DEDAP AN HSG TOAN 9HA NAM

Tìm điều kiện của x để biểu thức A xác định.. Rút gọn biểu thức A.. Qua I vẽ dây cung CD vuông góc với AB, trên đoạn CD lấy điểm K tuỳ ý.. Tia AK cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là M..

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức

A

1 Tìm điều kiện của x để biểu thức A xác định.

2 Rút gọn biểu thức A

3 Tìm x để A 2 3.

Bài 2 (4,5 điểm)

1 Cho ba số thực a, b, c sao cho phương trình ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm thuộc

đoạn [0;1] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( )(2 )

P

a a b c



2 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình (2x y  2)2 7(x 2y y 21).

Bài 3 (4,0 điểm)

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 16x2 8x 1 16x2 24x9.

2 Giải hệ phương trình

2 2

8 16 5

2

xy

x y









Bài 4 (5,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy điểm I thuộc đoạn AO

sao cho AO = 3.IO Qua I vẽ dây cung CD vuông góc với AB, trên đoạn CD lấy điểm

K tuỳ ý Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M.

1 Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp.

2 Chứng minh rằng tâm F của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKC nằm trên một đường thẳng cố định.

3 Khi K di động trên đoạn CD, tính độ dài nhỏ nhất của đoạn DF.

Bài 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O) Đường phân

giác trong AD và đường trung tuyến AM của tam giác ABC cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại P và Q ( P, Q khác A) Chứng minh: DP > MQ

-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

HÀ NAM LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: TOÁN

ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM

(Đáp án biểu điểm này gồm 3 trang)

Câu 1.1

(1,5 đ) A xác định

2



 



x  x  x x

x x  x  x x  x  x

Vậy A xác định  x2và x 0

Câu 1.2

(1,5 đ)

A



2

2

2

x



Câu 1.3

(1,0 đ)

3 x 1

    Kết hợp với ĐK xác định của A thì A2 3 0x1

Câu 2.1

(2,5 đ)

Gọi 2 nghiệm của pt là x x Theo Viét ta có : 1, 2 1 2

1 2

b

x x

a c

x x a









2 2

P

Không mất tính tổng quát giả sử x1x2

1; 2 0;1 1 1 2 2 1; 1 1 2 1 2 0

x x   x x x x  x x x x  Dẫn tới

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1

1

P=3 khi x1x2 1suy ra

2

b

Câu 2.2

(2,0 đ)

(2x y  2) 7(x 2y y 1) (1)  2(2x y  2)2 7(2x y  2) 7(2 y23 ) 0y  (2)

Đặt t2x y  2 ta có pt: t2 7t7(2y23 ) 0y 

16t2 56t49 7(16 y224y9) 112

 (4t7)27(4y3)2 112 (3)

Từ (3)  7(4y3)2 112 (4y3)2 16 4 4 y   3 4 7 4 y1

Vì y nguyên suy ra y chỉ có thể là -1 hoặc 0

Với y = -1 thay vào (1) được pt (2x1)2 7x không có nghiệm x nguyên

Với y = 0 thay vào (1) được pt 4(x1)2 7(x1), pt này có một nghiệm nguyên x = 1 Thử lại thấy (x ;y) = (1 ;0) là nghiệm nguyên duy nhất của pt đã cho.

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC

Cách khác : Xét điều kiện có nghiệm của pt bậc 2 theo ẩn x hoặc y

Câu 3.1

(2,0đ) Q=

16x 8x 1 16x  24x9 (4x1)  (3 4 ) x 4x  1 3 4x

Câu 3.2

(2,0 đ)

Giải hệ

2 2

8

16 (1) 5

2

xy

x y







 ĐK: x y 0

(1)  (x y x y )((  )2  2 ) 8xy  xy 16(x y )  (x y x y )((  )2 16) 2 (  xy x y  4) 0 

 (x y  4)(x2y2  4(x y )) 0   x y 4 0   (vì x y 0  nên x2y2 4(x y ) 0  )

Thay x+y=4 vào pt thứ 2 ta được :

0

3

2

3 0 (**)

12 4 5 3

x









3

3 0,

3

x

Vậy (*) có nghiệm x=2 suy ra hệ đã cho có một nghiệm duy nhất (x;y)=(2;2)

Câu 4

Câu 4.1

(1,0 đ)

1 c/m tứ giác IKMB nội tiếp

Ta có KMB 900 ( vì chắn nửa đường tròn (O)

Lại có KIB 900(gt) nên tứ giác IKMB nội tiếp (vì có 2 góc đối cùng vuông)

Câu 4.2

(2,5 đ)

2 c/m tâm F của (CKM) thuộc một đường cố định

Vẽ đường kính CE của (CKM) , ta có KE // AB ( vì cùng CD) MKE MAB  (đ/vị) Lại có MKE MCE (cùng chắn cung ME của (F) )

MAB MCB (cùng chắn cung MB của (O) )

Suy ra MCE MCB  C, E, B thẳng hàng C, F, B thẳng hàng

Suy ra F thuộc đường thẳng CB cố định

Câu 4.3

(2,0 đ) 3 Tính độ dài ngắn nhất của DFKẻ DHCB tại H  DH không đổi

Ta có DF  DH nên DF ngắn nhất bằng DH

2

CB

DH

9

3

R R

9

R

Câu 5

(2,0 đ)

Lấy điểm I đối xứng với D qua M , gọi K là trung điểm PI

Ta có PAB PAC  PM BC PID cân tại P

MQP sd ABP sd AB sdCP CDP DIP

Do đó tứ giác PMIQ nội tiếp Từ PMI 900 ta có PQI 900

Nếu PI=MQ thì MIQP là hình chữ nhật hay PQPM (điều này không xảy ra)

Vậy PD>MQ (đpcm)

Lưu ý: - Các cách giải đúng khác cho điểm tương đương với biểu điểm

- Điểm toàn bài không làm tròn

B

A

C D

M

O I

K