Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại D và E.. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của BH, CH.. Chứng minh trực tâm tam giác AMN là trung điểm đoạn thẳng
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN 9
NĂM HỌC 2014 – 2015
Thời gian làm bài: 120 phút
Thi ngày 20 tháng 9 năm 2014
Bài 1:
a, Cho A= 2014 − 2013; B= 2015 − 2014 So sánh A và B
b, Tính giá trị biểu thức: B= 3 5 2 13 + + 3 5 2 13 −
Bài 2:
a, Giải phương trình : x− 1 + x3 +x2 +x+ 1 = 1 + x4 − 1
b, Giải phương trình nghiệm nguyên : y2 = - 2(x6- x3y - 32)
Bài 3:
a, Giả sử x, ylà những số không âm thỏa mãn điều kiện x2 +y2 = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn nhất của x y+ .
+
+ +
+ +
≥ + +
a c c b b a c b
1 2
1 2
1 3 1 1 1
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Gọi D, E lân lượt là hình chiếu
của H trên AB, AC Chứng minh:
a =
b.DE = DB.CE.BC
c = +
Bài 5: Chứng minh rằng: A =5 ( 5 +1) - 6 ( 3 + 2 ) chia hết cho 91 với mọi số tự
nhiên n
-Hết-ĐÁP ÁN ĐỀ THI KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN 9 LẦN 1 – 2014
2014 2013 2014 2013 1
2014 2013
2014 2013
+ +
2015 2014 2015 2014 1
2015 2014
2015 2014
+ +
Mà 2014 + 2013 < 2015 + 2014
2014 2013 > 2015 2014
1
Trang 2B3 +9B – 10 = 0 (B- 1)(B2 + B + 10 ) = 0
B = 1
2
Ta có : a + b = 1 + ab (a – 1) (b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1
TH 1 : a = 1 TH2 : b = 1
1
b y2 = -2(x6 – x3y – 32)
1
Áp dụng bất đẳng thức Bnhiakops xki (x + y)2 2(x2 + y2) =2 ( vì x2 + y2 = 1)
(x + y) – (x2 + y2) = x(1 – x)+ y(1-y)
Vì x ; y
Vậy Min A = 1 hoặc
0.5
b Với x, y, z
(
1
Trang 3Áp dụng bất đẳng thức trên ta có :
Suy ra :
4
E D
B
A
a
( Ta lét)
1
b
1 c
=
=
=
=
1
5 A = (25n – 18n) – (12n – 5n)
Do: (25n – 18n)M(25 – 18)= 7 ; (12n – 5n) M(12 – 5) = 7 nên
A M 7 Mặt khác: A = (25n – 12n) – (18n – 5n) Do: (25n – 12n)M(25 – 12)= 13 ; (18n – 5n) M(18 – 5) = 13
nên A M 13 Tóm lại: A vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 13,
1
Trang 4Nên A M 7.13 hay A M 91
PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Thi ngày 24 tháng 11 năm 2014
Câu 1 (2.0 điểm)
a Rút gọn các biểu thức sau: A = 2( 3 1) 2+ − 3 ;
b B = 2− 2 5 2− − 2+ 2 5 2−
b Tìm x y Z; ∈ biết: xy2 +2xy−4y x+ =0
Câu 2 (2.0 điểm) Giải các phương trình sau :
a 4 2− x−2 3 2− x =0
b 4x2+5x+ + =1 3 2 x2− + +x 1 9x
Câu 3 (2.0 điểm)
a Tính giá trị của Q = x y
x y
− + biết y≠0;x y+ ≠0và x2−2y2 = xy
b Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 +2y2 +2xy−2x−3y+1
c Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 2 2 2
2
b c c a a b
+ +
Câu 4 (3.0 điểm)
Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH,
đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại D và E Gọi M; N lần lượt là trung điểm của BH,
CH
a Chứng minh MD // NE
b Chứng minh trực tâm tam giác AMN là trung điểm đoạn thẳng OH
c Tam giác ABC có thêm điều kiện gì nữa để tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất?
Câu 5 (1.0 điểm) Cho một đa giác có chu vi bằng 1 Chứng minh rằng có hình tròn bán
kính R = 1
4 chứa toàn bộ đa giác đó
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 01 trang )
Trang 5Họ và tên: Số báo danh
PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐÁP ÁN THI HSG HUYỆN NĂM HỌC
2014-2015 MÔN THI: TOÁN 9
Câu
1
2 ( 3 1) 4 2 3 + − = ( 3 1) ( 3 1) + − = ( 3 1)( 3 1) 2 + − =
B2 =( 2 − 2 5 2 − − 2 + 2 5 2 ) − 2 = 4 - 2 4 2 5 2 − + = 4 -2(
5 1 − ) = 6 - 2 5= ( 5- 1)2 vì B < 0 nên B = 1- 5
0.5 0.5
b xy2+2xy−4y x+ =0⇔ 2
2
4 ( 2 1) 4
( 1)
y
y
+ + = ⇔ =
+ Vì x; y nguyên mà
(y; y+1) = 1 nên (y+1)2 là ước của 4 ⇔y +1 = 2, 0, 1, -1, -2;
suy ra y = 1; -1; 0; -2 -3 từ đó HS tìm x tương ứng
0 5 0.5
Câu
2
a ĐK: 3 2 − x≥ 0 hay 3
2
x≤ 4 2− x−2 3 2− x =0⇔ 2
( 3 2 − x− 1) = 0 ⇔ 3 2− x= ⇔ =1 x 1thỏa mẫn ĐK vậy nghiệm
phương trình là x = 1
0.5 0.5
b
4 5 1 0 (4 1)( 1) 0
4
x + x+ ≥ ⇔ x+ x+ ≥ ⇔ ≥ −x hoặc x≤ − 1
4x +5x+ −1 2 x − + =x 1 9x−3 Đặt
4x +5x+ =1 m va2 x − + =x 1 n
Ta có m – n = m2 – n2 ⇔(m - n)(m + n – 1) = 0 nên m= n hoặc
m = 1- n từ đó HS tìm được x rồi đối chiếu ĐK để kết luận
0,25
0,25 0.25 0.25
Câu
3
a Ta có: x2 −2y2 = xy ⇔x2 – y2 – y2 – xy = 0 ⇔(x + y)(x – 2y)
= 0 suy ra: x = 2y
ta có Q = 1/3
0.25 0.25
b M = x2 +2y2 +2xy−2x−3y+1= (x + y)2 - 2(x + y) + 1 + y2 – 0,25
0,5
Trang 6M = (x + y -1)2 + (y - 1/2)2 - 1/4 ≥ -1/4 Vậy min M = -1/4 khi x
= y = 1/2
4
a a b c b c a b c b c b c a b c
a
Tương tự 2 4
4
b b a c
a c
− −
≥
2 4 4
c c a b
a b
− −
≥
có
2
b c c a a b
+ +
0.5
0.25
Câu
4
0.25
a Tứ giác ADHE là HCN suy ra: D; O; E thẳng hang
HS chứng minh MD ⊥ DE ( góc MDH = góc MHD; góc ODH = góc
OHD)
Tương tự: NE ⊥ DE
Suy ra: MD // NE
0.25 0.25 0.25 0.25
b
Kẻ MK ⊥ AN MK cắt OH tại G, tam giác ABC vuông tại A có AH là
đường cao nên AH 2 = HB.HC suy ra
AH = HC ⇔ AH = HC ⇔ OH = HN
Vậy ∆HOB: ∆HNA suy ra
góc HBO = góc HAN mà góc HAN = góc HMK (góc có cạnh tương ứng
vuông góc) nên góc HBO = góc HMK suy ra BO // MK vì M là trung
điểm BH suy ra G cũng là trung điểm OH.
0.25 0.5
0.25
c Ta có
.
AMN
S∆ = =R MN =R HM HN+ = HB HC+ ≥ HB HC =
= 2R 2 Vậy S AMN nhỏ nhất bằng 2.R 2 khi HB = HC hay tam giác ABC
0.5 0.25
Trang 7vuông cân
Câu
5
Lấy điểm A trên một cạnh của đa giác, lấy điểm B trên một cạnh khác của
đa giác sao cho AB chia chu vi đa giác thành hai phần có độ dài bằng
nhau và bằng 1/2 Gọi O là trung điểm AB Lấy D là điểm tùy ý thuộc
cạnh đa giác hoặc nằm trong đa giác Lấy điểm E đối xứng với D qua O
Tứ giác AEBD là HBH và AD + DB < 1/2 mà DE < AD + DB <1/2 Nên
OD < 1/4 nên D nằm trong đường tròn tâm O bán kính R = 1/4.
0.25
0.75
Lưu ý:
- Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hình.