a Chứng minh rằng trung điểm M của BC luôn luôn thuộc một đường tròn cố định.. Chứng minh rằng độ dài 2R1R2 đoạn AH không lớn hơn R1 + R2 c Phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự n
Trang 1TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU, ĐHQG TPHCM Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2002 – 2003
Đề 1:
Câu 1: Cho phương trình:
x + 2 x – 1 - m2 + 6m – 11 = 0
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m
Câu 2: Cho hệ phương trình:
x+ y + m(x3 + 2x2 y + 2xy2 + y 3 ) = 1 – m
x y = - 6
Câu 3: Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD của hình chữ nhật ABCD
Biết rằng đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính bằng 8+2√3 và tồn tại điểm I thuộc đoạn MN sao cho góc DAI = 450, IDA = 300
a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD
b) Gọi K, H lần lượt là trọng tâm của các tam giác AID và BIC Tính diện tích tam giác NKH
Câu 4: Tam giác ABC có góc ABC =300 và góc ACB = 150 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB, OC a) Tính góc PON Chứng minh A, M, I thẳng hàng
b) Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN
Câu 5:
a) Tìm tất cả số thực a và b sao cho 2x + a = |bx + 5| với mọi số thực x
b) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực thỏa điều kiện :
| ax + b | + | cx + d | = | ex + f | với mọi số thực x Biết a, c và e khác 0, chứng minh rằng : ad = bc
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU, ĐHQG TPHCM Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2001 – 2002
Đề 2:
Câu 1:
a) Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho a chia hết cho 6 và 1000.a là số chính phương
b) Tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho ( b -1 ) không là bội của 9, b là bội của bốn số nguyên liên tiếp và 2002.a là số chính phương
Câu 2: Cho x, y là các số thực sao cho x + 1
y và y1 + x đều là số nguyên
a) Chứng minh rằng: x2y2 + 1 là số nguyên
x2 y2
b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: xnyn + 1 là số nguyên
xn yn
Trang 2Câu 3: a) Cho các số dương a,b thỏa mãn điểu kiện ab = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức A = ( a + b + 1 ) ( a2 + b2 ) + 4
a + b
b) Cho m, n là số nguyên thỏa mãn điều kiện: 1 + 1 = ⅓.Tìm giá trị lớn nhất của B = m.n 2m n
Câu 4: Cho 2 đường tròn ( C1) và ( C2) lần lượt có tâm O1, O2 và các bán kính tương ứng R1, R2 , hai đường tròn tròn này tiếp xúc ngoài với nhau tại A Hai điểm B, C lần lượt di động trên ( C1 ) và ( C2 ) sao cho góc BAC vuông
a) Chứng minh rằng trung điểm M của BC luôn luôn thuộc một đường tròn cố định b) Hạ AH vuông vuông góc BC Tìm tập hợp các điểm H Chứng minh rằng độ dài 2R1R2
đoạn AH không lớn hơn R1 + R2
c) Phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự như câu a) và câu b) trong trường hợp ( C1) và ( C2 ) tiếp xúc trong với nhau tại điểm A
Câu 5: Giải hệ phương trình:
x + y + x2 + y2 = 80
x + 1 + x + 3 + x + 5 = y – 1 + y -3 + y – 5
TRƯỜNG PTTH CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2000 – 2001
Câu 1: Chứng minh:
A + a + B + b + B + b + C + c C + c +A +a
A + a +B + b + c + d B + b + C + c + a + d C + c +A + a +b +d
Câu 2: Cho x, y > 0 và x + y ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = 1 + 2 + 4xy
x2 + y2 xy
Câu 3: Một số nguy6en dương N có đúng 12 ước số ( dương ) khác nahu kể cả chính
nó và 1, nhưng chỉ có 3 ước số nguyên tố khác nhau Giả sử tổng của các ước số nguyên tố là 20, tính giá trị nhỏ nhất có tểh có của N
Câu 4: Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa phương trình:
3x2 + 6y2 + 2z2 + 3y2z2 – 18x – 6 = 0
Câu 5: Diện tích tam giác ABC là 1 Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm BC, CA,
AB Trên các đoạn AB1, CA1, BC1 lần lượt chọn các điểm K, L, M Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích phần chung của hai ∆ KLM và ∆ A1B1C1
TRƯỜNG PTTH CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ( Ban A, B) năm học 2000 – 2001
Trang 3Câu 1: Cho phương trình : x2 – 2( m + 1)x + m2 -4m + 5 = 0 ( có ần số là x )
a) Định m để phương trình có nghiệm
b) Định m để phương trình có 2 nghiệm đều dương
Câu 2: Giải các phương trình và hệ phương trình:
a) x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0 b) x – y = 3
x3 – y3 = 9
Câu 3: Với a > 0, b > 0, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) ab + bc ≥ 2b b ) ab + bc + ca ≥ a +b + c
c a c a b
c) a3 + b3 + b3 + c3 + c3 + a3 ≥ a + b + c
2ab 2bc 2ca
Câu 4: Cho đường tròn ( O, R) có đường kính AB và một điểm C bất kì thuộc đường
tròn khác A và B Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cung nhỏ AC và CB
a) Kẻ ND vuông góc với AC ( D thuộc AC ) Chứng minh ND là tiếp tuyến của đường tròn ( O )
b) Gọi E là trung điểm của đoạn BC Đường thẳng OE cắt đường tròn ( O ) tại điểm K ( khác điểm N ) Chứng minh tứ giác ADEK là một hình bình hành
c) Chứng minh rằng khi C di chuyển trên đường tròn ( O ) thì MN luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
Câu 5: Cho hai tam giác ABC và DEF có các góc đều nhọn và có:
góc ABC = DEF, BAC = EDF, AB = 3DE
Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng ba lần bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
TRƯỜNG PTTH CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2000 – 2001
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên x thỏa: x3 + 8 = 7 8x + 1
Câu 2: Cho n là số nguyên dương Chứng minh ta luôn có bất đẳng thức:
1 + 2 + 3 +… + n 3
3 32 33 3n 4
Câu 3: Tìm tất cả các số thực x thỏa:
4 ( x-2) ( 4 – x) + 4 x -2 + 4 4 – x + 6x 4 3x ≤ x3 + 30
Câu 4: Cho các số thực dương a, b, c thỏa a2 + b2 + c2 = 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của S = a3 + b3 + c3
Câu 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn D là một điểm trên đoạn BC Đặt BC = a,
CA = b, AB =c, AD = d, DB = m, DC = n
1 Chứng minh : d2a = b2m+ c2n - amn
2 Cho biết AD là phân giác trong góc A Chứng minh: AD2 < AB.AC
Trang 4TRƯỜNG PTTH CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2004 – 2005
Câu 1: Giải hệ: 3 6 = -1
2x – y x + y
1 1 = 0
2x – y x + y
Câu 2: Cho x > 0 thỏa : x2 + 1 = 7 Tính x5 + 1
x2 x5
Câu 3: Giải phương trình: 3x = 3x + 1 - 1
3 x + 10
Câu 4:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 5x2 + 9x2 – 12xy + 24x – 48y + 82
b) Tìm các số nguyên x, y, z thỏa hệ : x + y + z = 3
x3 + y3 + z3 = 3
Câu 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O ( AB <
AC ) Vẽ đường tròn tâm I qua 2 điểm A, C cắt đoạn AB, BC lần lượt tại M, N Vẽ đường tròn tâm J qua 3 điểm B, M, N cắt đường tròn ( O ) tại điểm H ( khác B )
a) Chứng minh : OB vuông góc với MN
b ) Chứng minh: từ giác IOBJ là hình bình hành
c) Chứng minh : BH vuông góc với IH
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD Qua một điểm S trong hình bình hành ABCD kẻ
đường thẳng song song với AB lần lượt cắt AD, BC tại M, P và cũng qua S kẻ đường thẳng song song với AD lần lượt cắt AB, CD tại N, Q Chứng minh 3 đường thẳng AS,
BQ, DP đồng quy
TRƯỜNG PTTH CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ( Ban A,B) năm học 2005 – 2006
Câu 1: Cho phương trình ( có ẩn số là x ) : 4x2 + 2(3 – 2m)x + m2 – 3m + 2 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m b) Tìm m để có tích của 2 nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 2: Giải các phương trình và hệ phương trình:
a) x2 + y2 = 2(xy + 2 ) b) x2 + 25x2 = 11
x + y = 6 ( x + 5)2
Câu 3:
a) Cho a> c , b >c , c > 0 Chứng minh : c(a – c ) + c(b – c ) ≤ ab
b) Cho a> 0, b > 0 Chứng minh : 2 ab ≤ ab
a + b
Trang 5Câu 4: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng khi tăng them mỗi chữ số một đơn
vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương
Câu 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O,R), số đo góc
C bằng 450 Đường tròn đường kính AB cắt các cạnh AC và BC lần lượt tại M và N a) Chứng minh MN vuông góc với OC
b) Chứng minh MN = AB
2
Câu 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O,R) Điểm M di
động trên cung nhỏ BC Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với
AB, AC ( H thuộc đường thẳng AB, K thuộc đường thẳng AC)
a) Chứng minh hai tam giác MBC và MHK đồng dạng với nhau
b) Tìm vị trí của M đẻ độ dài đoạn HK lớn nhất
TRƯỜNG PTTH CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2005 – 2006
Câu 1: a) Định m để hai phương trình: x2 + x + m = 0 và x2 + mx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm chung
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng phương trình:
b2x2 + ( b2 + c2 – a2 )x + c2 = 0 vô nghiệm
Câu 2: Giải phương trình và hệ phương trình:
a) x3 + y3 = 3( x – y ) b) 2 x + 13x = 6
x + y = -1 3x2 – 5x + 2 3x2 + x + 2
Câu 3:
a) Chứng minh 2(a4 + b4 ) ≥ ab3 + a2b + 2a2b2 với mọi a,b
b) Chứng minh: a2 + b2 + 2ab – b2 > a, với a> b > 0
Câu 4: Tìm các số nguyên dương có 2 chữ số, biết số đó là bội số của tích 2 chữ số
của chính số đó
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn, AB < AD Tia phân giác của góc
BAD cắt BC tại M và cắt DC tại N Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MCN
a) Chứng minh DN = BC và CK MN
b) Chứng minh rằng BKCD là một tứ giác nội tiếp
Câu 6: Cho tam giác ABC có góc A = 2 góc B Chứng minh rằng:
BC2 = AC2 + AC.AB
Chúc các em thi tốt Thầy sẽ rất nhớ các em!