BÀI TẬP HHGT TRONG KHÔNG GIAN

Trong khơng gian, cho điểm M2 ; 1 ; 0 và đường thẳng d cĩ phương trình: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuơng gĩc với đường thẳng d.. Giải: Gọi H là hìn

Chủ đề 13: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

1 Trong khơng gian, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d cĩ phương trình:

Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuơng gĩc với đường thẳng d

Giải:

Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của M trên d, ta cĩ MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuơng gĩc với d

Vì H ∈ d nên tọa độ của H cĩ dạng : (1 + 2t ; − 1 + t ; − t)

Suy ra : MH uuuur

= (2t − 1 ; − 2 + t ; − t)

Vì MH ⊥ d và d cĩ một vectơ chỉ phương là u r

= (2 ; 1 ; −1), nên : 2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t = 23 Vì thế, MH uuuur

= 1; 4; 2

 − − 

 

Suy ra, phương trình tham số của đường thẳng MH là:

x 2 t

y 1 4t

= +



 = −



 = −



2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

( )P :x+2y−2z + 5 = 0; Q :( ) x+2y−2z -13 = 0

Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5;2;1) và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q)

Giải :

Gọi I(a;b;c) là tâm và R là bán kính của mặt cầu (S) Từ giả thiết ta cĩ:

( )

( ) ( ) ( ( ) )

OI AI

 =





Ta cĩ:

( ) (2 ) (2 )2

10 4 2 30 (1)

( )

3

OI =d I P ⇔ a + +b c = + − + ⇔ a + +b c = +a b− +c

( )

( ) ( ( ) ) | 2 2 5 | | 2 2 13 |

2 2 5 2 2 13 ( )

2 2 4 (3)

+ − + = + − −



⇔ + − + = − − + + lo¹i ⇔ + − =

Từ (1) và (3) suy ra: 17 11 ; 11 4a (4)

a

Từ (2) và (3) suy ra: a2+ + =b2 c2 9 (5)

x 1 2t

= +



 = − +



 = −



Thế (4) vào (5) và thu gọn ta được: (a−2 221) ( a−658) =0

Như vậy a= 2 hoặc 658

221

a= .Suy ra: I(2;2;1) và R = 3 hoặc 658 46; ; 67

221 221 221

  và R = 3

Vậy cĩ hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu với phương trình lần lượt là:

( ) (2 ) (2 )2

9

 −  + −  + +  =

3 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d cĩ phương trình:

− = + =

− Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuơng gĩc với đường thẳng d

Giải :

Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của M trên d, ta cĩ MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuơng gĩc với d

d cĩ phương trình tham số là:

x 1 2t

= +



 = − +



 = −



Vì H ∈ d nên tọa độ của H cĩ dạng : (1 + 2t ; − 1 + t ; − t)

Suy ra : MH uuuur

= (2t − 1 ; − 2 + t ; − t)

Vì MH ⊥ d và d cĩ một vectơ chỉ phương là u r

= (2 ; 1 ; −1), nên : 2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t = 23 Vì thế, MH uuuur

= 1; 4 ; 2

 − − 

  Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là:

− = − =

− −

4 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x y− +2z+ =1 0, đường thẳng

( )

5

1

= +



 = − +



 = −



Lập phương trình đường thẳng ( )∆ nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuơng gĩc với đường thẳng

(d)

Hướng dẫn

+) nuurP =(3; 1;2),− uuurd =(1;3; 1)−

Giao điểm của (d) và (P) là điểm A(15; 28; - 9)

+) Đường thẳng (d’) cần tìm qua A nhận n uuur uurP, d = − ( 4;5;10) là VTCP⇒( ') :d 15 28 9

x− =y− =z+

−

5 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuơng MNPQ cĩ M(5;3;−1), P(2;3;−4) Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng (γ):x+ y−z−6=0

Giải :

- Gi¶ sư N(x0;y0;z0) V× N∈(γ) ⇒x0 + y0−z0 −6=0 (1)

- MNPQ là hình vuông ⇒ ∆MNP vuông cân tại N









=

=

⇔

0

.PN

MN

PN MN









= + + +

− +

−

−

+ +

− +

−

= + +

− +

−

⇔

0 ) 4 )(

1 ( ) 3 ( ) 2 )(

5 (

) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 5 (

0 0

2 0 0

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

z z y

x x

z y

x z

y x







= + + +

− +

−

−

=

− +

⇔

) 3 ( 0

) 4 )(

1 ( ) 3 ( ) 2 )(

5 (

) 2 ( 0

1

0 0

2 0 0

0

0 0

z z y

x x

z x

- Từ (1) và (2) suy ra







+

−

=

+

−

=

1

7 2 0 0

0 0

x z

x y

Thay vào (3) ta đợc x02−5x0+6=0







−

=

=

=

−

=

=

=

⇒

2 ,

1 , 3

1 ,

3 , 2

0 0 0

0 0

0

z y x

z y

x

hay N N((32;;13;;−−21)).

- Gọi I là tâm hình vuông ⇒ I là trung điểm MP và NQ ⇒ )

2

5

; 3

; 2

7

Nếu N(2;3−1) thì Q(5;3;−4)

Nếu N(3;1;−2) thì Q(4;5;−3)

6 Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cỏc điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) và mặt phẳng

0 2 2

:

)

(α x+ y+ = Tỡm toạ độ của điểm M biết rằng M cỏch đều cỏc điểm A, B,C và mặt phẳng

)

(α

Giaỷi : Giả sử M(x0;y0;z0) Khi đó từ giả thiết suy ra

5

2 2 )

2 ( ) 3 ( )

1 ( )

1

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2

0

+ +

=

− +

− +

= +

− +

= + +

x

















+ +

= + +

−

− +

− +

= +

−

+

+

− +

= + +

−

⇔

) 3 ( 5

) 2 2 ( )

1

(

) 2 ( )

2 ( ) 3 ( )

1 (

) 1 ( )

1 ( )

1

(

2 0 0 2 0

2 0

2

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2

0

y x z y x

z y

x z y

x

z y

x z y x

Từ (1) và (2) suy ra







−

=

=

0 0

0 0

3 x

z

x y

Thay vào (3) ta đợc 2

0 0

2

3 (

5 x − x + = x +







=

=

⇔

3 23 1

0

0

x

x









−

⇒

)

3

14

; 3

23

; 3

23 (

) 2

; 1

; 1 (

M M

7 Viết phương trỡnh đường vuụng gúc chung của hai đường thẳng sau:

x 1 2t

x y 1 z 2

d : ; d : y 1 t

z 3

= − +



Gọi M d∈ ⇒1 M 2t;1 t; 2 t , N d( − − + ) ∈ ⇒2 N 1 2t ';1 t ';3(− + + )

1

1

MN 2t 2t ' 1; t t '; t 5

2 2t 2t ' 1 t t ' t 5 0 MN.u 0

2 2t 2t ' 1 t t ' 0 MN.u 0

6t 3t ' 3 0

t t ' 1 3t 5t ' 2 0

M 2;0; 1 , N 1;2;3 , MN 1;2;4

x 2 y z 1

PT MN :



− + + =



−

uuuur

uuuuruur

uuuuruur

uuuur

8 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

2

5 1

1 3

4 :

1

−

+

=

−

−

=

x

d

1 3

3 1

2 :

2

z y

x

d − = + =

Viết phương trình mặt cầu cĩ bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2

Giải : Giả sử một mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai đương thẳng d1, d2 tại hai điểm A và B khi đĩ ta luơn cĩ

IA + IB ≥ AB và AB ≥d d d( 1, 2) dấu bằng xảy ra khi I là trung điểm AB và AB là đoạn vuơng gĩc

chung của hai đường thẳng d1, d2 Ta tìm A, B :

'

 ⊥





⊥



uuur r

uuur ur A∈d1, B∈d2 nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’) ⇒ uuurAB(….)… ⇒

A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1)⇒I(2; 1; -1)

Mặt cầu (S) cĩ tâm I(2; 1; -1) và bán kính R= 6

Nên cĩ phương trình là: ( )2 2 2

2 ( 1) ( 1) 6

9 Trong khơng gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC)

Giải :

*Từ phương trình đoạn chắn suy ra pt tổng quát của mp(ABC) là:2x+y-z-2=0

*Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của O l ên (ABC), OH vuơng gĩc với

(ABC) nên OH//n(2;1;−1) ;H∈(ABC)

Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) cĩ t=

3

1

3

1

; 3

1

; 3

2

H

*O’ đ ối xứng với O qua (ABC) ⇔H là trung điểm của OO’⇔ )

3

2

; 3

2

; 3

4 (

O

10 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )α và mặt cầu (S) cĩ phương trình

( )α : 2x y− +2z− =3 0 và ( )S x: 2+y2+ −z2 2x+4y− − =8z 4 0.

Giải:

Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng ( )α Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với

mặt cầu (S) qua mặt phẳng ( )α .

( ) ( ) (2 ) (2 )2

S x− + +y + −z = , tâm I(1; 2; 4− ) và R = 5

Khoảng cách từ I đến ( )α d I( ,( )α = <) 3 R

Vậy ( )α và mặt cầu (S) cắt nhau

Gọi J là điểm đối xứng của I qua ( )α

PT đường thẳng IJ :

1 2 2

4 2

= +



 = − −



 = +



Toạ độ giao điểm H của IJ và ( )α thoả ( )

1; 1; 2

H

 = − −  = −

 − + − =  =

Vì H là trung điểm của IJ nên J(−3;0;0)

Mặt cầu (S’) có tâm J bán kính R’ = R = 5 nên có PT: ( ) ( )2 2 2

S x+ +y +z =

11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )α và mặt cầu (S) có phương trình

( )α : 2x y− +2z− =3 0 và ( )S x: 2+y2+ −z2 2x+4y− − =8z 4 0.

Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng ( )α Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với

mặt cầu (S) qua mặt phẳng ( )α .

12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0), mặt phẳng (P ) :

x + y + 2z +1 = 0 và mặt cầu (S) : x2 + y 2 + z2 - 2x + 4y - 6z +8 = 0

a) Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P)

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

x y 2z 11 0+ + − =

13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

1

1 2 ( ) : 2 2

= +





∆  = −

 = −



và 2

2 ' ( ) : 5 3 '

4

z

= −





∆  = − +

 =



a) Chứng minh rằng đường thẳng ( )∆1 và đường thẳng ( )∆2 chéo nhau

b) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ( )∆1 và song song với đường thẳng ( )∆2

14 Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng (d)

6x 3y 2z 0

6x 3y 2z 24 0

− + =



 + + − =



1 Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau

2 Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) và cắt các đường AB, OC

16 Trong khụng gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1

= 0

a Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa AB và vuụng gúc với mp (P)

b Tỡm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất

17 Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) cú phương trỡnh

0 11 6 4 2

2

2

x và mặt phẳng (α) cú phương trỡnh 2x + 2y – z + 17 = 0

Viết phương trỡnh mặt phẳng (β) song song với (α) và cắt (S) theo giao tuyến là đường trũn cú

chu vi bằng 6π

18 Trong khụng gian Oxyz cho đường thẳng d:

3

2 1

2

1

−

+

=

=

− y z x

và mặt phẳng

0 1 2

:

)

(P x+y+z− = Tỡm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương trỡnh của đường thẳng ∆ đi qua điểm A vuụng gúc với d và nằm trong (P)

19 Cho (∆):









=

+

−

=

+

=

4

2 1 3

z

t y

t x

; (∆’)









+

=

=

+

−

=

u z

u y

u x

4 2 2

2 2

Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (∆) và (∆’) + Gọi đờng vuông góc

20. Trong khụng gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P):

2x - y + z + 1 = 0.Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa AB và vuụng gúc với mp (P)