Kết luận: Giá trị lớn nhất của pAMC là AM,Co đạt được khi À/ là điểm xuyên tâm đối của 4 đối với đường tròn Ó.. Gọi C la diém tuy ý trên nửa đường tròn, Ð là hình chiếu vuông góc của C
Trang 1ĐỀ THỊ TUYẾN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN VÀ THPT HÀ NỘI - AMSTERDAM
1) Giải bất phương trinh voi m = 1-2V2
2) Tìm m để bắt phương trình nhận mọi giá trị
x> 1 langhiém
Bài 3 (2 điểm)
Trong mặt phăng tọa độ Øxy cho đường thăng
(d) : 2x - y— a’ = 0 và parabol (P): y = ax”
(a là tham số đương)
1) Tìm a để (4) cắt (P) tại hai điểm ,phân biệt
A, B Chứng minh rằng khi đó 4 8 nằm vẻ bên
/ là điểm chính giữa cung lớn 48 Lấy điểm M bat kì trên cung lớn 47, dựng tia Ax vuông góc với đường thẳng A⁄/ tại và cắt BM tại C
1) Chứng minh các tam giác 4F? và AA4C là
tam giác cân
2) Khi điểm A⁄ di động trên cung lớn 4Ø chứng minh rằng điểm € đi chuyển trên một
cung tròn cố định
3) Xác định vị trí của diém M dé chu vi tam
giac AMC dat gia trj lon nhat
(sina + cosa) =| + sinổ
NGÀY THU HAI
(Danh cho thi sinh thi vao chuyén Todn — Tìn Thời gian lam bai : 150 phit)
Bai 6 (2 diém)
Cho P = (a+b)(b+c)(cta) — abe vGi a b,c la
cac số nguyên Chứng mình rằng nếu atb+c
chia hết cho 4 thì ? chia hết cho 4
Bài 7 (2 điểm)
Cho hệ phương trình
(x+y)? +13 =6x7 y? +m
xy(x? + y`)=m
1) Giai hé phương trình với mm = —l 0
2) Chứng minh rang không ton tại giá trị của
m đê hệ có nghiệm duy nhất
Cho tam giác 4BC, lay ba diém D, E F theo
thứ tự trên các cạnh BC CA AB sao cho AEDF
là tứ giác nội tiếp Trên tia 4D lấy điểm P (D nằm giữa 4 và P) sao cho D4.DP = DB.DC I) Chứng minh rằng tử giác ABPC nội tiếp
và hai tam giác DE£Ƒ, PCB đồng dạng với nhau 2) Goi S va ®' lần lượt là điện tích hai tam
gidc ABC va DEF Chimg minh: >< (EEY
Trang 2LỜI GIẢI ĐỀ THỊ VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN VÀ THPT HÀ NỘI - AMSTERDAM
thị hàm số này là một đường thăng nên dé BPT
(1) ding voi moi x > 1 thi
'3m—4>0
c- (#()=m-3>0
Bai 3 1) PT hoanh độ giao điểm của đường
thang (d) va parabol (P) co dang
Đường thăng (đ) cắt (P) tại hai điểm phân
biệt 4, Ø khi và chỉ khi
>0
‹>0<a<]
A'=1-a3 >0
Lúc đó nêu gọi ø, v lần lượt là hoanh dé cua A
và B thi theo định lí Việte cho PT (1) ta có
m 3 3
2 tứ+y =—>0
a uvea>0
suy ra 4, nằm về bên phải trục tung (đpem)
có nghiệm trong & ; a}
2) Tir ket qua 1) ta có
AAJB can tại 7
e Néu M thudc
cung /4 (không chứa Ø) thì CMH =IMB
Từ (1), (2) suy ra tam giác AMC can tai M
e Nếu Ä⁄ thuộc cung /8 (không chứa A) thì lập
luận tuong ty cing c6 AAMC can tai M
2) Từ kết quả câu l) suy ra /4 = IC, ma JA không đôi nên C' năm trên đường tròn tam / ban
kính 74 Khi ă « A thi C s 4, còn khi Ä/ < 8 thì
C = C; (trong do C; la giao điểm của đường thăng qua 4 vuông góc voi /B voi đường tròn tâm / bán kính /4) Do đó khi ÂZ chuyên động
trên cung lớn AB thi diém € chuyển động trên
cung AC; (dpcm)
3) Gia sir C, là giao điểm của 4/ với đườn
tron tam /, bán kính JA, con Mp la diém đôi xứng của 4 qua O Nhan xét rang, khi tia Ax tring voi tia A/ thi M tring Mp, lic 46 B, Mo, Co thang hang Tir mdi lién hệ giữa độ dài dây cung va d6 dai duéng kinh ta c6 AM < AM),
|
Vậy PT (2) có nghiệm duy nhất x = - _
Trang 4AC < ÁCo Kí hiệu (29) là chu vi hình 2 thi
p(41MC)< p(AMC)n)
Kết luận: Giá trị lớn nhất của p(AMC) là
AM,Co) đạt được khi À/ là điểm xuyên tâm
đối của 4 đối với đường tròn (Ó)
Từ (1), (2) suy ra sin = 2sina.cosa, dan dén
| + sinB = (sina + cosa)’ (đpcm)
NGÀY THỨ HAI Bai 6 Dat T = atbtc, lúc đó
P =(T-a\T-b\(T-c) -— abe
= (ab+bc+ca)T - 2abc (l)
Vị 7 chia hết cho 4 nên trong ba số a, b, e có
ít nhất một số chẵn Từ (1) suy ra P chia hết cho
(tir (3) ta thay v <0), Voi v = -2 thi w= 1, dan
đến x+y = | hode x+y = -]
Giải các hệ im | ` en
xy =-2 y =-2 đến kết luận hệ đã cho Ứng với = -lÚ có
nghiệm (x, w) là (—1, 2), (2, =1), (1, -2), (-2, 1)
2) Nếu (x, y) là nghiệm của hệ thì (—x, -y)
cũng là nghiệm của hệ đó Do đó hệ có nghiệm
duy nhất thi x = y = 0 Thay x = y = Ö vào hệ ta
gặp điều mâu thuẫn Vậy không có giá trị nào
của m đề hệ bcó nghiệm duy nề
DB DA
kết hợp với
BDP = ADC
ta có ABDP ~ AADC,
dan dén
DPB=DCA
Suy ra tứ giác 4BPC
nội tiếp
Vì các tứ giác 4EDF và 4BPC nội tiếp nên
DEF =DAF =BCP:; DFEE= DAE =CBP
Từ đây suy ra ADEP œ APCB (đpcm)
QUACH VAN GIANG
(GV THPT Chu Van An, Hat Noi
Sưu tắm và giới thiệu)
Vậy PT (2) có nghiệm duy nhất x = - :
Trang 5De thi sinh ube lip 70
" chuyén AMSTERDAM va THPT CHU VAN AN, Ha Nội
NAM HOC 2006 - 2007 2
(Thời gian làm bài : 150 phút) Bai 1 (2 điểm)
Cho phương trình an x
»t
: -@a+p#—
L) Giải phuong trinh (*) khi a= 1
2) Tim a dé phương trinh cé nhiéu hon hai
nghiém duong phan biét
Bài 2 (2 điểm)
Cho dãy các số tự nhiên 2, 6, 30, 210, „ được
xác định như sau: Số hạng xi È lv tích k SỐ
nguyên tổ đầu tiên (k = 1, 2, 3, „ ) Biết rằng
tôn tại hai số hạng của dây số có hiệu bảng
Cho nửa đường tròn đường kính 48 = 2Â Gọi
C la diém tuy ý trên nửa đường tròn, Ð là hình
chiếu vuông góc của C trên 47 Tia phân giác
góc ACD cắt đường tròn đường kính 4C tại
điểm thứ hai là EF, cắt tia phân giác góc 4B8€
tại /1
1) Chứng mình AE // BH
2) Tia phân giác goc CAB cat đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là # cắt CE tại / Tính điện tích tam giác #/D trong trường hợp tam giác đó là đều
3) Trên đoạn BH lấy điểm K sao cho
HK = HD, gọi J la giao điềm của AF và BH
Xác định vị trí của C đề tông các khoảng cách
Trang 6Đề thi vào chuyên toán ĐHSPTPHCM năm nay((@ ® Thu Jun 12, 2008 9:12 pm
Câu 3: 3 s nguyên dương œ,b,c đôi một khác nhau và thủa mãn đồng thời các điều kiện:
ø là ước của b c-Lbec
ii) b là ức của ø-Ec-+œc
ii) c là ức của œ-Lb-Løœb
1 Hãy chỉ ra 1 bộ ba s (a;Š;€) thỏa mãn các đk trên
2 CMR a,b,c ko thé đồng thời là các số nguyên tố
Cầu 4:
Cho tam qiác 4 8Œ Một đường tròn (C) di qua cac diém A,B va cat cac canh CA, ,CBtai DIN t/uCZ, khac Œ,N khác B và C) MT là tđ của cụng Ƒ,JV của (C)va Jf nam trong tam giac A BC Buting thang Ay
cac duting thang RY, va BIN tại các điểm D và #' tả, đg` thẳng BM rắt các đg` thẳng AN và aL tại các điểm E v:
táư,P là qian điểm cua A ova BYE
1.CM: DE/JGEF
2 Néu t/g JORUR'G là hình hình hành, hãy CMI:
a Tam giác 4 7,Ð đồng dạng với tam giác ANC
h 2£"! vuông qúc với 7Œ
Cầu 5:
Cha 13 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên cạnh 1 tam giác đều có cạnh bang Gem CMR ludn tin tai 2 diém tronc điểm đã ch: mà khoảng cách giữa chúng kn vượt quá 3 cm
Kinh khung hon ca PINK@@
Goi y: Bai 5 chia ra 4 tam giac nho->diriclé->chia tip thành 3 hình nhỏ->diriclê lân nữa là
xong
Bai 3b CM b+c chia hết cho a=>bc chia hết cho a(vô lí)=>Ðpem
Trang 7DE THI VAG WGP 10 THPT CHUNEN NEUNEN TRAY, AN DUONG
NAM HOC 2007 - 2008 (Tho gian lam bai: 150 phiit) Cau 1 (2 diém)
1) Goi ala nghiệm dương của phương trình
(V2)x)+x—1=0 Không giải phương trình
hãy tính giá trị của biểu thức
1) Cho a b, c là các số dương thoả mãn dang
thite a2 +b? -ub=c? Chimg minh rằng phương
trình xˆ-2x+(z—c)(b—c)=0 có hai nghiệm
phân biệt
2) Cho phương trình x°—x+::0 có hai nghiệm
đương xị và x; Xác định giá trị của p khi
vử +xỶ — vỷ — vị đạt giá trị lớn nhất
Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), hai
đường cao 8Ð và CE cát nhau tại # (Ð trên cạnh AC, £ trên cạnh 4Ø) Gọi / là trung điểm
của 8C, đường tròn đi qua B, £, ƒ và đường
tròn đi qua C, D, J cat nhau tai K (K khác /) 1) Ching minh rang BDK =CEK ;
2) Duong thang DE cat BC tai M Chitng minh
ba diém M, H, K thang hang;
3) Chứng minh tứ giác BKDM là tứ giác nội tiếp Cau 5 (1 diém)
Cho 19 điểm trong đó không có ba điểm nào
thắng hàng nảm trong một lục giác đều có cạnh bằng I Chứng minh rằng luôn tồn tại
một tam giác có ít nhất một góc không lớn hơn 45" và nằm trong đường tròn có bán kính nhỏ hơn : (đỉnh của tam giác tạo bởi 3 trong
19 điểm đã cho)
NGUYEN BA DANG (Sở GD-ĐT Hỏi Dương) giới thiệu
Trang 8SỐ (Y; Y) và (1; V5) ta được P” = (x- vấy)
< 36, hay -6 <P <6
Kết luận: mìnP = -6, khi (v¡ vì = (-]; IS):
maxP = 6, khi (+: y)= (; V5) Cau 4 (h 1) a) Tacé C'A'H=C' BH=B CH
có BKC=BAC = 60"
Hình 1 nên BK = KC =OA (2)
Tit (1) va (2) suy ra AH = OA
Trang 990", hay NK 1 AC Suy ra NH//OM Tuong tu
MHION Do dé ttt gidc OMHN 1a hinh binh
hanh ; suy ra M, N, P thang hang
Cau 9 Bo dé Cho AABC và M, N 1a hai điểm tuỳ ý trong tam giác Khi đó
với B hoac C thi hién nhiên có (1)
Nếu A, khác B, C thi trong hai góc AAIB và
AAIC có một góc > 90", giả sử đó là AAC
Khi dé MN < AA, < AC nén suy ra (1)
i) Néu dudng thang MN khong di qua dinh
nào của AAðC thì nó cat AB, BC lần lượt tại
Tro lai Bai todn: Bang cách nối ba trung điểm
của ba cạnh của tam giác dã cho ta thu được bốn tam giác bảng nhau và môi tam giác đều
có cạnh lớn nhất bang |
Vì có năm điểm phản vào bốn tam giác nên
tồn tại một tam giác chứa ít nhất hai điểm (nguyên lí Dirichlet) Theo bố đề trên ta có khoảng cách giữa hai điểm này không vượt qua |
LE QUOC HAN - LE XUAN SON (DH Vinh)
Suu tam va gidi thiéu
Trang 10
VŨ ĐÌNH HÒA (CV Trường ĐHSP Hè Nội)
LTS Kì thì chọn học sinh giới Quốc gia môn toán THPT năm học 2006-2007 được
tiến hành vào ngày 81212007 Hình thức thị năm nay có thay đối sơ với các năm trước Trong buốt thị, mỗi thí xinh phải giải 7 bài toán trong thời gian là !80 phát
Điểm tới đa cho bai thi la 20 điểm Sau đây là đáp án các bài toán thủ
Câu 1 (2 diém)
Giải hệ phương trình
Lời giai Điều kiện v>0,y>0;y+3x #0
Hệ PT đã cho tương đương với
minh rang x*y" — | chia hét cho x + 1
Lời giải Ta chitng minh y*—-1 chia hết cho
Vay y+ —1 chia hét cho x+1
Ti do xty" -1l=x4(y4 -1)4x4-1 chia hết cho x+1 (doy! —1 chia hét cho y*
no chia hét cho x+I va x*-1 chia hết cho
x +1)
~—1 nên
Cau 3 (3 diém)
Cho tam gidc ABC cé hai dinh B, C cố định và
dinh A thay đổi Gọi H, GŒ lần lượt là trực tâm
và trong tam của tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A, biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC
Trang 11độ là B(—zø ; 0): C(z ; O0) Giả sử A(x¿ : ya)(y # 0)
Khi đó toạ độ trực tâm # là nghiệm của hệ
K thuộc đường thang BC khi va chi khi
3aˆ - 3x + yạ =<© a =] (với yy #0)
Cho một da giác đều 2007 đỉnh Tùn xố nguyên
dương k nhỏ nhất thoa mãn tính chất: Trong
modi cách chọn k dink cua đa giác luôn tồn tại
4 đỉnh tạo thành một tứ giác lồi mà 3 trong số
4 cạnh của nó là 3 cạnh của đa giác đã cho
Lời giải
Gọi các đỉnh của đa giác đều đã cho 1a A,, A),
Asay
Chú ý rằng tứ giác (tạo nên từ 4 trong số các
dinh của da giác) có 3 cạnh là 3 cạnh của đa
giác khi và chỉ khi 4 đính của tứ giác đó là 4 dinh liên tiếp của đa giác
Gọi A là tập các đỉnh: {A¿, 4¿, A;, As, Ags Arse
Aas: Asous} (bo di cac dinh Ay; ` [ = 1, s.ớ 501
và A;„;) Kí hiệu |A| là số phần tử của tap A
Hiển nhiên |A| = 1505 và trong A không chứa
4 đỉnh liên tiếp nào của đa giác Dễ thấy, mọi tập con của A đều không chứa 4 đỉnh liên tiếp của da giác Vậy k > I506 Ta sẽ chứng minh mọi cách chọn 1506 đỉnh tùy ý của đa giác thì
sẽ tồn tại 4 đỉnh liên tiếp của đa giác trong
I506 đỉnh đó Thật vậy, giả sử 7 là một tập gồm 1506 dinh tuỳ ý của da giác Phân hoạch tập các đỉnh của đa giác thành các tập hợp
B={A, A›, Áy, Aq};
B,={As, Ag, A:, Ay);
Bo=lAruers Adoory Azzs Arnos 4 B.u„;= { AxasAronn-A 207 bi
Gia su T khéng chita 4 dinh lién tiếp của đa giác Lúc đó với mỗi /=1, ,501, tap B, khong thuộc 7, tức là mỗi tập ÖB, đó sẽ có ít nhất một
đỉnh không thuộc 7 Khi đó |7|< 3 x 502 =
1506 Do |7|=1506 nên B„; c 7 và mỗi tập
B, (i=[, ,501) có đúng 3 phần tử thuộc T
Ta C6 Axuos, Anes Army € T suy ra A, ¢ T
=> Aj, AA, € T > Ay € T = Ag, Az, Ay ET
=> Azmi, Arnos Arong € T
Khi đó 4 định liên tiếp Aas Aaonas Azxwas Ass
thuộc 7, mâu thuần
Vậy k = 1506
Lưu ý Có thể giải ngắn gọn hơn bảng cách
xét 2007 - 1506 = 501 điểm còn lại cha đường
tròn ngoại tiếp đa giác đều đã cho không quá SOI cứng tà phải có một củng trong chúng
; 1506 S55520360000A055
chứa không ít hơn soi" 3 dinh lién tiép
(Ki sau đăng tiếp)
Trang 12Dé thi tuyển sinh uào lớp 10 TRƯỜNG THPT CHUYEN LE QUÝ DON, DA NANG
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức A có
nghĩa Với điều kiện đó, hãy rút gọn biểu thức A
b) Xác định tất ca cdc gid tri cha a để hệ có
nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y > 0
Bài 3 (1 điểm) Giải bất phương trình
nghiệm với mọi giá trị của zr
c) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x, và x;, hãy tính theo z giá
trị của biểu thức B = 10xịx; —3(x? + x3) Tim
m để B = 0
Bai 5 (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCÐ có
AB = lcm Goi M và N là các điểm lần lượt di động trên các cạnh BC và CD của hình vuÔng,
P là điểm nằm trên tia đối của tia BC sao cho
BP = DN
a) Chứng minh rằng tứ giác ANCP nội tiếp được trong một đường tròn
b) Gia si’ DN = x cm (0 < x < 1) Tính theo x độ
dai duéng tron ngoai tiép tir gidc ANCP
c) Chimg minh rang MAN = 45° khi va chi khi
MP = MN
d) Khi M và N di động trên các cạnh BC và CD sao cho MAN = 45°, tim giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MAN
hai nghiệm (phân biệt) của phương trình
x2 ~ar-— =0 Chứng minh ring +c4>2+,/2,
b) Với những giá trị nào của các tham số m, n
thi ham s6 y = mx + nlxl đồng biến trên 2
Bai 8 (2 diém)
a) Cho phương trình x? -—2mx+m?-1=0
(m là tham số, x là ẩn số) Tìm tất cả các giá trị
nguyên của : để phương trình có hai nghiệm x,
và x; thỏa mãn điều kiện 2000 < x, < x; < 2007
b) Cho a, b, c,d € R Ching minh rang it nhat
một trong bốn phương trình sau có nghiệm:
ax? +2bx+c=0, bx? +2ex+d=0,
cx? +2dx+a=0, dx? +2ax+b=0
Hãy tổng quát hóa bài toán
Bai 9 (2 diém) Cho m,n, p,q ¢ Z;n>0,q>0
NGUYEN DUY THÁI SƠN - VÕ HONG TIẾN
(Da Nang)
Trang 13eeesee LỜI GIẢI ĐỀ THỊ VÀO LỚP 10 eeoees
tung phd thing wing khicu D4 Que gia TR fo Chi Wink
năm học 2007-2008
MON TOAN AB
(Đề thì đăng trên THTT số 361, tháng 7 năm 2007)
Câu 1 a) DK m = 0 Ta thay x = -1 la mét
nghigm cia PT (1) khi m+2V¥m-1=0 ©
m= 3 — 2AÍ2 (lưu ý điều kiện m 2 0)
b) PT(1) vô nghiệm khi và chỉ khi PT
suyra y> x (mâu thuẫn)
Vậy không xảy ra x > y Tương tự cũng
không xảy khả năng y > x Do đó x = y Tóm
lại, hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) là (1 ; 1)
Câu 3 a) Ta có a” - 3aö + 2b + a- b=0
5 aC „ nên tam giác
20x x 6 = 120x (sản phẩm)
Số công nhân tô A sau khi tăng thêm I0 người
là x + 10 Khi đó mỗi ngày tổ Á may được 20(x + 10) (sản phẩm)
Số sản phẩm mà tổ A phải may (sau khi đã may được 6 ngày) là 16800 - 120x
Thời gian may số sàn phẩm này là
ẽ ĐI 20(x +10) (ngày)
oe ty 20(x +10) 20y
Tacó PT
Giải hệ PT (1) và (2) ta tìm được x = 50, y = 55
Vậy số công nhân ban đầu của tô A là 50, tổ B
là 5Š.
Trang 14BE THI VAO LOP 10 TRUONG: PHO THONG WANE: KHIEU
DAI HOC 9 CHI MINH
MÔN TOÁN AB (dành cho các lób chuyên Toán, Tïn, Lí, Hóa, Sinh)
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 Cho phương trình
x? —2xVm + 2Vm(Vm +1)-3 _ 4
(1) x-l
a) Tim m để x = —I là một nghiệm của phương
trình (1)
b) Tìm m để phương trình (I) vô nghiệm
Câu 2 a) Giải bất phương trình
|(x+3Xx—l)|-2|x—I|<x?—7
b) Giải hệ phương trình
xy +2yVx =3xV2x-1
yvx + 2x,/y =3y,/2y-1
Câu 3 a) Cho a, ở là hai số thực thỏa mãn
Câu 4 Cho tam giác 48C nhọn có trực tâm là
H va BAC = 60° Gọi M, N, P lần lượt là chân các đường cao kẻ từ 4, Ö, C của tam gidc ABC
và / là trung điểm của BC
a) Chứng minh rằng tam giác /NP đều
b) Goi E va K lan vie trung điểm của PB
bắt đầu thực hiện công việc cùng một lúc Nếu
sau sáu ngày, tô A được hỗ trợ thêm 10 công
nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng
lúc với tổ B Nếu tổ A được hỗ trợ thêm 10
công nhân may ngay từ đầu thì họ sẽ hoàn
thành công việc sớm hơn tổ B một ngày Hã
xác định số công nhân ban đầu của mỗi td
Biết rằng mỗi công nhân mỗi ngày may được
20 sản phẩm
NGUYEN DUC TAN (TP Hồ Chí Minh)
sưu tầm và giới thiệu
Trang 15Lời giải để thi tuyển sinh vào lớp 1o
THPT CHUYÊN LƯƠNG THÊ VINH, ĐƠNG NAI
NAM HỌC 2006-2007 (Đề thi đăng trên THTT số 358, tháng 4 năm 2007)
Bài 1 1) Xét hai trường hợp
PT này cĩ nghiệm x = iT (thỏa mãn x < : )
Vậy PT đã cho cĩ hai nghiêm
PRR yeaa RY 10y? +22y+12=0
Hệ đã cho cé hai nghiém (x ; y) là
4 6
1; -1), | -=5-=]
ete ($$)
Bai 2 1) Nhan xét rang (d) di qua hai diém
(0 ; -4) va C(4 ; 0); (d,) di qua hai điểm
A(-2 ; 0) và (0; -l); (đ;) đi qua hai điểm
(0: 2) và Ø8 (1 ; 0) (h.1)
Nhân thấy (đ), (đ,) (4;) đồng quy tại /(2 ; -2)
Gọi D là hình chiếu vuơng gĩc của 7 lên
Bài 3 1) (h 2) Tam giác AQM cân tại @ nên 8 PAQ= AMQ Tương tự PNM =PMN và
2) Xét hai kha nang sau
i) NQ // AP hay N là trung điểm của 8C Lúc
dé MB = MC = (AB — AMY = MC* (véi 0 <
2 2
AM <AB) © AM = ““ẾT (với 0< AM <
AB) Khi đĩ 0 < AM < AB AC < AB Vậy trong khả năng này điều kiện cần tìm của tam giác AðC vuơng tại A là AC < AB ii) AQ//PN Lic nay AP = NỢ (do tứ giác APNO nội tiếp), suy ra 2(AM +M4P) = 2NQ
=> (AB + AM)’ = MC' (với 0 < AM < AB)
4 2
© AM = AC = 48" gi 0 < AM < AB)
Khi đĩ 0 < AM < AB > AB< AC < V3.AB
Kết luận: Điều kiện cần tìm là AC < AB hoac
AB< AC < J3.AB
Bài 4 Gọi / là giao điểm của AC va BD
Trong tam JAD cé AD < JA + 1D Tuong tu BC
< /B + IC Tit dé AD + BC < AC + BD (2) Theo gia thiét AC + AD < BC + BD (3) Cộng (2), (3) theo vế, ta thu được AD < BD
LƯƠNG QUANG DƯƠNG (Sở GD-ĐT Đĩng Ná) sưu tầm và giới thiệu
Trang 16LỜI GIẢI ĐỀ THỊ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYGR LAM SOR, THARH HOA
NAM HOC 2006-2007
(Đề thì đã đăng trén THTT sé 355, thang 1 ndm 2007) NGAY THU NHAT
suy ra x, = 1, x, = 3 Thay vao (1) duoc m = 3
(thỏa mãn điều kiện m < 4)
Bai 3 1) Khi m= 2, hé da cho trở thành
2) Dé thấy tứ giác A/CM là hình bình hành,
nên là trung điểm của AC, dẫn tới OK 1 AC
3) Từ điểu kiên AOK= 60°, ta co OK =
20A -508 Lai vi OK = 2PH nén BH = BO
Do đó A„„= 2006, đạt được khi (x ; y) = (I ; l)
Bài 8 Hệ đã cho tương đương với
x+y+z2=6 xiy+z=6 ()
xy+yz—zx=7 €& 4y(x+z)=9 (2)
xy+yz+zx=11 Xy+yz—zx=7 (3)
Từ (1), (2) ta thay y va x + z là hai nghiệm của
PT ? - 6t +9 =0 PT này có hai nghiệm ¡, = (;
= 3 Thay vào trên, ta có
y=3 x+z=3
zx=2 Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm (+ ; y ; z) là (;3;2)và(2;3; 1)
Bai 9 Dat f = yˆ + 3y thì (x - 2006)° = f + 2¡
Nếu r > 0 thì < + 2t < (+ 1)Ẻ
Do đó (+ - 2006)? không là số chính phương Vậy 1 <0, lic đó yỶ + 3y = y(y + 3) < 0 Vì y nguyên nên y e (0, =1, -2, -3] Vậy các cặp số nguyên (x ; y) cần tìm là (2006 ; -3), (2006; -2),
(2006 ; — 1), (2006 ; 0)
Bài 10 Giả sử K là giao điểm của PO và AB,
M là giao điểm của PO và CD (h 2) Do tứ giác AQPE nội tiếp nên AKAO œ2 AKPE
=> KE.KA = KP.KQ Tương tự có KF.KB =
KA KF KP.KQ Suy ra —-=—— (1)
Từ (1), (2), (3) s ( (2), (3) suy ——=—— 7 MG POI/AD @I/
Bài 11 /ướng đán: Chỉ cần chứng minh các
tam giác FAB va ECD can
PHAM NGOC QUANG (Sở GD- ĐT Thanh Hóa) giới thiệu
Trang 17De thi sinh ube lip 70
" chuyén AMSTERDAM va THPT CHU VAN AN, Ha Nội
NAM HOC 2006 - 2007 2
(Thời gian làm bài : 150 phút) Bai 1 (2 điểm)
Cho phương trình an x
»t
: -@a+p#—
L) Giải phuong trinh (*) khi a= 1
2) Tim a dé phương trinh cé nhiéu hon hai
nghiém duong phan biét
Bài 2 (2 điểm)
Cho dãy các số tự nhiên 2, 6, 30, 210, „ được
xác định như sau: Số hạng xi È lv tích k SỐ
nguyên tổ đầu tiên (k = 1, 2, 3, „ ) Biết rằng
tôn tại hai số hạng của dây số có hiệu bảng
Cho nửa đường tròn đường kính 48 = 2Â Gọi
C la diém tuy ý trên nửa đường tròn, Ð là hình
chiếu vuông góc của C trên 47 Tia phân giác
góc ACD cắt đường tròn đường kính 4C tại
điểm thứ hai là EF, cắt tia phân giác góc 4B8€
tại /1
1) Chứng mình AE // BH
2) Tia phân giác goc CAB cat đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là # cắt CE tại / Tính điện tích tam giác #/D trong trường hợp tam giác đó là đều
3) Trên đoạn BH lấy điểm K sao cho
HK = HD, gọi J la giao điềm của AF và BH
Xác định vị trí của C đề tông các khoảng cách
Trang 18LỜI @1ảI Đè ThL VàO LỚP ]0
Trường THPT chuyén Lam Son - Thanh Hod
e Nếu x + y - l =0 © y= l - x, thay vào PT
(1) ta được xỶ - x + I = 0 PT này vô nghiệm
Hệ đã cho có hai nghiém (1; |) và (2; 2)
Vậy PT (1) có hai nghiệm x = 0 va x = 2
2) PT đã cho tương đương với
e Nếu m > 1, PT (2) vô nghiệm, PT (3) có hai
nghiệm phân biệt
Bai 4 1) (Ban đọc tự vẽ hình)
Vi OM, ON lan lugt la cdc tia phân giác của
AOH va BOH nén MON = 90° (dpem) 2) Gid sit MON = 90° Từ M vẽ tiếp
tuyén voi (C) cat By tai N’ Theo cau 1, ta có
MON' = 90°, do đó N = N' Suy ra MN là tiếp
tuyến của (C)
3) Ta có MT A Me an: THIIBN, hay tir
IB NB HN giác HIBN 1a hinh thang Dé tir gidc nay ndi tiếp thì điều kiện cần và đủ là /⁄/8X là hình
thang cân, hay tam giác MNB can tai M Dung
MK 1 BN thi K là trung điểm của BN Dat
AB = 2R, AM = x, lic 46 NB = 2x Ding tinh
chất của tiếp tuyén ta tim duge MN = 3x Trong
tam giác vuông MNK có MA? = MK + NK° Từ
- #2 - #2
đó x= ~5—: Nghĩa la AM - Vậy (đ) cần