Chuyên đề tích vô hướng hai vecto

Trong toán học sơ cấp, véctơ là một đoạn thẳng có hướng. Ví dụ trong mặt phẳng cho hai điểm phân biệt A và B bất kì ta có thể xác định được véctơ A B → {displaystyle {overrightarrow {AB}}} {displaystyle {overrightarrow {AB}}} được mô tả như hình vẽ. Vectơ hướng từ A đến B Trong toán học cao cấp, một véctơ là một phần tử trong một không gian vectơ, được xác định bởi ba yếu tố: điểm đầu (hay điểm gốc), hướng (gồm phương và chiều) và độ lớn (hay độ dài). Ví dụ, đoạn thẳng AB có điểm gốc là A, hướng từ A đến B được gọi là vectơ AB, kí hiệu là A B → {displaystyle {overrightarrow {AB}}} {displaystyle {overrightarrow {AB}}}. Véctơ được kí hiệu là A B → {displaystyle {overrightarrow {AB}}} {displaystyle {overrightarrow {AB}}} hoặc a → {displaystyle {vec {a}}} {vec a}, b → {displaystyle {vec {b}}} {displaystyle {vec {b}}}, u → {displaystyle {vec {u}}} {vec u}, v → {displaystyle {vec {v}}} {vec v}

Trang 1

BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10 MINH HIẾU

y M x

y

1 -1

BÀI TẬP TỰ LUẬN CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

I GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ 0 0 ĐẾN 180 0

1 Định nghĩa

Lấy M trên nữa đường trịn tâm O Xét gĩc nhọn = xOM Giả sử M(x; y).

sin = y (tung độ )

cos= x (hồnh độ )

tan= y tungđộ

x hoà nhđộ

(x 0)

cot= x hoà nhđộ

y tungđộ

(y 0)

Chú ý: – Nếutù thì cos < 0, tan< 0, cot< 0.

– tan chỉ xác định khi 90 0 , cotchỉ xác định khi 0 0 và 180 0

2 Tính chất

Gĩc phụ nhau Gĩc bù nhau

0 0 0 0

sin(180 ) sin

3 Giá trị lượng giác của các gĩc đặc biệt

2

2 2

3

2

2 2

1

4 Các hệ thức cơ bản

sin

cos cos

sin tan cot 1 (sin cos 0)



2 2 2

2 2

2

1

cos 1

sin



Chú ý: 0 sin    1; 1 cos     1

Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

Trang 2

O A

B

a

b

a

b

a) asin 00bcos00csin900 b) acos900bsin900csin1800

c) a2sin900b2cos900c2cos1800 d) 3 sin 90  2 0 2cos 602 0 3tan 452 0

e) 4a2sin 452 0 3( tan 45 )a 0 2 (2 cos45 )a 0 2

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sinx cosx khi x bằng 00; 450; 600 b) 2sinx cos2x khi x bằng 450; 300

Bài 3: Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:

a) sin 1

4

3

   c) tanx 2 2

Bài 4: Biết sin150 6 2

4



 Tinh cos15 , tan15 , cot150 0 0

Bài 5: Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức: a) sinx 1, 900 x 1800

3

x x

tan cot



b) tan   2 Tính B

3 3

sin cos sin 3cos 2sin





Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (sinx cos )x 2  1 2sin cosx x b) sin4x cos4x  1 2sin2x.cos2x

c) tan2x sin2x tan2x.sin2x d) sin6x cos6x  1 3sin2x.cos2x

e) sin cos (1 tan )(1 cot ) 1 2sin cosx x  x  x   x x

f)

Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau:

a) cosy sin tany y b) 1 cos 1 cos  b  b c) sina 1 tan  2a

x

2 2

1 cos

tan cot

1 sin







2 2

2

1 4sin cos (sin cos )



 f) sin(900x) cos(180  0x) sin  2x(1 tan  2x) tan  2x

g) cos10 + cos20 + + cos170 + cos180

Bài 8: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) cos 122 0 cos 782 0 cos 12 0 cos 892 0 b) sin 32 0 sin 152 0 sin 752 0 sin 872 0

II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1 Góc giữa hai vectơ

Cho a b,   0 

Từ một điểm O bất kì vẽ OAa OB, b

   

Khi đó a b, AOB

với 0 0 AOB 180 0

Chú ý:

+ a b, 

= 90 0 a b

Trang 3

+ a b, 

= 0 0 a b, 

cùng hướng + a b, 

= 180 0 a b, 

ngược hướng + a b,   b a ,

2 Tích vô hướng của hai vectơ

Định nghĩa: a b   a b  cos ,a b 

Đặc biệt: a a  a2  a2

.

Tính chất: Với a b c, ,  

bất kì và kR, ta có:

+ a b  b a 

; a b c a b a c.  .

;

ka b. k a b.a kb. 

; a2 0; a2 0 a 0 

+  a b 2a2  2 a b b    2

;  a b 2a2  2 a b b    2

; a2 b 2 a b a b  

+ a b 

> 0  a b, 

nhọn

.

a b 

= 0 a b, 

vuông

.

a b 

< 0  a b, 

tù

3 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

Cho a

= (a1, a2), b

= (b1, b2) Khi đó: a b   a b1 1a b2 2

.

 a  a12a22

1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

cos( , )

.







; ab a b1 1a b2 2  0

Cho A x( A;y A), (B x B;y B) Khi đó: AB (x Bx A)2 (y By A)2.

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a Tính các tích vô hướng: a) AB AC.

 

b) AC CB.

 

c) AB BC.

 

Bài 2: Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a Tính các tích vô hướng:

a) AB AC.

 

b) AC CB.

 

c) AB BC.

 

Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì

a) Chứng minh:DA BC DB CA DC AB    0

     

b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui"

Bài 4: Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh:

BC AD CA BE  AB CF  0

     

Bài 5: Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN

a) Chứng minh: AM AI AB AI BN BI , BA BI.

       

b) Tính AM AI BN BI.

   

theo R

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8

a) Tính AB AC.

 

, rồi suy ra giá trị của góc A

b) Tính CACB.

 

c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3 Tính CD CB.

 

Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính giá trị các biểu thức sau:

Trang 4

a) AB AC.

 

b) (AB AD BD )( BC)

   

c) (ACAB)(2ADAB)

   

d) AB BD.

 

e) (AB AC AD DA DB DC)(   )

     

Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3

a) Tính AB AC.

 

, rồi suy ra cosA

b) Gọi G là trọng tâm của ABC Tính AG BC.

 

c) Tính giá trị biểu thức S = GA GB GB GC GC GA  

     

d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D  BC) Tính AD



theo AB AC,

 

, suy ra AD

HD: a) AB AC. 3

2

 

 

, cosA 1

4

  b) AG BC. 5

3



 

c) S 29

6

 

d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB AB DC

AC.



 

 AD 3AB 2AC

  

5



Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600 M là trung điểm của BC a) Tính BC, AM

b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: 2IA IB  0,JB 2JC

    

HD: a) BC = 19, AM = 7

2 b) IJ = 2 133

3

Bài 10: Cho tứ giác ABCD

a) Chứng minh AB2BC2CD2DA2 2AC DB.

 

b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:

AB2CD2BC2DA2

Bài 11: Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC Chứng minh:

MH MA. 1BC2

4



 

Bài 12: Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì Chứng minh:

a) MA2MC2MB2MD2 b) MA MC MB MD.

   

c) MA2MB MD  2MA MO.

   

(O là tâm của hình chữ nhật)

Bài 13: Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0)

a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC

b) Tìm toạ độ điểm M biết CM  2AB 3AC

  

c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 14: Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8)

a) Tính AB AC.

 

Chứng minh tam giác ABC vuông tại A

b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC

d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC

e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng

f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N

g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật

h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO

i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA 2TB 3TC 0

   

Trang 5

k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B

l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ABC

Bài 15: Cho tam giác ABC tìm tập hợp những điểm M sao cho:

a) MA2 2MA MB.

 

b) (MA MB )(2MB MC )  0

   

c) (MA MB MB MC )(  )  0

   

d) 2MA2MA MB MA MC.

   

Bài 16: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Tìm tập hợp những điểm M sao cho: a) MA MC MB MD a2

   

b) MA MB MC MD   5a2

   

c) MA2MB2MC2 3MD2 d) (MA MB MC MC MB  )(  )  3a2

    

Bài 17: Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Tìm tập hợp điểm M sao cho: MA MB MC MD . 1IJ2

2

   

Bài 18: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB=2a, đáy lớn BC=3a, đáy nhỏ AD=2a

III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

ChoABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c

– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc – độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc

– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p

– diện tích tam giác: S

1 Định lí côsin

a2b2c2 2 cosbc A ; b2c2a2 2 cosca B ; c2a2b2 2ab.cosC

2 Định lí sin

R

sin sin sin 

3 Độ dài trung tuyến

a

b c a m

2 2 2

2 2( )

4

2 2 2

2 2( )

4

2 2 2

2 2( )

4



4 Diện tích tam giác

S = 1ah a 1bh b 1ch c

= 1bcsinA 1casinB 1absinC

= abc

R

4

= pr

Trang 6

A

O M

C

D

T

R

= p p a p b p c(  )(  )(  ) (công thức Hê–rông)

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.

5 Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)

Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao.

 BC2AB2AC2 (định lí Pi–ta–go)

 AB2 BC BH. , AC2 BC CH.

 AH2 BH CH. ,

AH2 AB2 AC2

 AH BC AB AC.

 ba.sinBa.cosCctanBccotC ; ca.sinCa.cosBbtanCbcotC

6 Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.

Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.

PM/(O) = MA MB MC MD MO2R2

   

Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.

PM/(O) = MT2MO2R2

Bài 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;

a) ab.cosC c cosB b) sinA sin cosB C sin cosC B

c) h a 2 sin sinR B C d) m a2 m b2 m c2 3(a2 b2 c2)

4

ABC

S 1 AB AC2. 2 AB AC. 2

2

 

Bài 2: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) Nếu b + c = 2a thì

  b) Nếu bc = a2thì sin sinB C sin2A h h, b c h a2

c) A vuông  m b2m c2 5m a2

Bài 3: Cho tứ giác lồi ABCD, gọi  là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: S 1AC BD .sin

b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc

Bài 4: Cho ABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH

a) Chứng minh AH a.sin cos ,B B BH a.cos2B CH, a.sin2B

b) Từ đó suy ra AB2BC BH AH , 2BH HC.

Bài 5: Cho AOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao Đặt OA = a, AOH   a) Tính các cạnh của OAK theo a và 

b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và 

c) Từ đó tính sin2 , cos2 , tan2    theo sin , cos , tan   

Bài 6: Giải tam giác ABC, biết:

a) c 14; A 60 ;0 B 400 b) b 4,5; A 30 ;0 C 750

c) c 35; A 40 ;0 C 1200 d) a 137,5; B 83 ;0 C 570

Trang 7

a) a 6,3; b 6,3;C 540 b) b 32; c 45; A 870

c) a 7; b 23;C 1300 d) b 14; c 10; A 1450

a) a 14; b 18;c 20 b) a 6; b 7,3; c 4,8

c) a 4; b 5;c 7 d) a 2 3; b 2 2;c 6  2

$ BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II $ Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau:



3 3

1 sin cos



 



2 2

1 2tan 4sin .cos

2 2

2

4 4 2

cos sin

1 tan sin cos sin



 

cos (1 tan )  sin (1 cot )   

g) cos2x(cos2x 2sin2x sin2xtan2x) 1 

Bài 2: Biết sin180 5 1

4



 Tính cos180, sin720, sin1620, cos1620, sin1080, cos1080, tan720

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A = cos4x cos2x sin2x b) B = sin4x sin2x cos2x

Bài 4: Cho các vectơ a b, 

a) Tính góc a b, 

, biết a b,   0 

và hai vectơ ua 2 ,b v   5a 4b

vuông góc

b) Tính a b 

, biết a  11, b  23, a b   30

c) Tính góc a b, 

, biết (a 3 )b  (7a 5 ), (b a 4 )b  (7a 2 )b

d) Tính a b  , 2a 3b

, biết a  3, b  2, ( , ) 120a b   0

e) Tính a , b

, biết a b   2, a b   4, (2a b  )  (a 3 )b

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 6

a) Tính AB AC.

 

và cosA

b) M, N là hai điểm được xác định bởi AM 2AB AN, 3AC

   

Tính MN

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có AB = 3, AD = 1, BAD 600

a) Tính AB AD BA BC ,

   

b) Tính độ dài hai đường chéo AC và BD Tính cosAC BD, 

 

Bài 7: Cho tam giác ABC có góc A nhọn Về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh AI  DE

Bài 8: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABO và CDO Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC

Trang 8

Chứng minh HK  IJ

Bài 9: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, M là trung điểm cạnh AB Trên đường chéo AC lấy điểm N sao cho AN 3AC

4



 

a) Chứng minh DN vuông góc với MN

b) Tính tổng DN NC MN CB.

   

Bài 10: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) AB AM AC AM  0

   

b) AB AM AC AM  0

   

c) (MA MB MA MC )(  )  0

   

d) (MA MB  2MC MA)(  2MB MC )  0

     

Bài 11: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:

a) b2c2a b( cosC c cos )B b) (b2c2) cosAa c( cosC b cos )B

b) sinA sin cosB C sin cosC B sin(B C )

Bài 12: Cho ABC Chứng minh rằng:

a) Nếu (a b c b c a  )(   )  3bc thì A 600

b c a

3 3 3

2



c) Nếu cos(A C ) 3cos  B 1 thì B 600

d) Nếu b b( 2a2) c a( 2c2) thì A 600

Bài 13: Cho ABC Chứng minh rằng:

c

2 2

cos cos 2



C

sin

2cos sin  thì ABC cân đỉnh B

c) Nếu a 2 cosb C thì ABC cân đỉnh A

cos cos sin sin thì ABC vuông tại A

e) Nếu S 2R2sin sinB C thì ABC vuông tại A

Bài 14: Cho ABC Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau là: b2c2 5a2

Bài 15: Cho ABC

a) Có a = 5, b = 6, c = 3 Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho

BM = 2, BK = 2 Tính MK

b) Có cosA 5

9

 , điểm D thuộc cạnh BC sao cho ABCDAC, DA = 6, BD 16

3

 Tính chu vi tam giác ABC

3 , AB = 10

Bài 16: Cho một tam giác có độ dài các cạnh là: x2 x 1; 2x 1; x2 1

a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên

b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc bằng 1200

Bài 17: Cho ABC có B 900, AQ và CP là các đường cao, SABC  9SBPQ

Trang 9

a) Tính cosB

b) Cho PQ = 2 2 Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ABC

HD: a) cosB 1

3

2



Bài 18: Cho ABC

a) Có B 600, R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ACI

b) Có A 900, AB = 3, AC = 4, M là trung điểm của AC Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp BCM

c) Có a = 4, b = 3, c = 2, M là trung điểm của AB Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp BCM

6

3 30



Bài 19: Cho hai đường tròn (O1, R) và (O2, r) cắt nhau tại hai điểm A và B Một đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn tại C và D Gọi N là giao điểm của AB và CD (B nằm giữa A và N) Đặt AO C1   , AO D2  

a) Tính AC theo R và ; AD theo r và 

b) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ACD

HD: a) AC = 2 sinR

2



, AD = 2 sinr

2



b) Rr

Bài 20: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AC, BD = a,

CAB , CAD 

a) Tính AC b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, , 

2 cos( ) 2sin( )

 

 





Bài 21: Cho ABC cân đỉnh A, A  , AB = m, D là một điểm trên cạnh BC sao cho

BC = 3BD

a) Tính BC, AD

b) Chứng tỏ rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD là bằng nhau Tính cos để bán kính của chúng bằng 1

2 bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ABC HD: a) BC = 2 sinm

2



, AD = m 5 4cos

16

   _Hết _

* Learning is the eye of the mind *

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	1,66 MB