Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT 2 NĂM HỌC 2010
MÔN TOÁN KHỐI B, D Thời gian làm bài: 180 phút
Phần chung (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = 2 3
2
x
x−− có đồ thị là (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên
2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A,
B sao cho AB ngắn nhất
Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình: sinx+sin2 x+sin3 x+sin4x=cosx+cos2 x+cos3x+cos4x
2) Giải phương trình: ( 2 )2 2
x + = −x x + x R∈
Câu III (1 điểm) Tính tích phân: 2
1
ln
ln
1 ln
e
x
+
∫
Câu IV (1 điểm) Một hình nón đỉnh S , có tâm đường tròn đáy là O A B, là hai điểm trên đường tròn đáy sao
cho khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng a, · · 0
60
ASO SAB= = Tính theo a chiều cao và diện
tích xung quanh của hình nón
Câu V (1 điểm) Cho 2 số dương x, y thoả mãn : x2+y2=x 1−y2 +y 1−x2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2
2 2
y
y x
x + + +
Phần riêng (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
Phần A
Câu VI (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) d có phương trình : x y− =0 và điểm M(2;1) Tìm phương trình đường thẳng ∆ cắt trục hoành tại A cắt đường thẳng ( ) d tại B sao cho tam giác AMB vuông cân tại M
2) Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng( ) α đi qua hai điểmA(0; 1;2 ,− )
(1;0;3)
B và tiếp xúc với mặt cầu ( )S có phương trình:(x−1)2+ −(y 2)2+ +(z 1)2 =2
Câu VII (1 điểm) Cho số phức z là một nghiệm của phương trình: z2+ + =z 1 0
Rút gọn biểu thức
= + ÷ + + ÷ + + ÷ + + ÷
Phần B Câu VI (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn( )C có phương trình ( )2 2
: x−4 +y =25 và điểm M(1; 1)− Tìm phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và cắt đường tròn ( )C tại 2 điểm , A B sao cho
3
MA= MB
2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P có phương trình: x y− − =1 0 Lập phương trình mặt cầu ( )S đi qua ba điểm A(2;1; 1 ,− ) (B 0;2; 2 ,− ) (C 1;3;0) và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P
2
2
2 1
2
3
2
2 log ( 1)
x x
Trang 2
-Hết -HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2010 Môn: Toán_ Khối B và DGiải: 1) y= 2 3
2
x
x−− (C) D= R\ {2}
x y TCN y
lim ; lim
→ = −∞ → = +∞ ⇒TCĐ x = 2
(x−−2) < ∀ ≠x
BBT
2) Gọi M(xo; 0
0
2
x x
−
− )∈ (C) Phương trình tiếp tuyến tại M: (∆) y =
2
0 0
x x x
(∆ ) ∩ TCĐ = A (2; 0
0
2
x x
−
− ) (∆ ) ∩ TCN = B (2x0 –2; 2)
0 0
2
2
AB x
x−
−
uuur
0
4
( 2)
cauchy
x
x
⇒ AB min = 2 2⇔ 0 13 (1;1)(3;3)
o
= →
= →
II 1 sinx+sin2x+sin3x+sin4x=cosx+cos2x+cos3x+cos4 x 1,0
TXĐ: D =R
sinx+sin x+sin x+sin x=cosx+cos x+cos x+cos x
x cosx
x cosx x cosx x cosx
x cosx x cosx
4
x cosx− = ⇔ = +x π kπ k Z∈
0,25
+ Với 2 2(sin+ x cosx+ ) sin + x cosx=0, đặt t = sinx cosx+ (t∈ − 2; 2 )
được pt : t2 + 4t +3 = 0 1
3( )
t
t loai
= −
t = -1
2
2 2
m Z
= +
= − +
Vậy :
( ) 4
2 2
= − +
0,25
Câu II.2
x + = −x x + x R∈
Đặt t =x 2x2+ ⇒ =4 t2 2(x4+2 )x2 ta được phương trình 0,25
f(x)=(2x-3)/(x-2) f(x)=2 x(t)=2 , y(t)=t
-2 -1 1 2 3 4 5
-3 -2 -1
1 2 3 4 5
x y
Trang 32
2
t
t t t
+ = − ⇔ + − =
4 2
t t
= −
⇔ =
+ Với t = −4 Ta có 2
x x
2
0
2 2
x
x x
<
=
x x
2
0
3 1
3 1
x
x x
>
ĐS: phương trình có 2 nghiệm x= − 2,x= 3 1−
0,25
0,25
0,25
1
ln
ln
1 ln
+
∫
I1 =
1
ln
1 ln
e x dx
∫ , Đặt t = 1 ln x+ ,… Tính được I1 = 4 2 2
2 1
ln
e
I =∫ x dx, lấy tích phân từng phần 2 lần được I2 = e – 2
I = I1 + I2 = 2 2 2
e− −
0.25 0.25
Câu IV
(1,0 đ)
Gọi I là trung điểm của AB, nên
OI =a
Đặt OA R=
· 600
SAB= ⇒ ∆SABđều
·
IA AB SA
ASO
Tam giác OIA vuông tại I nên OA2−IA2 =IO2
0,25
0,25 0,25 0,25
S
B I
Trang 42
SA a
2
a
SO=
2
xq
a
S =πRl =π a =πa
Câu V
(1,0 đ)
Câu V +) Nhận xét: ∀a, b, c, d ta có: (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2).(b2 + d2), có “=” khi ad = bc (1)
+) Áp dụng (1) ta có (x2 + y2)2 ≤ (x2 + y2) (2 – (x2 + y2) ( Có thể sử dụng vec tơ chứng minh kết quả này)
⇒ 0 < x2 + y2 ≤ 1 +) Áp dụng bđt Cô si có A ≥ x2 + y2 +
y x
4 2
2 + ; đặt t = x2 + y2 , 0 < t ≤ 1, xét hàm số:
f(t) = t +
t
4 với 0 < t ≤ 1, lập bảng biến thiên của hàm số Kết luận: Min A = 5
đạt khi x = y =
2 1
0,25 0,50 0,25
Câu
AVI.1
(1,0 đ)
Anằm trên Ox nênA a( );0 , B nằm trên đường thẳng x y− =0nên B b b( ; ),
(2;1)
M ⇒MAuuur= − −(a 2; 1),MBuuur= −(b 2;b−1)
Tam giác ABM vuông cân tại M nên:
MA MB
uuur uuur
,
do b=2 không thỏa mãn vậy
2
1
1
2
1
2
b
b
b
b
b
−
−
2
2 1
1 2
a b
b b
a
=
−
=
Với: 2
1
a b
=
=
đường thẳng∆ qua AB có phương trình x y+ − =2 0
3
a b
=
=
đường thẳng ∆qua AB có phương trình 3x y+ − =12 0
0,25
0,25
0,25
0,25