Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.. Câu IV 1điểm Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , mặt bên hợp với đáy góc α..
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC-CAO ĐẲNG 2010 -LB10
MễN TOÁN
(Thời gian 180 phỳt)
****** ********** ********** * ********
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2điểm ) Cho hàm số
1
1 2
−
+
=
x
x
y có đồ thị (C).
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B
Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất
Câu II (2điểm ) 1 Giải phương trỡnh: 2 sin x+ 2 sin x - 1 = 2 sin 2x + 2 sin 2x- 1
2 Giải hệ phơng trình :
=
− + +
= +
− +
−
0 22 2
0 9 6 4
2 2
2 2 4
y x
y x
y y
x x
CâuIII (2điểm ) 1.Tính tích phân sau
3
4 0
x
=
-ũ
2 Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z ≤3 Chứng minh rằng:
4 625
3xy z4 + +15yz x4 +4+5zx 81y4 +4 ≥ 45 5 xyz.
Câu IV (1điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , mặt bên hợp với đáy góc α .
Tìm α để thể tích của hình chóp đạt giá trị lớn nhất
II.PHẦN TỰ CHỌN: (Thớ sinh chỉ được chọn làm cõu V.a hoặc cõu V.b)
Câu Va (3 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(
2
1
; 0) Đờng thẳng chứa cạnh AB có phơng trình x-2y+2= 0 , AB =2AD
Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết A có hoành độ âm
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng (d và 1) (d có phơng trình 2)
( )1 ( )2
Lập phơng trình mặt phẳng chứa (d1) và (d 2)
3 Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
10x 2+8x+4=m(2x+1). x2 +1
CâuVb (3 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2)
lần lợt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng (∆) và ( )∆' có phơng trình
+
=
=
+
=
∆
=
+
=
+
=
∆
4t' 2
t' 2 y
t' 2 -2 x : ; 4
2t -1 y
t 3 x
z z
Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (∆) và ( )∆'
3 Giải phơng trình :log 22( x + 4) = x- 3+ log 22( x + 12)
****** Hết ********
Trang 2HƯỚNG DẨN GIẢI ĐỀ THI THỬ LB10
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7 điểm)
2.Với M bất kì ∈ (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B Tìm M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất
Gọi M
−
+
1
3 2
;
0 0
x
* Tiếp tuyến tại M có dạng:
1
3 2 ) (
) 1 (
3
0 0
2
−
=
x x
x x
y
Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A + − 1
6 2
; 1 0
x
B(2x0-1; 2) ; I(1; 2)
* Ta có: S∆IAB=
2
1
1
6 2
1
0 0
=
=
−
⋅
−
* ∆IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi ∆IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB (HS tự chứng minh)
−
=
+
=
⇒
−
=
3 1 1
2
1
6
0
0 0
x x
x
* Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1(1+ 3;2+ 3); M2(1− 3;2− 3)
Khi đó chu vi ∆AIB = 4 3+2 6
Cõu II (2 điểm)
1 ĐK:
2 2
u 2 sin x 1 0 2 sin x u 1
2 sin 2x v 1
v 2 sin 2x 1 0
pt Û u + u + 1 = v + v + 1 Û (u - v ) + (u - v) = 0 Û (u - v)(u + v + 1) = 0 Û u = v
x k2 2x x k2
3 3
ộ = p
ộ = + p ờ
=
ờ
= p - + p = +
Điều kiện: u 2 sin x 1 0 sin x 1
2
v 2 sin 2x 1 0
ỡù = - ³
ớù = - ³
So ĐK ta cú: x k2 , k
3
p
= + pẻ Â 2.Giải hệ phơng trình:
=
− + +
= +
− +
−
0 22 2
0 9 6 4
2
2
2 2
4
y x
y
x
y y x
x
=
− + +
=
− +
−
0 22 )
2 (
4 ) 3 ( ) 2 (
2 2
2 2
2
x y x
y x
⇔
=
−
− + +
− +
−
=
− +
−
0 20 2 )
3 3 )(
4 2 (
4 ) 3 ( ) 2 (
2 2
2 2
2
x y
x
y x
Đặt
=
−
=
−
v y
u x
3
2
2
* Thay vào hệ phơng trình ta có:
= + +
= +
8 ) ( 4
4
2 2
v u v u
v u
⇔
=
=
0
2
v
u
hoặc
=
=
2
0
v u
thế vào cách đặt ta đợc các nghiệm của hệ là :
=
=
3
2
y
x
;
=
−
=
3
2
y
x
;
=
=
5
2
y
x
;
=
−
=
5
2
y x
Trang 3CâuIII (2điểm ) 1.Tính tích phân sau
3
4 0
x
=
-ũ
1
2 (x 1)(x 1) x 1 x 1
2
1 1 1 dx 1 dx 1ln 2 3
2.Bất đẳng thức
⇔
2
x
2
9
4 9
y
2
2
25
4 25
z
5
2 3
2 2 ( ) 5 3
(
z y x z y
x
2 3
) 5 3 (
36 )
5 3 (
9
z y x z
y
Đặt t = 3 (x.3y.5z)2 ; ta có 1
3
5 3 )
5 3 (
3
z y
Điều kiện 0 < t ≤1 Xét hàm số f(t)= 9t+
t
36
27
36 36 2 27
36
=
t t t
t
Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y=
3
1
; z=
5
1
.
Câu IV * Tính V= 3 2 3
) tan 2 (
tan
3
4
α
α +
2
) tan 2 (
tan
α
α
α
α
2
2
tan 2
tan
1
1
1
≤
⇒Vmax
27
3
4a3
= khi đó tan2α =1 ⇒ α = 45o
II.PHẦN TỰ CHỌN: (Thớ sinh chỉ được chọn làm cõu V.a hoặc cõu V.b)
Câu Va (3 điểm)
1.Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I
2
1
; AB có phơng trình: x- 2y+2= 0; AB= 2AD Tìm tọa độ A; B;
C; D biết A có hoành độ âmGọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB ,khi đó IH=
2 5
Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (C) có tâm I và bán kính R= IA đờng tròn (C) có phơng trình là:
4
25 2
12 + 2 =
−x y ⇒ A(-2; 0); ⇒ B(2; 2) Do C đối xứng với A qua I qua đó C(3; 0)
Do D đối xứng với B qua I qua đó D(-1;-2)
+2 Ta có: (d1) // (d2) Gọi mặt phẳng cần tìm là (P).Hai véc tơ không cùng phơng có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P) là: u 1( 2 ; 3 ; 1 ) và M1M2 (3;2;1).Vậy (P) có véc tơ pháp tuyến là:
Trang 4Mặt phẳng (P) qua M1(1; -1; 2) Vậy phơng trình (P) là: ⇔ x+ y- 5z +10 =0
3.Nhận xét : 10x2+8x+4= 2(2x+1)2 +2(x2 +1)
1
1 2 ( ) 1
1 2
2
2
+
+
− +
+
x
x m x
x
x
+
+
1
1
2
2 Điều kiện : -2< t ≤ 5 Rút m ta có: m=
t
2 2 +
Lập bảng biến thiên của hàm số trên (−2, 5] , ta có kết quả của m để phơng trình
có hai nghiệm phân biệt là:
5
12
4<m≤ hoặc -5 < m<−4 +Câu Vb (3 điểm) 1 Giả sử đờng thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là n ( a ; b )
(a 2 + b 2 ≠0) => véc tơ pháp tuyến của BC là:n 1( − b ; a )
.Phơng trình AB có dạng: a(x-2) +b(y-1)= 0⇔ax + by -2a-b =0
BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0 ⇔ - bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC)
−
=
−
=
⇔ +
+
= +
−
a b
a b
b a
a b b
a
2 2 2
2
Tr
ờng hợp 1 : b= -2a; Phơng trình các cạnh cần tìm là:
AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0
BC: 2x +y – 6= 0; AD: 2x + y -4 =0
Tr
ờng hợp 2 : b= -a Khi đó AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x –y + 2= 0
2 Khi đó [ ] , ' ( 4 ; 2 ; 1 )
2
1
−
−
=
= u u
+ Gọi (α) là mặt phẳng chứa (∆) và (d) thì (α) qua N(3; -1; 4) và có véc tơ pháp tuyến:
[ , ] ( 2 ; 1 ; 10 )
1 = u ud = − −
Vậy phơng trình của (α) là: 2x- y + 10z - 47 =0
+ Gọi (β) là mặt phẳng chứa (∆’) và (d) thì (β) qua M(-2; 0; 2) và có véctơ pháp tuyến:
[ ,' ] ( 6 ; 18 ; 12 )
n Vậy phơng trình của (β) là: x + 3y- 2z + 6 =0
Do đó đờng vuông góc chung của ∆ và ∆’ là giao tuyến của hai mặt phẳng:
2x – y + 10z – 47 = 0 và x + 3y – 2z + 6 =0
pt Û log 2 + 4 =log 2 - + log 2 + 12 Û log 2 + 4 =log 2 ộ - 2 + 12 ự
2 + 4 = 2 - 2 + 12 8.2 + 32 = 2 + 12.2 2 + 4.2 - 32 = 0 2 = 4 x = 2
******** Hết ********