tich vo huong 2 vecto

I.Góc giữa hai vectơ:... II.Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ... Từ đó ta rút ra công thức:tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là a.b , được xác định bởi công thức

TRƯỜNG THPT XUÂN DIỆU

I.Góc giữa hai vectơ:

Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0

Từ một điểm O nào đó,

ta vẽ các vectơ

OA = a và OB = b.

Khi đó góc AOB

Được gọi là góc

Giữa hai vectơ a và b

Kí hiệu ( a , b )

O

A

B b a

Nếu có ít nhất một trong hai vectơ

là vectơ 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ đó

là tuỳ ý (0 –>180 )

Nếu (a , b) = 90 thì ta nói rằng

Hai vectơ a và b vuông góc với nhau

Kí hiệu a b

o

b a

Ví dụ 1:

Dựa vào hình bên tính

các góc:

(BA , BC) ; (AB , BC)

o

C

B A

50 o

II.Định nghĩa tích vô hướng của

hai vectơ

O O’

F

O’

Giá tr A g i là tích vô h ng c a ị A gọi là tích vô hướng của ọi là tích vô hướng của ướng của ủa

hai vect F và OO’ơ F và OO’

M t l c F không đ i tác d ng lên m t ột lực F không đổi tác dụng lên một ực F không đổi tác dụng lên một ổi tác dụng lên một ụng lên một ột lực F không đổi tác dụng lên một

v t làm cho v t di chuy n t đi m O ật làm cho vật di chuyển từ điểm O ật làm cho vật di chuyển từ điểm O ển từ điểm O ừ điểm O ển từ điểm O

đ n O’.Khi đó l c F sinh ra m t công A ến O’.Khi đó lực F sinh ra một công A ực F không đổi tác dụng lên một ột lực F không đổi tác dụng lên một theo công th c.ức

Từ đó ta rút ra công thức:

tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số,

kí hiệu là a.b , được xác định bởi công thức

a.b = a b cos(a , b) (1)

b

50o

Tìm tích vô hướng của hai

vectơ a và b

Biết a = 5 ; b = 3

Đs: 9,64

Với vectơ a tuỳ ý, tích vô hướng a.a kí

hiệu là a và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a

Từ công thức (1) ta có:

“Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.”

2

a = a a cos 0 = ao

Hermann Grassmann

2 2

III.Tích chất của tích

vô hướng

Với 3 vectơ a,b,c tuỳ ý và mọi số thực k 1) a b = b a

2) a b = 0 <=> a b

3) (k.a) b = a.(k.b) = k.(a b)

4) a.(b + c)=a b + a c

a.(b – c) = a b – a c

Ví dụ 2:

Cho 2 vectơ OA, OB.Gọi B’ là hình chiếu của B trên đường thẳng OA.

CMR: OA OB = OA OB’

“Với vectơ OB’ gọi là hình chiếu của vectơ OB trên đường thẳng OA.

Ta có công thức:

OA OB = OA OB’

Đây được gọi là

công thức hình chiếu.”

B

B’

Ví d 3: ụng lên một

a)

Cho đo n th ng AB , O là trung ạn thẳng AB , O là trung ẳng AB , O là trung

đi m , ch ng minh r ng v i m i M ển từ điểm O ức ằng với mọi M ớng của ọi là tích vô hướng của

b t kì ta có: ất kì ta có:

M

Cho (O;R), M c đ nh,m t đ ng th ng ố định,một đường thẳng ị A gọi là tích vô hướng của ột lực F không đổi tác dụng lên một ường thẳng ẳng AB , O là trung Thay đ i luôn qua M, c t đ ng tròn ổi tác dụng lên một ắt đường tròn ường thẳng

t i hai đi m A và B.CMR:ạn thẳng AB , O là trung ển từ điểm O

MA MB = MO - R2 2

O M

C

*G i d = MO, giá tr không đ i:ọi là tích vô hướng của ị A gọi là tích vô hướng của ổi tác dụng lên một

MA MB = d - R

Đ c g i là ược gọi là ọi là tích vô hướng của ph ng tíchương tích c a đi m M ủa ển từ điểm O

đ i v i đ ng tròn (O), kí hi u ố định,một đường thẳng ớng của ường thẳng ệu P

P = MA MB = d – R (d=MO)

*Khi M n m ngoài đ ng tròn,ằng với mọi M ường thẳng

Ti p tuy n MT thì:ến O’.Khi đó lực F sinh ra một công A ến O’.Khi đó lực F sinh ra một công A

P = MT = MT

M/(O)

M/(O)

IV.Bi u th c t a đ c a ển từ điểm O ức ọi là tích vô hướng của ột lực F không đổi tác dụng lên một ủa

tích vô h ng ướng của

Các h th c quan tr ngệu ức ọi là tích vô hướng của

Cho hai vect a = (x;y) và b = (x’;y’) :ơ F và OO’ 1) a b = xx’ +yy’

2) a = x + y

3) cos(a, b) =

Đ c bi t : a b <=> xx’ + yy’ = 0ặc biệt : a b <=> xx’ + yy’ = 0 ệu

xx’ + yy’

x + y 2 2 x’ + y’ 2 2

H qu : ệu ả:

Trong m t ph ng t a đ , kho ng cáchặc biệt : a b <=> xx’ + yy’ = 0 ẳng AB , O là trung ọi là tích vô hướng của ột lực F không đổi tác dụng lên một ả:

gi a hai đi m M(x ; y ) và N(x ; y ) là:ữa hai điểm M(x ; y ) và N(x ; y ) là: ển từ điểm O

MN = MN = (x - x ) + (y - y ) 2 2