứng
2) phương trình đường thẳng d1: 1 7
3 3
y= - x +
Vì A, B đối xứng qua d1=> m=3 (do khi đó d ^ d1)
Vậy phương trình đường thẳng d:y=3x+n
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là:
2 1
3
1
x
x n
x
-
= +
- điều kiện x ¹ 1
2
3x n 5 x n 1 0
Û + - - + = (1)
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ta có điều kiện
( 5) 2 12 1( ) 0
ìD = - - - >
ï
í
+ - - - ¹
ï
đúng với mọi n Gọi tọa độ đỉnh A(xA;3xA+n), B(xB;3xB+n)=> tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB
;
x x
Iæç + + + n ö ÷
, theo định li viet ta có: 5
3
n
x +x = - tọa độ điểm
;
6 2
I æç - + ö ÷
è ø , vì A, B đối xứng qua d1 => IÎ d1=>n=1
Vậy phương trình đường thẳng d:y=3x1
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
II 1) Giải phương trình:
Trang 32 2
c x
Điều kiện: sin 2 0 ,
2
(1) Û
2
2
x
c x
os4 1
c x
2
x np
Û = ,nÎZ(loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
2) Giải phương trình:
x - x + x+ + x- x - x + = (1)
Đk: 2
5 5 0
x - x + ³
Từ (1) ( ) ( 2 ) ( ) 2
3
5 2 6 5 5 0(2)
x loai
é =
Û ê
ë Giải (2): đặt x2 -5x + 5 =t, điều kiện t ³ 0
7
t tm
t t
=
é
Û + - = Û ê
= -
ê Với t=1=> 2
5 5
x - x + =1 1 ( )
4
x
tm
x
=
é
ê =
ë Vậy phương trình có hai nghiệm x=1 và x=4
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
III
Tính :
x
2
1
0
1 2 ln
2 3sin 1
x
x
p
ò
2
2
1 2
ln
3 4 2 3
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
IV
Gọi I là trung điểm AD, K là hình chiếu của B
xuống B’I, vì A=60 0 => D ABD đều cạnh a
( ' )
'
BI AD
^ ü
ý
^ þ
=>B’IB=30 0
2
a
BI =
=> ' tan 30 0
2
a
Diện tích đáy ABCD là:
0,25 đ
0,25 đ
I
B
A
B'
A'
D
D'
C C'
K
Trang 4( )
3
2
a
Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là
3
3 '.
4
ABCD
a
V =BB S = dvtt
Do BC//AD=>BC//(B’AD)=> khoảng cách từ BC tới mặt phẳng (B’AD) bằng
khoảng cách từ B tới (B’AD).
Vì BK B I ' BK ( B AD ' )
BK AD
^ ü
ý
^ þ Xét D B’BI vuông tại B ta có
a
BK
BK = BI + BB Þ =
Vậy khoảng cách từ đường thẳng BC tới (B’AD) bằng 3
4
a
.
0,25 đ
0,25 đ
V
Đặt a+b=x; b+c=y; a+c=z=>x+y+z=2(a+b+c)=1
P
Ta có
xy+z = xy+z x+y+z = x+z y+ z
1
2
Chứng minh tương tự
1
2
1
2
Lấy (1)+(2)+(3) ta được: 3
2
P £ => PMax= 3
2 khi a=b=c=
1
6
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ Phần riêng
A. Theo chương trình chuẩn
VI.a
1) tọa độ điểm D là:
Û
=> D(0;0)ºO Vecto pháp tuyến của đường thẳng
AD và BD lần lượt là nur1( 3; 1 ,- ) n uur 2 ( 1; 2 - )
2
c ADB = ÞADB =
=> AD=AB (1)
Vì góc giữa đường thẳng BC và AB bằng
45 0 => BCD=45 0
=> D BCD vuông cân tại B=>DC=2AB
Theo bài ra ta có:
2
24
ABCD
AB
=>AB=4=>BD= 4 2
Gọi tọa độ điểm ;
2
B
B
x
B x æç ö ÷
è ø , điều kiện xB>0
0,25 đ
0,25 đ
B
D
C A
Trang 52
2
8 10 ( )
5
4 2
( )
5
B
B
B
B
x
é
= -
ê
ê
è ø
=
ê
ë uuur
Tọa độ điểm 8 10 4 10 ;
B æçç ö ÷ ÷
Vecto pháp tuyến của BC là n = uuur BC ( ) 2;1
=> phương trình đường thẳng BC là: 2x+y -4 10= 0
2) Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) bán kính R=5
Vectơ pháp tuyến của (P): n =uuur ( ) P ( 2;3; 2 - )
Vectơ chỉ phương của d: u r ( 3;1;5 )
Vectơ pháp tuyến của (Q): nuuur uuur r ( ) Q =n( ) P Ùu =( 17; 16; 7 - - )
vì (Q) ^ (P); (Q)//d Gọi phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: 17x16y7z+D=0
Theo bài ra ta có: ( ;( ) ) 34 16 21 2 2 2 5 15 66 29
D
D
d I Q
D
+ - +
Phương trình mặt phẳng (Q):
17x-16y-7z +15 66-29= hoặc 170 x-16y-7z -15 66-29= 0
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
VII.a
z - z + z - =
có 3 nghiệm là: z1=3;z2 = +1 3 ;i z3 = + 1 3 i
=> A=z12+z 22+ = - 3 2 7
0,5 đ
0,5 đ
B. Theo trương trình nâng cao
VI.b
1) Phương trình đường tròn có tâm I(1;2) bán kính R=3, từ A kể được hai tiếp
tuyến AB, AC tới đường tròn và AB ^ AC
=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3=>IA= 3 2 Để điểm A duy nhất =>
đường thẳng IA vuông góc với d ta có: ( ; ) 1 3 2 5
7
2
m
m
d I d
m
= -
ë 2) Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó
khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P).
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH ³ HI=> HI lớn nhất khi A º I
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH uuur
là vecto pháp tuyến
( 1 2 ; ;1 3 )
HÎdÞ H + t t + t vì H là hình chiếu của A trên d nên
Vecto chỉ phương của d là: u = r ( 2;1;3 )
AH ^dÞuuurrAH u= ÞH Þuuur AH - -
Phương trình mặt phẳng (P):7x+y5z77=0
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
VII.b
Điều kiện: mx2 +4x+m > đúng với x 0 " Î R
2
0
2
m
m
m
>
ì
D = - <
î
(1)
5
1 log+ x +1 ³log mx +4 x+ m Û( 5-m x) 2 -4x+ -5 m ³ đúng với 0 " Î x R
2
5
3
m
m
m
<
- > ì
ì
(2)
Từ (1), (2)=> bất phương trình đúng với x" Î R khi m=3
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ Thí sinh vẫn được điểm tối đa nếu làm đúng các bài trên theo cách khác.
