SKKN DAI SO 11

Lý do chọn đề tài : Trong Chương trình giáo dục THPT hiện nay Đạo hàm cùng với các khái niệm khác góp phần quan trọng trong môn Giải tích toán học, là một trong những cơ sở để nghiên cứu

A.PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài :

Trong Chương trình giáo dục THPT hiện nay Đạo hàm cùng với các khái niệm khác góp phần quan trọng trong môn Giải tích toán học, là một trong những cơ sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại Muốn học sinh học tốt được Đạo hàm thì mỗi người Giáo viên không phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách gập khuôn, máy móc, làm cho học sinh học tập một cách thụ động Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc học tập của học sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ không cao Nó là một trong những nguyên nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con người năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày

Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học môn toán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh Vì vậy người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách tinh giản kiến thức, thiết kế bài giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế Các kiến thức không được mang nặng tính hàn lâm, và phải phù hợp với việc nhận thức của các em Thông qua kiến thức mà người giáo viên đã tinh lọc, qua ứng dụng, thục hành các em sẽ lĩnh hội những tri thức toán học một cách dễ dàng, củng cố, khắc sâu kiến thức một cách vững chắc, tạo cho các em niềm say mê, hứng thú trong học tập, trong việc làm Khi chúng ta

đã tinh lọc kiến thức một cách gọn gàng, ứng dụng thực tế một cách thường xuyên, khoa học thì chắc chắn chất lượng dạy học môn toán sẽ ngày một nâng cao Riêng phần đạo hàm và tích phân cũng không nằm ngoài quy luật đó

Chính vì những lý do nêu trên mà tôi đã chọn đề tài kinh nghiệm “K inh nghiệm dạy Đạo hàm 11 ”.

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn học được coi là khô khan, hóc búa, không những chỉ giúp, giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng cố và khắc sâu các tri thức

3 Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu :

3.1 Nhiệm vụ :

- Tìm hiểu các khái niệm Đạo hàm trong môn giải tích 11

- Tìm hiểu về thực trạng học sinh lớp 11

3.2 Phạm vi nghiên cứu :

- Đối tượng : Chương Đạo hàm trong Giải tích lớp 11

- Tài liệu : Sách giáo khoa Giải tích lớp 11, sách hướng dẫn giáo viên

4 Phương pháp nghiên cứu :

1 Nghiên cứu tài liệu

2 Nghiên cứu thực tế

B NỘI DUNG

I C¬ së lý thuyÕt

-1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b):

0

0

0

f(x) f(x )

f '(x ) lim

x x

→

−

=

− = limx 0 y

x

∆ →

∆

∆ (∆x = x – x 0 , ∆y = f(x 0 + ∆x) – f(x 0 )

• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại diểm đó.

2 Ý nghĩa của đạo hàm

+ f′ (x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại

( 0 0 )

M x ;f(x )

+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M x ;f(x )( 0 0 )

là:

y – y 0 = f′ (x 0 ).(x – x 0 )

3 Qui tắc tính đạo hàm

• (C)' = 0 (x)′ = 1 (x n )′ = n.x n–1 n N

n 1

 ∈ 

 > ÷

( )x 1

2 x

′ =

• (u ± v)′ = u′ ± v′ (uv)′ = u′v + v′u u u v v u2

′

 ÷

(ku)′ = ku′

2

′

  = − ′

 ÷

 

• Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u′x và hàm số

y = f(u) có đạo hàm tại u là y′u thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là: y ′ = ′ ′ x y u u x

4 Đạo hàm của hàm số lượng giác

• x 0limsinx 1

x

→ = ;

0

x x

sin u(x)

u(x)

0

xlim u(x)x 0

• (sinx)′ = cosx (cosx)′ = – sinx (tanx) 12

cos x

2

1 cot x

sin x

′ = −

5 Vi phân

• dy df(x) f (x) x = = ′ ∆ • f(x 0 + ∆ ≈ x) f(x ) f (x ) x 0 + ′ 0 ∆

6 Đạo hàm cấp cao

• f ''(x) f '(x) =[ ]′; f '''(x) =[f ''(x)]′; f (x) (n) f (n 1) − (x)′

=   (n ∈ N, n ≥ 4)

VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước:

B1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x 0 Tính ∆y = f(x 0 + ∆x) – f(x 0 ).

B2: Tính limx 0 y

x

∆ →

∆

∆ .

VD 1: Dùng định nghĩa tính với:

tại Giải

Ta cĩ:

Xét:

Ta cĩ:

Xét:

Vậy

Bài 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:

a) y f(x) 2x = = 2 − + x 2 tại x0 = 1

b) y f(x)= = 3 2x− tại x0 = –3

c) y f(x) 2x 1

x 1

+

− tại x0 = 2

d) y f(x) sin x= = tại x0 =6π

e) y f(x)= = 3x tại x0 = 1

f) y f(x) x2 x 1

x 1

+ +

− tại x0 = 0

Bài 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) f(x) x = 2 − 3x 1 + b) f(x) x = −3 2x

c) f(x) = x 1, (x+ > −1) d) f(x) 1

2x 3

=

− e) f(x) sin x = f) f(x) 1

cosx

=

VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm

Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp

Ví dụ : Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y x

x

−

=

x

2 2

1

=

−

Giải

a) y x

x

−

=

+

+

x

x y'=

x

2

x

x

x

2 2

′ =

−

′

⇔ =

−

y

x

2 2

′

⇔ =

−

y

x

2

2 2

c)y= (x2− 3x+ 1).sinx ⇒ =y' (2x− 3)sinx+ (x2− 3x+ 1)cosx

d)y′ =( )x ′.cos3x+ x(cos3 )x ′

x

2

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y 2x4 1x3 2 x 5

3

3 x

c) y (x = 3 − 2)(1 x ) − 2 k) y x2 3x 3

x 1

=

− l) y 2x2 4x 1

x 3

=

x 2x 3

=

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y (x = 2 + + x 1) 4 b) y (1 2x ) = − 2 5 c) y 2x 1 3

x 1

d) y (x 1)23

(x 1)

+

=

1 y

(x 2x 5)

=

y = − 3 2x

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 2x 2 − 5x 2 + b) y 4x 12

x 2

+

= + c) y (x 2) x = − 2 + 3

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1 cosx

  b) y x.cosx = c) y sin (2x 1) = 3 + d) y = cot 2x e) y sin 2 x = + 2 f) y = sinx 2x +

g) y tan2x 2tan 2x3 1tan 2x5

i) y (2 sin 2x) = + 2 3 k) y sin cos x tan x = ( 2 2 ) l) y cos2 x 1

x 1

−

Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x3 ) 3) y = x.cotx 4)

2

) cot 1

y= + 5) y= cosx sin 2 x 6) 1 3

3

y= x− x 7)

2

cos sin

cos sin

−

+

4

π

VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số y = f(x)

1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x 0 , y 0 ) ∈ (C) là: y y − 0 = f '(x )(x x ) 0 − 0 (*)

2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k:

+ Gọi x 0 là hoành độ của tiếp điểm Ta có: f (x ) k ′ 0 = (ý nghĩa hình học của đạo hàm)

+ Giải phương trình trên tìm x 0 , rồi tìm y 0 = f(x ) 0

+ Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*)

3 Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x 1 , y 1 ) cho trước:

+ Gọi (x 0 , y 0 ) là tiếp điểm (với y 0 = f(x 0 )).

+ Phương trình tiếp tuyến (d): y y − 0 = f '(x )(x x ) 0 − 0

(d) qua A(x , y ) 1 1 ⇔ y 1 − y 0 = f '(x ) (x 0 1 − x ) (1) 0

+ Giải phương trình (1) với ẩn là x 0 , rồi tìm y 0 = f(x ) 0 và f '(x ) 0

+ Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*).

4 Nhắc lại: Cho (∆): y = ax + b Khi đó:

+ (d) ( ) ⁄⁄ ∆ ⇒ k d = a + (d) ( ) kd 1

a

Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y

x

1

a) Tại điểm cĩ tung độ bằng 1

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= − 4x+ 3.

Hướng dẫn

Ta co y

x

1

a) Với y0 1

2

2

4

phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm  

1 2;

2 là:y= −14x+1

b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y= − + 4x 3nên tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc

k = –4

Gọi ( ; )x y0 0 là toạ độ của tiếp ⇒ y x′( )0 = − 4



 = −



x

0 2

1

1 2

• Với x0 = ⇒1 y0 = 2

2

phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm  

 1 ;2 

2 lày= − +4x 4

• Với x0 = − ⇒1 y0= − 2

2

phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm − − 

Ví dụ 2: Cho hàm số f x x x

x

2 2 3 ( )

1

=

+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số f x( ) tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1.

Ta cú f x x x

x

2 2 3 ( )

1

=

x

2 2

( )

+

Vớix0 = ⇒ 1 f x( )0 = 1, f (1) 1

2

′ = −

⇒ phương trỡnh tiếp tuyến với đồ thị hàm số là y 1x 3

Baứi 1: Cho haứm soỏ (C): y f(x) x = = 2 − 2x 3 + Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp vụựi (C):

a) Taùi ủieồm coự hoaứnh ủoọ x 0 = 1

b) Song song vụựi ủửụứng thaỳng 4x – 2y + 5 = 0

c) Vuoõng goực vụựi ủửụứng thaỳng x + 4y = 0.

d) Vuoõng goực vụựi ủửụứng phaõn giaực thửự nhaỏt cuỷa goực hụùp bụỷi caực truùc toùa ủoọ.

Baứi 2: Cho haứm soỏ y f(x) 2 x x2

x 1

− +

− (C).

a) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi ủieồm M(2; 4).

b) Vieỏt phửụng trỡnh ttieỏp tuyeỏn cuỷa (C) bieỏt tieỏp tuyeỏn coự heọ soỏ goực k = 1.

Baứi 3: Cho haứm soỏ y f(x) 3x 1

1 x

+

− (C).

a) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi ủieồm A(2; –7).

b) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi giao ủieồm cuỷa (C) vụựi truùc hoaứnh c) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi giao ủieồm cuỷa (C) vụựi truùc tung.

d) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) bieỏt tieỏp tuyeỏn song song vụựi d:

1

y x 100

2

e) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) bieỏt tieỏp tuyeỏn vuoõng goực vụựi ∆ : 2x + 2y – 5 = 0.

Baứi 4: Cho haứm soỏ (C): y = 1 x x − − 2 Tỡm phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn vụựi (C):

a) Taùi ủieồm coự hoaứnh ủoọ x 0 = 1

2

b) Song song vụựi ủửụứng thaỳng x + 2y = 0.

B i 5 à Viết phơng trình tiếp tuyến của (C ): y=x3 -3x+7

1/ Tại điểm A(1;5)

2/ Song song với đờng y=6x+1

Bài 6 Viết phơng trình tiếp tuyến của (c ) y=x3 -3x 2 , biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y= x

3

1

VAÁN ẹEÀ 4: Tớnh ủaùo haứm caỏp cao

1 Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dùng công thức: y (n) = (y ) n 1 / −

2 Để tính đạo hàm cấp n:

• Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n

• Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng

Bài 1: Cho hàm số f(x) 3(x 1)cosx = +

a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính f ''( ), f '' ,f ''(1)

2

  π

 

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra:

a) y cosx, y''' = b) y 5x = 4 − 2x 3 + 5x 2 − 4x 7, y'' + c) y x 3, y''

x 4

−

= +

d) y = 2x x , y'' − 2 e) y xsin x, y'' = f) y xtanx, y'' =

g) y (x = 2 + 1) ,y'' 3 h) y x = 6 − 4x 3 + 4, y (4) i) y 1 , y(5)

1 x

=

−

Bài 3: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

2

x

y

x

+

=

− 2) 2

2

x y

+

= + − 3) 2 1

x y x

=

−

4) y x x= 2 + 1 5) y x= 2 sinx 6) y= − (1 x2 ) cosx

7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x

ĐS:1) ( )3

6 ''

2

y

x

=

3 2

''

2

y

=

( ) ( )

2 3 2

''

1

x x y

x

+

=

−

3

''

y

+

=

+ + 5) y'' = −(2 x2)sinx+ 4 cosx x 6)y'' 4 sin = x x+ (x2 − 3) cosx

7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x

Bài 4 : Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:

a)  =y xsinxxy'' 2(y' sinx) xy 0− − + =

 b)  =yy y'' 1 03 2x x− 2

+ =



c) y x tanx 2 2 2

x y'' 2(x y )(1 y) 0

 =

2

x 3 y

x 4 2y (y 1)y''



 ′ = −



VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng x x0

sin u(x) lim

u(x)

→

Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức

x x

sin u(x)

u(x)

→ = (với x x lim u(x) 00

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

a) x 0lim sin3x

sin2x

x

→

−

x 2

1 sin x lim

x 2

π

→

−

 π − 

d) x

4

cosx sin x lim

cos2x π

→

−

e) x 0lim1 sinx cosx

1 sinx cosx

→

− − f) x 0lim tan2x

sin5x

→

g) x

2

lim x tanx

2 π

→

 π − 

x 6

sin x

6 lim

3 cosx 2

π

→

 −π 

−

VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác

Ví dụ: Cho f x( ) sin 2 = x− 2sinx− 5 Giải phương trình f x′( ) 0 =

x x

1 cos

2



⇔

= −





x k

2

3

π

 =



⇔





Vậy ………

Cho hàm số y f x= ( ) =x3− 3x2− 9x+ 5 Giải bất phương trình: y′ ≥ 0

HD: y f x= ( ) =x3− 3x2− 9x+ 5 ⇒ y′ = 3x2 − 6x− 9

y' 0 ≥ ⇔ 3x2 − 6x− ≥ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ 9 0 x ( ;1) (3; )

Bài 1: Giải phương trình f '(x) 0 = với:

a) f(x) 3cosx 4sinx 5x = − + b) f(x) cosx = + 3s ĩn 2x 1 + −

c) f(x) sin x 2cosx = 2 + d) f(x) sin x cos4x cos6x

e) f(x) 1 sin( x) 2cos3 x

2

π +

= − π + + f) f(x) sin3x = − 3 cos3x 3(cosx + − 3sinx)

Bài 2: Giải phương trình f '(x) g(x) = với:

a) f(x) sin 3xg(x) sin6x== 4

 b) g(x) 4cos2x 5sin4xf(x) sin 2x== 3 −



2

x f(x) 2x cos

2 g(x) x x sinx





2 x f(x) 4xcos

2 x g(x) 8cos 3 2xsinx

2







Bài 3: Giải bất phương trình f '(x) g'(x) > với:

a) f(x) x = 3 + − x 2, g(x) 3x = 2 + + x 2

b) f(x) 2x3 x2 3, g(x) x3 x2 3

2

c) f(x) 2, g(x) x x3

x

Bài 4: Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R: a)

3 2

mx

f '(x) 0 với f(x) 3x mx 5

3

b) f '(x) 0 với f(x) mx3 mx2 (m 1)x 15

3

− +

1/ ' y lµ b×nh ph¬ng cđa mét nhÞ thøc

2/ y'≥0 ∀x∈R

3/ ' y <0 ∀x∈(0;1)

4/ ' y >0 x∀ >0

Bài 4: Cho hai hàm số : f x( ) sin = 4 x+ cos 4 x và ( ) 1cos 4

4

Chứng minh rằng: f x'( ) =g x'( ) ( ∀ ∈ℜx ).

Bài 5: Cho y=x3 − 3x2 + 2 Tìm x để: a) y’ > 0 b) y’ < 3

ĐS: a)  >x x<02 b) 1 − 2 < < +x 1 2

Bài 7: Cho hàm số f(x) = 1 x Tính : + f(3) (x 3)f '(3) + −

Bài 8: a) Cho hàm số:

2

2 2

2 + +

y Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’ 2

b) Cho hàm số y = xx+−43 Chứng minh rằng: 2(y’) 2 =(y -1)y’’

c) Cho hàm số y = 2x x − 2 Chứng minh rằng:y y" 1 0 3 + =

Bài 9: Chứng minh rằng f x'( ) 0 > ∀ ∈x ¡ , biết:

3

f x = x − +x x − x + x− b/ f x( ) 2 = x+ sinx

Bài 10: Cho hàm số f(x) = x 5 + x 3 – 2x - 3 Chứng minh rằng

f’(1) + f’(-1) = - 4f(0)

C KẾT LUẬN

Thời gian và tầm nhìn có hạn Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ trong phương pháp giảng dạy “đạo hàm ” Rất mong đựoc quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp có nhiều ý kiến đóng góp, trao đổi để lần sau được hoàn thiện hơn

Nhận xét, đánh giá của tổ trưởng, ban chuyên môn:

………

………

………

………

………

………

………