đề đáp án thi thử ĐH-CĐ 2010 LB13

Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.. Giải phơng trình: 2 cos.. Câu IV Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , mặt bên

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC –CAO ĐẴNG LB13 Môn Toán

(Thời gian 180 phỳt)

……….******………

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH:( 7điểm)

Câu I Cho hàm số

1

1 2

−

+

=

x

x

y có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B

Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất Câu II 1 Giải phơng trình: 2

cos 2 sin

2sin x

-2x 3sin

x x

2 Giải hệ phơng trình :

ùùù

ớù + =

Câu III 1.Tính tích phân sau: 2 sin cos3 dx

0

sin 2

x x

e x

∫ π

2 Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z 3≤ Chứng minh rằng:

4 625

3xy z4 + +15yz x4 +4+5zx 81y4 +4 ≥ 45 5 xyz.

Câu IV Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , mặt bên hợp với đáy góc α

Tìm α để thể tích của hình chóp đạt giá trị lớn nhất

II, PHẦN RIấNG (3điểm) (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )

Phần a

Câu Va 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(

2

1

; 0) Đờng thẳng chứa cạnh AB có phơng trình x-2y+2= 0 , AB =2AD

Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết A có hoành độ âm

2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng (d và 1) (d có phơng trình 2)

d1:









+

=

+

−

=

+

=

t z

t y

t x

2

3 1

2 1

; d2:

3

3 9

1 6

x ; Lập phơng trình mặt phẳng chứa (d

1) và (d 2)

.Câu VIa Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt : 10x 2+8x+4=m(2x+1). x2 +1.

Phần b

Câu Vb 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2) lần lợt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng (∆) và ( )∆' có phơng trình







 +

=

=

+

=

∆









=

+

=

+

=

∆

4t' 2

t' 2 y

t' 2 -2 x : ; 4

2t -1 y

t 3 x

z z

Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (∆) và ( )∆' Câu VIb Giải và biện luận phơng trình :mx+1(m2x2 +2mx+2)= x3 −3x2 +4x−2.

******** Hết ********

HƯỚNG DẨN GIAI ĐỀ LB 13

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH:( 7điểm)

Câu I 1 H/S tự giải

2.Với M bất kì ∈ (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B Tìm M để chu vi tam giác IAB đạt

giá trị nhỏ nhất.Gọi M









−

+ 1

3 2

; 0 0

x

* Tiếp tuyến tại M có dạng:

1

3 2 ) (

) 1 (

3

0 0

2

−

=

x x

x x

nên tọa độ A; B có dạng là: A









−

+

1

6 2

; 1

0

x B(2x0-1; 2) ; I(1; 2)

* Ta có: S∆ IAB=

2

1

1

6 2

1

0 0

=

=

−

⋅

−

* ∆IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi ∆IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB (HS tự chứng minh)









−

=

+

=

⇒

−

=

3 1 1

2

1

6

0

0 0

x x

x

* Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1(1+ 3;2+ 3) ; M2(1− 3;2− 3)

Khi đó chu vi ∆AIB = 4 3+2 6

Câu II 1 Giải phơng trình: 2

cos 2 sin

sin 2 2 sin 3

=

−

x x

x x

cos 2 sin

sin 2 2 sin 3

=

−

x x

x x

Điều kiện: sin2x ≠ 0 =>







≠

≠

0 cos

0 sin

x x

* Từ phơng trình => 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx ⇔ (2sin2x – 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0

⇔2sin2x(1- cosx)+ 2sinx(cosx -1)= 0

* ⇔ 2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0 ⇔

sin 2 sin 0 sin (2 cos 1) 0









* ⇔2cosx -1 =0 (do sinx ≠ 0) ⇔ π π 2π

3 3

cos 2

1 cosx= = ⇒x =± +k (k∈Z)

2

4 2 2

1

4

ỡù + =

ỡ =

Hệ cú nghiệm:

Câu III Tính tích phân ∫/2

0

3 sin2 sin cos

π

xdx x

e x Đặt sin2x= t => dt= 2sinx cosxdx

Đổi cận: x=0 => t=0; x= 1

2 ⇒t =

π Khi đó I=

0

) 1 ( 2

1

dt t

e t

Đặt









=

−

=

⇔









=

=

−

t

dt du dv

dt

e

u

t

2

1 2

1

1

Dùng tích phân từng phần ta có I= e

2

1 .

2.Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z ≤ 3

Chứng minh rằng: xy3 625z4 +4 + zx5 81y4 +4+15yz x4 +4 ≥45 5xyz

Bất đẳng thức

⇔ 2 42

x

x + +

2

2

9

4 9

y

2

2

25

4 25

z

z + ≥ 45

5

2 3

2 2 ( ) 5 3

(

z y x z y

x

2 3

) 5 3 (

36 )

5 3 (

9

z y x z

y

Đặt t = 3 (x.3y.5z)2 ta có 1

3

5 3 )

5 3 (

3









 + +

z y

Điều kiện 0 < t ≤1 Xét hàm số f(t)= 9t+

t

36

27

36 36 2 27

36

=

t t t

t

Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y=

3

1 ; z=

5

1.

Câu IV Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a,mặt bên hợp với đáy góc α Tính α để thể tích V của hình chóp đạt giá trị lớn nhất

) tan 2 (

tan

3

4

α

α +

2

) tan

2

(

tan

α

α

α

α 2

2

tan 2

tan

+ .2 tan2α

1

+ .2 tan2α

1

1

≤

⇒Vmax

27

3

4a3

= khi đó tan2α =1 ⇒ α = 45o

II, PHầN RIÊNG (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )

Phần a

Câu Va Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I 









 ; 0

2

1 ; AB có phơng trình: x- 2y+2= 0; AB= 2AD.

Tìm tọa độ A; B; C; D biết A có hoành độ âm

*BGGọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB ,khi đó IH=

2 5

Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (C) có tâm I và bán kính R= IA đờng tròn (C) có phơng trình là:

4

25 2

12 + 2 =









 −x y ⇒ A(-2; 0); ⇒ B(2; 2) Do C đối xứng với A qua I qua đó C(3; 0)

Do D đối xứng với B qua I qua đó D(-1;-2)

2.+ BG:Ta có: (d1) // (d2) ( HS phải chứng minh đợc)

Gọi mặt phẳng cần tìm là (P).Hai véc tơ không cùng phơng có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P) là: u 1( 2 ; 3 ; 1 ) và

2

1M

M (3;2;1).Vậy (P) có véc tơ pháp tuyến là: n  = [ u1, M1M2] = ( 1 ; 1 ; − 5 )

Mặt phẳng (P) qua M1(1; -1; 2) Vậy phơng trình (P) là: ⇔ x+ y- 5z +10 =0

.Câu VIa Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :

10x 2+8x+4=m(2x+1). x2 +1.

Nhận xét : 10x2+8x+4= 2(2x+1)2 +2(x2 +1)

1

1 2 ( ) 1

1 2

2

2

+

+

− +

+

x

x m x

x

x

+

+

1

1

2

2 Điều kiện : -2< t ≤ 5 Rút m ta có: m=

t

t 2

2 2 +

Lập bảng biến thiên của hàm số trên (−2, 5] , ta có kết quả của m để phơng trình có hai nghiệm phân

biệt là:

5

12

4<m≤ hoặc -5 < m<−4

Phần b

Câu Vb 1 Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2;1) ; N(4; -2) ; P(2; 0); Q(1; 2) lần lợt thuộc cạnh AB; BC; CD và AD Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông trên

+BG: Giả sử đờng thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là n  ( a ; b )

(a 2 + b 2 ≠0) => véc tơ pháp tuyến của BC là:n 1( − b ; a ).Phơng trình AB có dạng: a(x-2) +b(y-1)= 0

⇔ax + by -2a-b =0

BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0 ⇔ - bx + ay +4b + 2a =0

Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC) Hay 





−

=

−

=

⇔ +

+

= +

−

a b

a b

b a

a b b

a

2 2 2

2

*khi: b= -2a; Phơng trình các cạnh cần tìm là:

AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0 ;BC: 2x +y- 6= 0; AD: 2x + y -4 =0

*khi: b= -a Khi đó: AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x -y + 2= 0 AD: -x -y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0

2 Cho (∆):









=

+

−

=

+

= 4

2 1 3

z

t y

t x

; (∆’)









+

=

=

+

−

=

u z

u y

u x

4 2 2

2 2

*Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (∆) và (∆’)

+ Gọi đờng vuông góc chung của (∆) và (∆’) là d Khi đó [ ] , ' ( 4 ; 2 ; 1 )

2

1

−

−

=

+ Gọi (α) là mặt phẳng chứa (∆) và (d) thì (α) qua N(3; -1; 4) và có véc tơ pháp tuyến:

[ , ] ( 2 ; 1 ; 10 )

1 = u ud = − −

n    ;Vậy phơng trình của (α) là: 2x- y + 10z - 47 =0

+ Gọi (β) là mặt phẳng chứa (∆’) và (d) thì (β) qua M(-2; 0; 2) và có véctơ pháp tuyến:

[ ,' ] ( 6 ; 18 ; 12 )

n    ;Vậy phơng trình của (β) là: x + 3y- 2z + 6 =0

Do đó đờng vuông góc chung của ∆ và ∆’ là giao tuyến của hai mặt phẳng:

2x - y + 10z - 47 = 0 và x + 3y - 2z + 6 =0 +Lập phơng trình tham số của (d).(HS tự làm)

Câu VIb * Phơng trình tơng đơng với: (mx+1)3 + mx+1 =(x−1)3 +(x−1)

Xét hàm số: f(t)=t3 +t, hàm số này đồng biến trên R

f(mx+1)= f(x−1) ⇔ mx+1= x−1

* Giải và biện luận phơng trình trên ta có kết quả cần tìm

+ −1<m<1 phơng trình có nghiệm x=

1

2

−

−

m

+ m=-1 phơng trình nghiệm ∀x≥1

Các trờng hợp còn lại phơng trình vô nghiệm

……… HẾT………