Xác định vị trí của điểm M trên đờng tròn O sao cho biểu thức P=MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. Số các đoạn thẳng có trong tập P nối từ điểm A đến các điểm khác gọ
Trang 1Đề :1
Bài 1:Cho biểu thức A=
ab
b a a ab
b b
ab
−
+ +
a) Rút gọn A (1,25đ)
b) Tính giá trị của A khi a= 6+2 5 ; b= 6−2 5 (0,75đ)
Bài 2;: Cho phơng trình x4-2mx2 +m2-3=0
a) Giải phơng trình khi m= 3 (1đ)
b) Tìm m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt (1,5)
Bài 3: Cho parabol (P): y= 2
2
1
x
−
và điểm A(2;-3) cùng thuộc một mặt phẳng toạ độ a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua A (0,5đ)
b)Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi k (1đ)
Bài 4: Cho điểm M ở ngoài đờng tròn (O;R) ,qua M kẻ 2 tiếp tuyết MP;MQ với đờng tròn
(P;Q là 2 tiếp điểm ) MO cắt đờng tròn tại I , qua M kẻ đờng thẳng d cắt đờng tròn (O) Tại Avà B ( A nằm giữa M và B)
a) Chứng minh rằng I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ (1,25đ)
b) Tìm tập hợp các điểm M thuộc d để tứ giác MPOQ là hình vuông (1,75đ)
c) Tìm tập hợp các tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ khi M thay đổi ? (1đ)
P
M J I O
A ∆
K
B d
Đề: 2 Bài 1:(2đ) 1) Chứng minh rằng với mọigiá trị dơng của n , ta luôn có
1
1 1
1 )
1 (
1
+
−
= + +
n
2)Tính tổng S=
100 99 99 100
1
4 3 3 4
1 3
2 2 3
1 2
2
1
+ +
+ +
+ +
+ +
Bài 2:(1,5đ) Tìm trên đờng thẳng y=x+1những điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thức
y2-3y x+ 2x= 0
Bài 3:(1,5đ) Cho 2 phơng trình sau : x2-(2m-3)x +6=0 và 2x2 +x+m-5=0 (m là tham số ) Tìm m để 2 phơng trình đã cho có đúng một nghiệm chung
Bài 4:(4đ)Cho đờng tròn (O;R) 2 đờng kính AB và MN Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại A cắt
các đờng thẳng BM và BN tơng ứng tại M1 và N1 Gọi P là trung điểm của A M1 , Q là trung điểm của AN1
1) Chứng minh tứ giác MM1N1N nội tiếp đợc trong một đờng tròn
2) Nếu M1N1 =4R thì tứ giác PMNQ là hình gì ? tại sao ?
3) Khi đờng kình AB cố định , tìm tập hợp các tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BPQ
Trang 2Bài 5:(1đ) Cho đờng tròn (O;R) hai điểm A;B nằm ở phía ngoài (O) ; OA=2R Xác định vị trí của
điểm M trên đờng tròn (O) sao cho biểu thức P=MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó N1
N
Q
D A O B
I
M
P
Đề:3 Bài 1: 1) Cho 2 số a; b dơng thoả mãn a2-b > 0 hãy chứng minh
2 2
2
a a b
2)Không sử dụng máy tính hãy chứng tỏ rằng :
3 2 2
3 2 3
2 2
3 2 5
7
−
−
− +
+ +
+
20 29
Bài 2: Giả sử x;y là các số dơng thoả mãn đẳng thức x+y= 10
Tìm các giá trị của x; y để P=(x4+1)(y4+1) đặt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 3: Giải hệ phơng trình
=
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
0 ) ( ) ( ) (
0
2 2
z z
y
y y
x x
x z
z z y
y y x x
Bài 4: Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đờng tròn (O;R).với BC=a , AC=b ,AB=c lấy điểm I bất
kỳ ở phía trong ∆ABC và gọi x;y;z lần lợt là khoảng cách từ I đến cạnh BC; AC;AB của tam giác Chứng minh rằng
R
c b a z y x
2
2 2
2 + +
≤ + +
Bài 5; Cho tập hợp P gồm 10 điểm trong đó có một số cặp đợc nối với nhau bằng đoạn thẳng
Số các đoạn thẳng có trong tập P nối từ điểm A đến các điểm khác gọi là bậc của điểm A Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm đợc 2 điểm trong tập P có cùng bậc
Trang 3
Đề:4 Bài 1: Rút gọn biểu thức
a) P=
n m
mn n
m n m
n m
+
+ + +
−
với mọi m;n ≥ 0 ; m≠n
b) Q=
b a
b a ab
ab b a
+
−
− :
2 2
với mọi a>0; b>0
Bài 2: Giải phơng trình 6 −x + x− 2 = 2
Bài 3: Cho các đờng thẳng (d1): y=2x+2 (d2): y=-x+2 (d3): y=mx ( m là tham số) a) Tìm toạ độ các giao điểm A;B;C theo thứ tự của (d1) với (d2) ; (d1)với trục hòanh và (d2) với trục hoành
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d3)cắt cả 2 đờng thẳng (d1); (d2)
c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d3)cắt cả 2 tia AB và AC
Bài 4; Cho ∆ABC đều nội tiếp trong đờng tròn (O), D là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A.Trên tia AD lấy điểm E sao cho AE=DC
a) Chứng minh ∆ABE =∆CBD
b) Xác định vị trí D sao cho tổng DA+DB+DC lớn nhất
Bài 5: Tìm x; y dơng thoả mãn
= + +
= +
5
1 ) (
8
1
4 4
xy y x
y x
Đề: 5
Bài 1: 1) Rút gọn biểu thức P=
x x x x
x x
+
−
1 :
1
2 (0,5đ) 2) Chứng minh rằng )
1
1 1 ( 2
1 ) 1 (
1
2
2 + n+ < n −n+
Ap dụng chứng tỏ rằng:
2
1 2007 2006
1
13
1 5
1
2
+ +
+
Bài 2: 1)Giải hệ phơng trình
=
− +
−
=
− +
−
y x
y y x
xy x
y y
x
2 )
1 ( ) 1 (
1 1
(1đ)
2) Cho xy=1 và x>y Chứng minh rằng 2 2
2 2
≥
−
+
y x
y x
(0,75đ)
Bài 3: 1) Tìm m để phơng trình (m+1) x2 -3mx+4m =0 có nghiệm dơng (1đ)
2) Giải phơng trình x2+3x +1=(x+3) x2 +1 (1đ)
Bài 4: (4đ) Cho hình vuông ABCD ; M là điểm thay đổi trên cạnh BC ( M không trùng B )và N
điểm thay đổi trên cạnh DC ( N không trùng D ) sao cho ∠MAN=∠MAB+∠NAD
1) BD cắt AN và AM tơng ứng tại P và Q Chứng minh rằng 5 điểm P,Q,M,C,n cùng
nằm trên một đờng tròn
2) Chứng minh rằng MN luôntiếp xúc với một đờng tròn cố định khi M và N thay đổi
3)Gọi diện tích tam giác APQ là S1 và diện tích tứ giác PQMN là S2 c/m rằng
2
1
S S
không đổi
Trang 4Bài 5: Cho a;b;clà độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng phơng trình
x2 +(a+b+c) x+ ab+bc+ca =0 vô nghiệm (1đ)
Đề : 6
Bài 1:(2đ) Cho biểu thức P= x(
1 1
) 1
1 1
−
− +
+ +
− + +
+
x x x x
x
x x x
a)Rút gọn P
b)Tìm các số nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên
Bài 2:(2đ) Trong 1 hệ trục toạ độ Oxy cho parabol y=x2 (P) và đờng thẳng y=2(m-1)x+m+1 (d) a)Khi m=3 Tìm hoành độ giao điểm của (d) và (P)
b)Chứng minh rằng đờng thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi m c)Giả sử đờng thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2)
Tìm m sao cho thoả mãn x1y2 + x2y1=1
Bài 3:(3đ) Cho nửa đờng tròn (O;R) ,đờng kính AB=2R, gọi C là điểm chính giữa của cung AB,
M thuộc cung AC (M≠ A và C ).Kẻ tiếp tuyến (d) của (O;R) tại M ; Gọi H là giao điểm của
BM và OC Từ H kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng thẳng đó cắt (d) tại E
1)Chứng minh tứ giác OHME nội tiếp đợc một đờng tròn
2)Chứng minh EH =R
3)Kẻ MK ⊥OC tại K.Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp ∆OBC luôn đi qua tâm đờng
tròn nội tiếp ∆OMK
Bài 4: a) Giải hệ phơng trình (1đ)
−
= + +
+ +
= + +
4 3
) 1 )(
1 ( 4 2
xy y x
y x y
x
b) Giải phơng trình (1đ) 8 x(x2 + 1 ) =3(x2-x+1)
Bài 5:(1đ) Cho 2 số x;y thay đổi thoả mãn x2+y ≥1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M=y2+(x2+2)2
Trang 5Đề: 7
Câu 1: (2,5đ)
1)Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có :
1 2
1 1
+
>
− +
n n
n
6
1 5
1 4
1 3
1 2
1
−
<
+ + + +
4
1 5
2 − x+ + x −x+ = − x + x−
x
Câu 2: (2,0đ) Cho đờng tròn (I;r) nội tiếp ∆ABC, với A’;B’;C’ theo thứ tự là các tiếp điểm trên các cạnh BC;AC;AB
1)Kí hiệu góc ACB là C , chứng minh 2r=(BC+CA-AB)=tg
2
C
2)Giả sử điểm M di động trên cung nhỏ B’C’ của đờng tròn (I;r) sao cho M khác B’và C’ Tiếp tuyến tại tiếp điểm M của đờng tròn (I;r) cắt AB’ và AC’ thứ tự tại E và F.Đờng thẳng B’C’ cắt IE và IF theo thứ tự tại P và Q.Chứng minh rằng tỉ số
EF
PQ
có giá trị không đổi
Câu 3: (1,5đ) Cho đờng tròn (O;R) và 2 điểm phân biệt A;B cố định nằm trên đờng tròn (O;R)
sao cho đờng thẳng AB không đi qua tâm O Gọi d và d’ theo thứ tự là tiếp tuyến của (O;R) tại các tiếp điểm A và B.Điểm M thay đổi trên cung nhỏ AB của (O;R) sao cho M≠A và B
Kẻ MH⊥d ; Kẻ MK⊥d’.Hãy tìm vị trí của M để
Mk MH
1
1 + đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 4: (2,0đ) Cho phơng trình a x2 +bx +c =0 (1) trong đó a;b;c là các hệ số ; ac≠0
1) Khi a=1 , hãy tìm b và c là các số nguyên để phơng trình (1) nhận x=2-2 3 là nghiệm 2)Giả sử phơng trình (1) nhận x=k là một nghiệm Chứng minh rằng tồn tại số thực d để phơng trình a3x2 +dx+c3 =0 nhận x=k3 là nghiệm
Câu 5: (2,0đ)
1) Cho các số dơng a;b thoả mãn a+ b ≥ 2 Chứng minh rằng : a3 + b3 ≥a+b
2)Tìm tất cả các bộ số thực x;y;z thoả mãn hệ sau
= +
= +
= +
x x
z
z z
y
y y
x
) 1 (
) 1 (
) 1 (
2 2 2
Trang 6
Đề: 8
Bài 1: (3,5đ)
1) Tính giá trị biểu thức P= 4+2 3− 12+6 3
2)Cho biểu thức C=
1 1
1 1
−
− + +
−
+
−
x x x x
x
a) Rút gọn C
b)Tìm x để C>0
c) Tính giá trị biểu thức C khi x=
7 2 9
53
−
Bài 2;(1,5đ) Cho hệ phơng trình
−
−
=
−
=
−
1 2
2
m y x
m y mx
a) Giải hệ phơng trình khi m =-2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x-y=1
Bài 3; :(1,5đ)Cho phơng trình x2 – (m -1)x – m 2+m - 2=0
a) Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện x12+x22
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4: (3,5 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A (AB>AC) đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng có bờ là
BC chứa đỉnh A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E và vẽ nửa đờng tròn đờng kính CH cắt AC tại F
a)Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đợc
c) Chứng minh FE là tiếp tuyến chung của 2 nửa đờng tròn
Đề : 9
Bài 1:(2đ) Cho biểu thức M = 2 1
1
2
+
+
− +
−
+
x
x x x
x
x x
a, Rút gọn M
b,Tìm x đẻ M=2
d,Tìm x đẻ M có giá trị nhỏ nhất
Bài 2: ( 2,5đ) Cho Parabol (P): y=
4
2
x
− và điểm M (1;-2)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (D) có hệ số góc m , tiếp xúc Parabol (P) và đi qua M
b) Chứng tỏ đờng thẳng (D) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B khi
m thay đổi
c) Giả sử x1;x2 lần lợt là hoành độ của A và B Xác định m sao cho E=x12.x2+x1.x22 đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
Bài 3: (1đ) Giải phơng trình x2 − 2x+ 1 = 6 + 4 2 − 6 − 4 2
Bài 4: (3,5 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A Trên cạnh AC lấy điểm D ,vẽ đờng tròn (O) đờng
kính CD , đờng tròn đờng kính BC cắt (O)tại E , AE cắt (O) tại F
Trang 7b) c/m ∠ACB =∠ACF
c) Lấy điểm M đối xứng với D qua A, điểm N đối xứng với D qua dờng thẳng BC c/m tứ giác BMCN nội tiếp đợc trong một đờng tròn
d) Xác định vị trí của D để đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có bán kình nhỏ nhất
Đề
: 10
Bài 1:(2,5đ)
1) Tính giá trị biểu thức A = 1
2 2 3
1 2
2 3
1
− +
−
−
2) Cho biểu thức B = ( x
1
3
) : 1 − +1
3
2
x với -1<x<1
a, Rút gọn B
b,Tính giá tri của B khi x= 4 2 − 5
Bài 2: ( 2đ) Cho Parabol (P): y= x2 và đờng thẳng (d) : y= 2m x+m2 +1
a) Chứng tỏ đờng thẳng (D) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B khi
m thay đổi
b) Giả sử x1;x2 lần lợt là hoành độ của A và B Xác định m sao cho 25
1
2 2
1 + = −
x
x x x
Bài 3: (1đ) Giải phơng trình 1 −x + 4 +x = 3
Bài 4 :(1,5đ)Cho phơng trình (m-1)x2 – 2(m +1)x +m =0 (1)
a) Giải và biện luận phơng trình theo m
b) Khi phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1;x2
b1 ) Tìm m để x1 −x2 ≥2
b2) Tìm một hệ thức liên quan giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài 4 :(3,đ) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ; điểm E,D là giao điểm của tia phân giác trong và
ngoài góc B và C ; ED cát BC ở I cắt cung nhỏ BC ở M C/m
a)3 điểm A ,E,D thẳng hàng
b) Tứ giác BECD nội tiếp
c) Các tam giác BEM , MBD cân tại M và M là trung điểm của ED
Trang 8
Đề :11
Bài 1: (3đ) 1)Tính giá trị biểu thức M= ( 6 11)
6 3
12 2
6
4 1 6
−
−
−
+
2) Cho biểu thức A=
x
x x
x x
x
x
+
+
−
−
− +
− +
−
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
a, Rút gọn A
b, Tìm gía trị của x để A=0,5
c, Tìm x để A nhận giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 2: (2,5đ)
Cho Parabol (P): y=x2
a)Gọi A và B là 2 điểm thuộc (P) lần lợt có hoành độ là -1 và 2.C/m ∆OAB vuông tại A
b)Viết phơng trình đờng thẳng (d1) // AB và tiếp xúc với (P)
c)Cho đờng thẳng (d2) : y=mx+1 (với m là tham số )
+C/m rằng đờng thẳng (d2) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
+Tìm m sao cho đờng thẳng (d2)cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là x1 và
x2 thoả mãn 2
2
2 1
1 1
x
Bài 3(1,5đ); 2 đội công nhân làm chung 1 công việc d định xong trong 12 ngày họ làm chung với
nhau 8 ngày thì đội 1 nghỉ đội 2 làm tiếp với năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã hoàn thành phần việc còn lại trong 3 ngày rỡi Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội phải làm trong bao lâu thì xong công việc trên?
Bài4:(3đ) Cho tam giác ABC nhọn , góc A =450 các đờng cao BD,CE cắt nhau tại H C/m
a) Tứ giác ADHE;BEDC nội tiếp
b) HD=DC
c) Tính tỉ số
BC DE
d) Gọi O là tâm đ/tr ngoại tiếp tam giác ABC C/M rằng OA ⊥DE
c) BEDC nội tiếp
=>DEC=DBC
Mà AEH=AED+ DEC =900 => AED=DCB (1)
DCB + DBC =900
Mà A chung => ∆AED=∆ACB (gg)
=>
AC
AE BC
Mà AE=AC Sin 450 =>AC=AE:
2
2 =AE
2 2
AC
AE
BC
ED
2
2
AE
AE
=
2 2
A
D E
H