BÀI TẬP HHGT TRONG MẶT PHẲNG

Viết phơng trình đờng tròn đi qua 4 điểm đó... Lập phương trỡnh đường trũn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xỳc với đường thẳng d.. Tỡm m biết đường thẳng ∆ cắt đường trũn C tại hai điểm phõn

Chuỷ ủeà 11: HèNH HOẽC GIAÛI TÍCH TRONG MAậT PHAÚNG

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC biết phương trỡnh cỏc đường thẳng chứa cỏc cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0 Phõn giỏc trong của gúc A nằm trờn đường thẳng x + 2y – 6 = 0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc ABC Giaỷi:

Tọa độ của A nghiệm đỳng hệ phương trỡnh: 4 3 4 0 2 ( 2; 4)

A

Tọa độ của B nghiệm đỳng hệ phương trỡnh 4 3 4 0 1 ( )1;0

B

Đường thẳng AC đi qua điểm A(-2;4) nờn phương trỡnh cú dạng:

a x+ +b y− = ⇔ax by+ + a− b=

Gọi ∆ 1 : 4x+ 3y− = ∆ 4 0; 2 :x+ 2y− = ∆ 6 0; 3 :ax by+ + 2a− 4b= 0

Từ giả thiết suy ra (ã ) (ã )

2 ; 3 1 ; 2

∆ ∆ = ∆ ∆ Do đú (ã ) (ã )

|1 2 | | 4.1 2.3 | cos ; cos ;

25 5 5.

0

a

+

=



+ a = 0 ⇒ ≠b 0 Do đú ∆ 3 :y− = 4 0

+ 3a – 4b = 0: Cú thể cho a = 4 thỡ b = 3 Suy ra ∆ 3 : 4x+ 3y− = 4 0 (trựng với ∆ 1).

Do vậy, phương trỡnh của đường thẳng AC là y - 4 = 0

Tọa độ của C nghiệm đỳng hệ phương trỡnh: 4 0 5 ( )5; 4

C

2 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho parabol (P): y=x2 − 2x và elip (E): 1

9

2

2

= +y

Chứng minh rằng (P) giao (E) tại 4 điểm phân biệt cùng nằm trên một đờng tròn.

Viết phơng trình đờng tròn đi qua 4 điểm đó

Giaỷi:

Hoành độ giao điểm của (E) và (P) là nghiệm của phơng trình

0 9 x 37 x 36 x 9 1 )

x

2

x

(

9

=

− +

−

⇔

=

−

Xét ( x ) = 9 x 4 − 36 x 3 + 37 x 2 − 9, f(x) liên tục trên R có f(-1)f(0) < 0,

f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < 0 suy ra (*) có 4 nghiệm phân biệt, do đó (E) cắt (P) tại 4 điểm phân biệt

Toạ độ các giao điểm của (E) và (P) thỏa mãn hệ









= +

−

=

1 y 9 x

x 2 x y

2 2 2

0 9 y x 16 y 9 x 9 9

y

x

y x

16

2

2

2

=

−

−

− +

⇒







= +

=

−

(**) là phơng trình của đờng tròn có tâm 











= 9

4

; 9

8

I , bán kính R =

9

161

Do đó 4 giao điểm của (E) và (P) cùng nằm trên đờng tròn có phơng trình (**)

3 Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0 Lập phương trỡnh đường trũn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xỳc với đường thẳng (d)

Giaỷi : Giả sử phương trỡnh cần tỡm là (x-a)2 + (x-b)2 = R2

Vỡ đường trũn đi qua A, B và tiếp xỳc với d nờn ta cú hệ phương trỡnh

(1 )

(1 ) (2 )





 − − =

0 1 2

a b R

 =



⇔ =



Vậy đường trũn cần tỡm là: x2 + (y - 1)2 = 2

4 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G(−2, 0) biết phương trỡnh cỏc cạnh AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0; x+ y−2=0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh A, B, C.

Giaỷi : Tọa độ A là nghiệm của hệ {4x y 14 0 {x 4

2x 5y 2 0 ++ +− == ⇔ y 2= −= ⇒ A(–4, 2)

Vỡ G(–2, 0) là trọng tõm của ∆ABC nờn







−

= +

−

= +

⇔







+ +

=

+ +

=

2 y y

2 x x y

y y

y

x x x

x

C B

C B C

B A

G

C B A

G

(1)

VỡB(xB, yB) ∈ AB ⇔ yB = –4xB – 14 (2)

C(xC, yC) ∈ AC ⇔ y 25xC 52

C = − + ( 3)

Thế (2) và (3) vào (1) ta cú







=

⇒

=

−

=

⇒

−

=

⇒









−

= +

−

−

−

−

=

+

0 y 1 x

2 y 3 x 2 5

2 5

x 2 14

x

4

2

x

x

C C

B B

C B

C

B

Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)

5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trũn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24

= 0 cú tõm I và đường thẳng ∆: mx + 4y = 0 Tỡm m biết đường thẳng ∆ cắt đường trũn (C) tại hai điểm phõn biệt A,B thỏa món diện tớch tam giỏc IAB bằng 12

Giaỷi Đường trũn (C) cú tõm I(1; m), bỏn kớnh R = 5

Gọi H là trung điểm của dõy cung AB

Ta cú IH là đường cao của tam giỏc IAB

I

H 5

IH = ( , ) | 2 4 | | 5 |2

d I

+

2

25

m

Diện tớch tam giỏc IAB là S∆IAB = 12 ⇔ 2 S∆IAH = 12

3 ( , ) 12 25 | | 3( 16) 16

3

m

m

= ±





 = ±



6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú phương trỡnh cạnh AB:

x - y - 2 = 0, phương trỡnh cạnh AC: x + 2y - 5 = 0 Biết trọng tõm của tam giỏc G(3; 2) Viết phương trỡnh cạnh BC

Giaỷi

Tọa độ điểm A là nghiệm của HPT:  +x y x- - 2 02 - 5 0y == ⇔ A(3; 1)

Gọi B(b; b- 2) ∈ AB, C(5- 2c; c) ∈ AC

Do G là trọng tõm của tam giỏc ABC nờn  + − + =13+ + −b b 25 2c c=69⇔ 52

b c

=



 =

Hay B(5; 3), C(1; 2)

Một vectơ chỉ phương của cạnh BC là ur=BCuuur= − − ( 4; 1)

Phương trỡnh cạnh BC là: x - 4y + 7 = 0

Đường trũn (C) cú tõm I(1; m), bỏn kớnh R = 5

7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình :

(x-1)2 + (y+2)2 = 9

và đờng thẳng d: x + y + m = 0 Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà

từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông

Giaỷi

Từ pt ct của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn và AB⊥ AC=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3⇒IA= 3 2







=

=

⇔

=

−

⇔

=

−

⇔

7

5 6

1 2

3 2

1

m

m m

m

8 Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC biết B(2; -1), đường cao và đường phõn giỏc trong qua đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y – 5 = 0

Giaỷi:

+) PT cạnh BC đi qua B(2 ; -1) và nhận VTCP uuur1 =( )4;3 của (d2) làm VTPT

(BC) : 4( x- 2) + 3( y +1) = 0 hay 4x + 3y - 5 =0

+) Tọa độ điểm C là nghiệm của HPT :

( )

4x 3y 5 0 x 1

C 1;3

+) Đờng thẳng ∆ đi qua B và vuông góc với (d2) có VTPT là uuur2 =(2; 1 − ) \

∆ có PT : 2( x - 2) - ( y + 1) = 0 hay 2x - y - 5 = 0

+) Tọa độ giao điểm H của ∆ và (d2) là nghiệm của HPT :

2x y 5 0 x 3 H ( )3;1

x 2y 5 0 y 1

+) Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (d2) thì B’ thuộc AC và H là trung điểm của BB’ nên :

( )

B' 4;3



+) Đờng thẳng AC đi qua C( -1 ; 3) và B’(4 ; 3) nên có PT : y - 3 = 0

+) Tọa độ điểm A là nghiệm của HPT :

y 3 0 x 5 A ( 5;3)

3x 4y 27 0 y 3

+) Đờng thẳng qua AB có VTCP ABuuur=(7; 4 − ), nên có PT :

9 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho∆ABC cú đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM:

2x y+ + = 1 0 và phõn giỏc trong CD:x y+ − = 1 0 Viết phương trỡnh đường thẳng BC.

Giaỷi:

Điểm C CD x y∈ : + − = ⇒ 1 0 C t( ;1 −t)

Suy ra trung điểm M của AC là 1 3;

( )

1 3

M∈BM x y+ + = ⇒  + + − + = ⇔ = − ⇒t C −

Từ A(1;2), kẻ AK ⊥CD x y: + − = 1 0 tại I (điểm K BC∈ )

Suy ra AK:(x− − − = ⇔ − + = 1) (y 2) 0 x y 1 0

Tọa độ điểm I thỏa hệ: 1 0 ( )0;1

1 0

x y

I

x y

+ − =

 − + =

Tam giỏc ACK cõn tại C nờn I là trung điểm của AK

x 2 y 1

4x 7y 1 0

−

⇒ tọa độ của K(− 1;0) .

Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: 1 4 3 4 0

7 1 8

+ = ⇔ + + =

− +

10 Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có A ; ( )0 5 Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là d : x y1 − + = 1 0,d : x2 − 2y= 0. Viết phương

trình ba cạnh

11 Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C và D

12 Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C )

Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6

13 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét elíp (E) đi qua điểm M( − 2 ; − 3 ) và có phương trình một đường chuẩn là x+ 8 = 0 Viết phương trình chính tắc của (E).

14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 25 và điểm M(7; 3) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại A, B phân biệt

5 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 + 2x 8y 8 0 − − = Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6

16 Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) , cho điểm 3;1

2

  Viết phương trình chính tắc

của elip đi qua điểm M và nhận F1(− 3;0) làm tiêu điểm

17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB:

x - y - 2 = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - 5 = 0 Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2) Viết phương trình cạnh BC