SKKN Đại số 8

Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những kiến thức cơ bản trong chơng trình toán học là công cụ để giải quyết nhiều bài toán nh : - Rút gọn phân thức.. Phân tích đa thức thành

A.đặt vấn đề

i lời mở đầu.

Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những kiến thức cơ bản trong chơng trình toán học là công cụ để giải quyết nhiều bài toán nh :

- Rút gọn phân thức

- Giải phơng trình, giải bất phơng trình

- Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

- Biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ

- Tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên

- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Việc phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi ngời học phải t duy, có kiến thức tổng quát, sáng tạo, nhanh trí, vận dụng kiến thức toán học một cách nhuần nhuyễn, hợp lý Để làm đợc việc này ít nhất là ngời học sử dụng thành thạo các tính chất, quy tắc phép tính, thành thạo trong việc nhân chia đa thức Đặc biệt phải thuộc lòng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ từ đó phát triển đợc các hằng đẳng thức tổng quát

Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp Ngoài 3 phơng pháp cơ bản :

- Đặt nhân tử chung

- Nhóm nhiều hạng tử

- Dùng hằng đẳng thức

Sách giáo khoa còn giới thiệu thêm hai phơng pháp :

- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

- Thêm bớt cùng một hạng tử

Ngoài ra có thể sử dụng những phơng pháp khác :

- Đặt ẩn phụ (biến đổi)

- Hệ số bất định

Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp khác nhau do đó khi giảng dạy ngời giáo viên giúp đỡ học sinh lựa chọn phơng pháp phù hợp để giải quyết một cách nhanh chóng Khi dạy phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ,

giáo viên cần bồi dỡng thêm cho học sinh các phơng pháp khác ngoài sách giáo khoa

Đặc biệt đối với học sinh khá, giỏi Giúp các em lựa chọn phơng pháp thích hợp để giải quyết các bài toán khó

Vì vậy tôi xin nêu ra phơng pháp tôi đã sử dụng trong giảng dạy, đó là “Rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử ”cho học sinh lớp 8

II THựC TRạNG VấN Đề NGHIÊN CứU.

1 THựC TRạNG

Qua những năm giảng dạy môn toán ở lớp 8,tôi thấy nhiều học sinh còn lúng túng khi gặp các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử Cũng có nhiều nguyên nhân dẫn đến điều này, nhng theo tôi nguyên nhân chính là :

+Kiến thức cơ bản cần sử dụng vào bài toán phân tích đa thức thành nhân tử các em nắm cha vững

+Gặp một số dạng toán mà sách giáo khoa cha giải quyết đợc

Chẳng hạn khi nói đến các dạng toán : “Phân tích đa thức thành nhân tử ” ở lớp

8 nhiều em còn vớng mắc khi sử dụng ở một số phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử,thêm bớt cùng một hạng tử, phơng pháp đặt ẩn phụ (biến đổi), hệ số bất

định Vì thế mà các em còn ngại , chán nạn khi ch… a tìm ra hớng giải và khi giải các

em còn không biết cách phân tích dẫn đến mắc một số sai lầm không đáng có cụ thể:

Ví dụ1 : Phân tích đa thức thành nhân tử:

3x2 – 8x + 4

-Học sinh rất lúng túng khi gặp dạng toán này cha biết nên tách hạng tử nào,nhiều em còn sai lầm đi nhóm nhân tử chung : 3x2 – 8x + 4 = x (3x - 8) +

4 đến đây các em mất phơng hớng giải

Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

4x4 + 81

- Nhìn bài toán này học sinh khá, giỏi vẫn còn vớng mắc, cha nói đến học sinh trung bình ,yếu các em thật sự chán nạn,sợ sệt hoặc không đủ tự tin là bản thân làm sẽ đúng vì học sinh cha hiểu đợc 4x4 + 81 khi thêm, bớt 36x2 thì bài toán sẽ có dạng hằng

đẳng thức hiệu hai bình phơng.Nên khi ra một dạng toán nào học sinh cần xem áp dụng đợc pháp nào?

2 kết quả điều tra khảo sát

Khi cha thực hiện đề tài ,tôi đã khảo sát ở 2 lớp 8A,8B với đề bài nh sau :

Phân tích đa thức thành nhân tử

a , 4xy + 3x2y b, x2 - 4

c, x2 +x -2x3 -2 d , 2x2 – 4xy + 2y2

e, (x2 + x)2 + 3( x2 + x) + 2

Qua bài khảo sát cho thấy một số học sinh còn đang mơ hồ về các phơng pháp đã học ,quá trình làm bài cha tự tin hoặc đi sai vấn đề,cha hợp lí

Kết quả đạt đợc nh sau:

b giải quyết vấn đề :

i giải pháp thực hiện:

- Ôn lại cho học sinh một số kiến thức cơ bản cần sử dụng để phân tích đa thức thành nhân tử

- Dựa vào các phơng pháp đã học ta có thể phân loại các bài toán để học sinh phát hiện , nhận dạng và có hớng giải quyết ,không đi sai lệch với đề bài đa ra , học sinh nhận dạng đợc bài toán yêu cầu là tìm nhân tử chung ,đặt ẩn phụ , thêm bớt hạng

tử hay tách hạng tử đó là cơ sở để học sinh tháo gỡ vấn đề

- Dạng toán “ Phân tích đa thức thành nhân tử ” có thể áp dụng ngay các tiết học

ở trên lớp ,ngoài ra có thể hớng dẫn các em một số phơng pháp mới ở các buổi học phụ đạo vào buổi chiều giúp học sinh nắm vững, hiểu sâu hơn

Ii biện pháp tổ chức thực hiện

pHẦN 1:C C PH Á ƯƠNG PH P Á PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

1 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp thông thờng.

1.1 Phơng pháp đặt nhân tử chung

a Phơng pháp :

Tìm nhân tử chung là đơn , đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử Xem các số hạng của đa thức có thừa số chung hay không? Nếu có ta đặt nó làm một thừa số của

đa thức bằng cách đặt nó ra ngoài dấu ngoặc,viết các nhân tử còn lại vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).Phơng pháp này dựa trên tính chất :

A.B + A.C + + A.F = A (B + C + + F)

Học sinh phải nắm chắc kiến thức phép nhân phân phối đối với phép cộng

b Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử

A = 15a2b2 - 9a3b + a2b3

Với định hớng câu hỏi nh trên , học sinh tìm ra thừa số chung của các hạng tử là 3a2b

Đặt 3a2b làm thừa số chung ta đợc: A = 3a2b (5b – 3a –b2)

1.2 Phơng pháp dùng hằng đẳng thức :

a Phơng pháp :

Để sử dụng các hằng đẳng thức đa các đa thức về dạng một tích các đa thức hoặc luỹ thừa của một đa thức học sinh cần phải thuộc lòng 7 hằng đẳng thúc đáng nhớ và các hằng đẳng thức tổng quát

1, a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

2, a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Mở rộng : a2 + b2 + c2+2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c)2

3, a2 - b2 = (a + b)(a - b)

4, a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

5, a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

6, (a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3

7, (a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3

Sau đó xét xem có thể phân tích đa thức thành thừa số bằng cách sử dụng một trong các hằng đẳng thức trên hay không ?

b Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử :

8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3

ở ví dụ này các số hạng có nhân tử chung không? Các số hạng có lập thành hằng

đẳng thức nào không ? Đa thức này có 4 hạng tử,nhận xét xem các hạng tử có đặc

điểm gì, từ đó suy ra nó thuộc hằng đẳng thức nào?

8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3 = (2x - y)3

Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử :

a Phơng pháp :

Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm

Tiếp tục áp dụng các phơng pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

Đối với phơng pháp này học sinh cần sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử một cách thích hợp rồi phân tích thành nhân tử đối với từng nhóm,từ đó viết đợc đa thức đã cho thành nhân tử

b Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử :

2x2 + 2y2 – x2z + z – zy2 – 2

ở đa thức này các hạng tử không có nhân tử chung , không lập thành hằng đẳng thức.Vậy nên nhóm các số hạng nh thế nào để xuất hiện nhân tử chung mới?

2x2 + 2y2 – x2z + z – zy2 – 2 = (2x2 – x2z ) + (2y2 – y2z) + (z - 2)

= x2 (2 - z) + y2 (2 - z) – 2 – z = (x2 + y2 - 1) (2 - z)

Ngoài ba phơng pháp trên có thể phối hợp đồng thời cả ba phơng pháp để giải 1.4.Phối hợp nhiều phơng pháp:

a Phơng pháp :

Chọn các phơng pháp theo thứ tự u tiên : -Đặt nhân tử chung

– Dùng hằng đẳng thức

–Nhóm nhiều hạng tử

b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử:

3x3 y - 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy

ở đa thức này xét xem có thể nhóm các số hạng thích hợp nào nhằm làm xuất hiện nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức

3x3 y - 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 - 2x – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy (x2 - 2x +1) (y2 – 2ay – a2) = 3xy(x -1)2 – (y- a)2

= 3xy (x -1) – (y+ a) (x -1) + (y+ a) = 3xy (x -1 – y - a).(x -1+ y+ a)

1.5 Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử :

a.Phơng pháp: Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn

rồi áp dụng phơng pháp nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc đặt nhân

tử chung:

b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 – 6x + 8

Đa thức trên không chứa nhân tử chung , không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào , cũng không thể nhóm các hạng tử Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn

Cách 1: (Tách hạng tử thứ hai)

x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = (x2 - 2x ) - (4x - 8) = x(x - 2) - 4(x- 2) = (x -2)(x -4)

Cách 2: (Tách hạng tử thứ ba)

x2 – 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3)2 – 1

= (x – 3 – 1)( x – 3 + 1) = (x – 4)(x -2)

1.6 Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử :

a Phơng pháp :

Thêm bớt cùng một hạng tử thích hợp để làm xuất hiện hiệu của hai bình phơng hoặc nhân tử chung

b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : x4 + 4

Giáo viên có thể gợi ý : Bằng phơng pháp đã học không thể giải quyết đợc thì ta nghĩ đến phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử 4x2

x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 – 4x2 = (x4 + 4x2 + 4 ) - 4x2 = (x2 + 2)2 - 4x2

=( x2 + 2 -2x)( x2 + 2 + 2x)

Nhiều khi với những phơng pháp thông thờng trên vẫn cha đáp ứng đợc yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử Sau đây là một số phơng pháp đặc biệt

2 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp đặc biệt :

2.1 Phơng pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ).

a Phơng pháp :

Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần, ta đặt biểu thức ấy làm biến phụ từ đó đa đợc về đa thức

đơn giản hơn.

b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử :

A = (x2 + 3x + 1) (x2 + 3x - 3) – 5

Đặt (x2 + 3x + 1) = y

A = y(y - 4) – 5 = y2 + y - 5y - 5 = y (y + 1) - 5(y + 1) = (y +1)(y - 5)

Thay (x2 + 3x + 1) = y vào ta có : A = (x2 + 3x + 2) (x2 + 3x - 4)

= (x +1)(x + 2)(x -1)(x + 4)

2.2 Phơng pháp xét giá trị riêng:

a Phơng pháp : Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức rồi gán cho các

biến giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại

b.Ví dụ : P = x2 (y - z) + y 2 (z - x) + z 2 (x -y)

Thay x bởi y thì : P = y2(y - z) + y2(z -y) = 0

Nh vậy P cha thừa số (x - y)

Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi, đa thức P có thể thay đổi vòng quanh

Do đó nếu P đa chứa thừa số (x - y) thì cũng chứa thừa số (y - z)(z -x)

Vậy P có dạng :k(x - y)(y - z)(z -x)

Ta thấy k là hằng số vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x,y,z vì đẳng thức :

x2(y - z) + y2(z - c) + z2(x -y) = k(x - y)(y - z)(z -x)

đúng với mọi x,y,z Nên ta gán cho các biến x,y,z các giá trị riêng

Chẳng hạn : x = 2, y = 1, z= 0 ta đợc: 4.1 + 1(-2) + 0 = k.1.1.(-2) => k = 1

Vậy P = -(x - y)(y - z)(z -x) = (x - y)(y - z)(z -x)

2.3 Phơng pháp hệ số bất định

a Phơng pháp :

Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc nhất ,một đa thức bậc hai dạng: (a + b)(cx2 + dx + m) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ

số của đa thức này với hệ số của đa thức kia

b.Ví dụ :

1, x3 + 11x + 30

Kết quả cần tìm có dạng : (x + a)(x2 + bx + c)

Vì (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b) x2 + (ab + c)x + ac

Nên x3 + 11x + 30 = x3 + (a + b) x2 + (ab + c)x + ac

Ta có a + b = 0

ab + c = 11

ac = 30

Có thể chọn: a =2, b = -2, c = 15 là bộ số thoã mãn (=> ac = 30)

Vậy x3 + 11x + 30 = (x + 2)(x2 - 2x + 15)

2, x3 - 19x 30–

Nếu đa thức này phân tích đợc thành nhân tử thì tích đó phải có dạng :

x(x2 + bx + c) = x3 + (a + b) x2 + (ab + c)x + ac

Vì hai đa thức này đồng nhất nên :

a + b = 0

ab + c = -19

ac = -30

Chọn a = 2, c = -15 khi đó b = - 2 thoả mãn

Vậy x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15)

2.4 Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức :

a Phơng pháp :

Cho đa thức f(x),a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0 Nh vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) thì a phải là nghiệm của đa thức

Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do

b Ví dụ : x 3 + 3x 4–

Nếu đa thức có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử x - a) thì nhân tử còn lại có dạng (x2 + bx + c) => - ac = 4 => a là ớc của 4

Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng tử không đổi Ư(- 4) = {− 1 ; 1 ; − 2 ; 2 ; − 4 ; 4}

Sau khi kiểm tra thấy 1 là nghiệm của đa thức => Đa thức chứa nhân tử (x – 1)

Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x – 1)

Cách 1: x3 + 3x2 – 4 = x3 - x2 + 4x2 – 4 = x2(x - 1) + 4(x - 1)(x + 1)

= (x - 1)(x2 + 4x + 4) = (x - 1)(x+ 2)2

Cách 2: x3 + 3x2 – 4 = x3 - 1 + 3x2 – 3 = (x3 - 1) + 3(x2 – 1)

= (x - 1)(x2 + x + 1) +3(x2 – 1) = (x - 1)(x+ 2)2

Chú ý 1:

-Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử (x - 1)

- Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1).

Ví dụ: x 2 - 5x + 8x 4 có : 1 5 + 8 4– – –

Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số (x - 1)

x3 - 5x2 + 3x + 9 có : -5 + 9 = 1 + 3

Đa thức có nghiệm là -1 hay đa thức chứa thừa số (x + 1)

Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ Trong

đa thức với hệ số nguyên ,nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng p/q Trong đó p là ớc của hạng tử không đổi ,q là ớc dơng của hạng tử cao nhất

Ví dụ: 2x3 - 5x 2 + 8x 3–

Nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức trên là :-1 ; 1 ;-1/2 ; 1/2 ; -3/2 ; 3/2 ;3 ; Sau khi … kiểm tra ta thấy x = -1/2 là nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử (2x - 1) Do

đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x - 1)

2x3 - 5x2 + 8x – 3 = 2x3 - x2 - 4x2 + 2x + 6x – 3

= x2(2x - 1) – 2x(2x - 1) + 3(2x - 1) = (2x - 1) (x2 - 2x + 3)

Chú ý 2: Có thể nhận định đa thức :f(x) = anxn + a(n – 1)xn – 1 + + a… o

với a1 > a2 a… n ∈ Z Nếu f(x)có nghiệm hữu tỉ p/q thì p/a0 > q/an

 Nếu là nghiệm của f(x) thì f(x) khi phân tích thành nhân tử có một hạng tử là

x – a dựa vào hệ quả định lý Bezout

“ Nếu là nghiệm của f(x) thì f(x)  x – a ”

Nh vậy đối với đa thức bậc 2, bậc 3 mà nhẩm nghiệm không có nghiệm hữu tỉ thì đa thức đó sẽ không phân tích đợc thành nhân tử

PHầN II : ứng dụng giải các bài toán phân tích

đa thức thành nhân tử

1 Bài toán rút gọn biểu thức.

• Đờng lối giải :

Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử chung rồi rút gọn đồng thời tìm TXĐ của biểu thức thông qua các nhân tử nằm ở dới mẫu

Với học sinh nhằm rèn luyện kĩ năng vận dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại bài rút gọn , giúp học sinh thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức phát triển trí thông minh

Ví dụ : Cho A = (

3

2

+

−

x

x

-

2

3

+

−

x

x

+

6 5

2

2 + +

−

x x

x

)

a Rút gọn

b Tình giá trị của A với x = 998

Giải : a Rút gọn với x ≠ - 2; x ≠- 3

A = (

3

2

+

−

x

x

-

2

3

+

−

x

x

+

6 5

2

2 + +

−

x x

x

)

A = (2−x)(2+x()x−+(32)(−x x)(+33)+x)+(2−x)

A =

) 3 )(

2 (

2 9

+ +

− + +

−

−

x x

x x

x

=

) 3 )(

2 (

) 3 (

+ +

+

−

x x

x

= -

2

1

+

x

b Tính A với x = 998 A = -

2 998

1

+ = - 100

1

2 Bài toán giải phơng trình:

* Đờng lối giải.

Với các phơng trình bậc 2 trở lên việc áp dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử rất quan trọng ,vì sau khi phân tích vế chứa ẩn thì đợc dạng phơng trình tích : A.B = 0 khi và chỉ khi A = 0 hoặc B = 0

Ví dụ : Giải phơng trình: (4x + 3)2 – 25 = 0

áp dụng phơng pháp phân tích vế trái thành nhân tử đa phơng trình về dạng

(4x + 3)2 – 25 = 8(2x - 1)(x + 2)

8(2x - 1)(x + 2) = 0

 x =1/2 hoặc x = -2

áp dụng phơng pháp phân tích tam thức bậc 2 ở vế trái thành nhân tử đa phơng