SKKN sử DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC hóa để GIẢI bài TOÁN tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT và GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của BIỂU THỨC đại số

Trong các đề thi học sinh giỏi và đặc biệt là đề thi THPT Quốc gia trongnhững năm gần đây, bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức đại số luôn

Trang 1

Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Lê Thị Hằng

A MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong học tập môn Toán thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của họcsinh là hoạt động tư duy giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảođồng thời rèn luyện phát triển trí tuệ

Trong các đề thi học sinh giỏi và đặc biệt là đề thi THPT Quốc gia trongnhững năm gần đây, bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm

số hoặc một biểu thức đại số luôn nằm trong cấu trúc của đề thi ở ít nhất mộttrong các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao

Như ta đã biết, nếu một hàm số, một biểu thức được cho hoặc chuyểnđược về dạng: hàm đại số đa thức, hữu tỷ,… thì việc tìm cực trị, giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất sẽ trở nên đơn giản vì ở những dạng đó ta sử dụng nhiều công cụhiệu quả: đồ thị, đạo hàm… thậm trí học sinh có thể sử dụng máy tính casio đểtìm ra đáp án Tuy nhiên cũng có những hàm đại số (đặc biệt là hàm đại số nhiềuẩn) thì việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng những phương pháp đồ thị,đạo hàm, biến đổi… thì không hiệu quả lắm Hoặc những câu hỏi nhằm tránhhọc sinh sử dụng máy tính casio cũng vậy Đây là nội dung mà đòi hỏi học sinhphải có tư duy sâu sắc, kiên trì, chịu khó tìm tòi ngay từ giả thiết đầu tiên Đốivới học sinh đây là mảng kiến thức khó nên thường không làm được hoặcthường để mất điểm trong các kì thi nói trên Trong những trường hợp này, nếuđiều kiện cho phép ta có thể sử dụng phương pháp lượng giác để giải Nội dungchính của phương pháp này là lượng giác hóa một số đại lượng trong bài toán tađưa việc tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số về tìmcực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức lượng giác đơn giản

Trong sách giáo khoa, sách bài tập cũng như sách tham khảo hầu hết chưahình thành cho học sinh cách thức để giải quyết các dạng, loại bài tập Vì vậydẫn đến học sinh sẽ ngại học Người thầy phải biết hướng dẫn học sinh nghiêncứu bài học và sắp xếp các bài tập có tính hệ thống thì sẽ giúp học sinh tự tinhơn khi giải bài tập

Từ những lí do trên tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:

“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MỨC ĐỘ VẬN DỤNG, VẬN

DỤNG CAO”.

1

Trang 2

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Góp phần tìm ra phương pháp dạy học thích hợp với học sinh Xây dựng,sắp xếp các bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặcmột biểu thức đại số giải bằng cách lượng giác hóa có tính hệ thống, thông qua

đó để phát huy trí tính tích cực, tư duy sáng tạo và năng lực giải bài tập cho họcsinh nhằm giúp học sinh có phương pháp để giải quyết các bài toán và tạo hứngthú cho học sinh, lôi kéo thêm số lượng các em hứng thú với môn toán, giúp họcsinh không phải e sợ dạng bài tập này và quan trọng hơn, đứng trước một bàitoán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làmbài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

+ Khai thác và xây dựng hệ thống bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức đại số giải bằng cách lượng giác hóa

+ Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

4 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài chủ yếu là học sinh khối lớp 12 nămhọc 2018 - 2019

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Đề tài kết hợp giữa các phương pháp nghiên cứu:

Trang 3

B NỘI DUNG PHẦN 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

Vậy max y b a đạt được khi sinx 1 x / 2 k 2 ( k Z )

miny b a đạt được khi sinx 1 x / 2 k 2 ( k Z )

y acos x b( a 0 ) Tập xác định của hàm số là

Vậy max y b a đạt được khi cos x 1 x k2 ( k ).

(3) Hàm số y atan x b( a 0 ) Tập xác định của hàm số là \ 2 k ,k Vì miền

giá trị của hàm tanx là và tanx là hàm đồng biến trên tập xác định, do đó chỉ

tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên trên đoạn

,X

Đặt t tan x,x , tan t tan .

(2) Hàm số

Trang 4

3

Trang 5

Bài toán trở thành xét giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc nhất trên một đoạn

(4) Hàm số y a cot x b( a 0 ) Tập xác định của hàm số là \ k ,k .

Vì miền giá trị của hàm cotx là và cotx là hàm nghịch biến trên toàn tập xác định Do đó chỉ tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y acotx b trên một đoạn ,X cot t cot y at b,t ,

Bài toán trở thành xét giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc nhất trên một đoạn

(5) Biểu thức bậc nhất đối với sinx và cosx

y = A(x) = asinx + bcosx + c

A( x ) a 2 b 2 .sin( x) c , với cos a ,sin b .

c a 2 b 2 A( x ) c a 2 b 2 Vậy min y c a 2 b 2 ,max y c a 2 b 2

(6) Biểu thức bậc 2 thuần nhất của sinx và cosx

y A( x ) a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x d ( a,b,c 0 ,TXĐ X )

b sin2x c a cos 2x a c 2d

Đưa về dạng bậc nhất đối với sin2x và cos2x

(7) Biểu thức đối xứng của sinx và cosx

y A( x ) a(sin x cos x ) b.sin xcos x c( a,b 0,TXĐ : X).

Đặt t sin x cos x 2 sin x , t 2

2

Ta có: y f ( t ) b t 2 a.t 2c b .

Khi đó y là hàm bậc hai đối với t, xác định trên 2 , 2 tùy theo giá trị cụ

thể của a, b, c ta suy ra được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y.Bài toán tương tự:

y A( x ) a(sin x cos x ) b.sin xcos x c( a,b 0,TXĐ X ).

1.3 Một số kỹ năng khi sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Một điểm chú ý khi sử dụng phương pháp này là cần lưu ý đến điều

kiện tồn tại của ẩn phụ là các hàm số lượng giác

* Chú ý giới hạn cung, góc và điều kiện

* Các công thức lượng giác

* Một số bất đẳng thức cổ điển như Côsi, Bunhiacopxki,

4

Trang 6

* Điều kiện có nghiệm của phương trình a sinx bcosx c là

x 2 y 2 a 2 x a sint và y a cos t ,

+ Nếu có x 2 y 2 b 2 x 2 y 2 a 2 b 2 , x a sint và y a cos t ,

xx tant hay cot t

+ Nếu biểu thức có điều kiện ab bc ac 1 đặt

a tan ;b tan ;c tan ,.

t 0; \

Trang 7

5

Trang 8

x 2 1 cost 1 1 cost sint

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có cos 2 t

u sin 1 coscos 1 sin

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta thu được:

u 2 sin 2 cos 2 2 sin cos

Vậy

u 2 2 2.

Trang 9

Trang 10

ac bd 20 sin cos 20 cos sin 20 sin 20 Từ giả thiết ac bd 20

Trang 11

Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Lê Thị Hằng Lời giải Vì a2 b 2 1 nên đặt a sin , b cos ta có

P 20 sin 3 15sin 36 cos 48cos 3

5 3sinsin3 15sin 36 cos 12 cos3 3cos 5 sin3 12cos3 5sin3 12cos3 5 2 12 2 13.

Dấu “=” xảy ra khi sin3 cos3 tan3 5 (tồn tại).

Lời giải Đặt x cos ; y sin , 0,2 và:

T 16 sin 5 cos 5 20 sin 3 cos 3 5 sin cos .

Ta có

sin5 16 sin 5 20 sin 3 5 sin cos5 16 cos 5 20cos 3 5cos Nên ta được T cos5 sin5 2 sin 5 4 Từ đó:

* minT 2, dấu “=” xảy ra khi

Trang 12

9

Trang 13

Lời giải Đặt a tan , b tan , với , , , ta có

cos cos sinsin sin sin

Trang 14

max x z 5 2 cos sin

f x,y cos 2 4tan 4 4 sin cos 4cos 2

f x,y 2 sin2 2 2cos 2 2 sin2 2cos 2 2.

Trang 15

Trang 16

1 tan 2 1 tan 2 1 tan 2

1 1 (cos A cos B sinC sin ) 3

Trang 17

13

Trang 18

Trang 19

14

Trang 20

Lời giải Vì sự có mặt của 1 x 2 và 1 y 2 và tập xác định của hàm số lànên ta đặt:

x tan P tan tan 1 tan tan

1 tan 2 1 tan 2

y tan

.cos -sin sin

Trang 21

Trang 22

C THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1 Tổ chức thực nghiệm.

Tổ chức thực nghiệm được tiến hành từ tháng 10 năm 2018 đến tháng 12 năm 2018 tại trường THPT Yên Định 1, huyện Yên Định gồm:

+ Lớp thực nghiệm 12A3 dạy theo triển khai đề tài

Lớp đối chứng 12A5 giảng dạy bình thường theo truyền thống

+ Trình độ học sinh được chọn ở các lớp tương đương nhau Các lớp này được tiến hành kiểm tra trước và sau khi dạy và triển khai đề tài này

2 Kết quả thực nghiệm

Hoạt động học tập của học sinh nhìn chung diễn ra khá sôi nổi không gâycảm giác áp đặt Việc sử dụng các biện pháp nhận được sự hứng thú của họcsinh trong giải toán và học toán

Kết quả kiểm tra

- Trong giờ dạy thực nghiệm học sinh có hứng thú học tập hơn, nhiều họcsinh trước đây ngại học nay đã có ý thức học tập tốt hơn, những học sinh khácàng say sưa và sáng tạo trong học tập, kết quả được nâng lên rõ rệt Không khílớp học sôi nổi và bài học thực sự mang lại cho các em những kiến thức bổ ích,

Trang 23

kích thích tính sáng tạo, tìm tòi của học sinh, góp phần tạo sự cộng tác chặt chẽ giữa giáo viên và học sinh, giữa các học sinh với nhau

- Rèn luyện tư duy độc lâp, rèn luyện tính linh hoạt và phê phán trong tư duy Giúp cac em tự tin hơn khi gặp bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức đại số trong đề thi THPT QG ở mức độvận dụng, vận dụng cao thuộc dạng này

- Nhà trường tạo điều kiện về trang thiết bị dạy học để giáo viên có điều kiện thực hiện các phương pháp dạy học mới

XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 12 tháng 05 năm 2019

CỦA THỦ TRƯỞNG Tôi xin cam đoan đây là SKKN củaĐƠN VỊ mình viết, không sao chép nội dung của người

khác

18

Trang 24

Lê Thị Hằng Tài liệu tham khảo

1 Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông, Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất

bản Giáo Dục

2 Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh –

Đoàn Quỳnh – Ngô Xuân Sơn – Đặng Hùng Thắng – Lưu Xuân Tình (2007),

Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục.

3 Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan – Trần Phương Dung - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng, Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, Nhà

xuất bản Giáo Dục

4 Trần Thành Minh – Trần Quang Nghĩa – Lâm Văn Triệu – Dương Quốc Tuấn (2001), Giải toán lượng giác, Nhà xuất bản Giáo Dục.

5 Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phan Văn Hạp –

Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê

Đình Thịnh (2000), Phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập 1, Nhà xuất bản

Đại học Quốc Gia Hà Nội

6 Nguyễn Thái Hòe, Dùng ẩn phụ để giải toán, Nhà xuất bản Giáo dục.

7 Nguyễn Văn Quý - Nguyễn Tiến Dũng - Nguyễn Việt Hà, Phương pháp giải toán bất đẳng thức – Cực trị.

8 Phan Huy Khải (1994), 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức, Nhà

in SGK Đông Anh, Hà Nội

9 Đề thi tuyển sinh.

10 Nguyễn Thu Hà (2002), dạy học các bài toán cực trị và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức lượng giác, luận văn tốt nghiệp, trường đại

học sư phạm Hà Nội

11 Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Toán học, Nhà xuất bản Giáodục

12 Võ Anh Khoa – Hoàng Bá Minh (2011), Lượng giác - Một số

chuyên đề và ứng dụng, tập 3, Nhà xuất bản Thành phố Hồ Chí Minh.

Trang 25

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

………

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP NGÀNH ………

………

20

Trang 26

DANH MỤC CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA TÁC GIẢ ĐÃ

ĐƯỢC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA XẾP LOẠI NHỮNG

NĂM TRƯỚC ĐÂY

Năm cấp Xếp loại quyết định công nhận, cơ Sáng kiến

3 Khai thác và xây dựng các 2016 B Quyết định số

972/QĐ-bài tập hình học không gian có tính SGD&ĐT ngày 24/11/2016

hệ thống để phát triển tư duy sáng Cơ quan ban hành quyết định:tạo, tính tích cực và năng lực giải Sở Giáo dục và Đào tạo

bài tập cho học sinh lớp 11 và học Thanh Hóa

sinh lớp 12 ôn thi đại học

Trang 27

Trang 28

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH I

-

-SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MỨC ĐỘ VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO”.

Người thực hiện: Lê Thị Hằng Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	1,34 MB