SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC hóa để GIẢI bài TOÁN tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT và GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của BIỂU THỨC đại số

Trong các đề thi học sinh giỏi và đặc biệt là đề thi THPT Quốc gia trongnhững năm gần đây, bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức đại số luôn

A MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong học tập môn Toán thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của họcsinh là hoạt động tư duy giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảođồng thời rèn luyện phát triển trí tuệ

Trong các đề thi học sinh giỏi và đặc biệt là đề thi THPT Quốc gia trongnhững năm gần đây, bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm

số hoặc một biểu thức đại số luôn nằm trong cấu trúc của đề thi ở ít nhất mộttrong các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao

Như ta đã biết, nếu một hàm số, một biểu thức được cho hoặc chuyểnđược về dạng: hàm đại số đa thức, hữu tỷ,… thì việc tìm cực trị, giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất sẽ trở nên đơn giản vì ở những dạng đó ta sử dụng nhiều công cụhiệu quả: đồ thị, đạo hàm… thậm trí học sinh có thể sử dụng máy tính casio đểtìm ra đáp án Tuy nhiên cũng có những hàm đại số (đặc biệt là hàm đại số nhiềuẩn) thì việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng những phương pháp đồ thị,đạo hàm, biến đổi… thì không hiệu quả lắm Hoặc những câu hỏi nhằm tránhhọc sinh sử dụng máy tính casio cũng vậy Đây là nội dung mà đòi hỏi học sinhphải có tư duy sâu sắc, kiên trì, chịu khó tìm tòi ngay từ giả thiết đầu tiên Đốivới học sinh đây là mảng kiến thức khó nên thường không làm được hoặcthường để mất điểm trong các kì thi nói trên Trong những trường hợp này, nếuđiều kiện cho phép ta có thể sử dụng phương pháp lượng giác để giải Nội dungchính của phương pháp này là lượng giác hóa một số đại lượng trong bài toán tađưa việc tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số về tìmcực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức lượng giác đơn giản

Trong sách giáo khoa, sách bài tập cũng như sách tham khảo hầu hết chưahình thành cho học sinh cách thức để giải quyết các dạng, loại bài tập Vì vậydẫn đến học sinh sẽ ngại học Người thầy phải biết hướng dẫn học sinh nghiêncứu bài học và sắp xếp các bài tập có tính hệ thống thì sẽ giúp học sinh tự tinhơn khi giải bài tập

Từ những lí do trên tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:

“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI

BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO”.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Góp phần tìm ra phương pháp dạy học thích hợp với học sinh Xây dựng,sắp xếp các bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặcmột biểu thức đại số giải bằng cách lượng giác hóa có tính hệ thống, thông qua

đó để phát huy trí tính tích cực, tư duy sáng tạo và năng lực giải bài tập cho họcsinh nhằm giúp học sinh có phương pháp để giải quyết các bài toán và tạo hứngthú cho học sinh, lôi kéo thêm số lượng các em hứng thú với môn toán, giúp họcsinh không phải e sợ dạng bài tập này và quan trọng hơn, đứng trước một bàitoán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làmbài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

+ Khai thác và xây dựng hệ thống bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất của một hàm số hoặc một biểu thức đại số giải bằng cách lượng giác hóa

+ Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

4 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài chủ yếu là học sinh khối lớp 12 nămhọc 2018 - 2019

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Đề tài kết hợp giữa các phương pháp nghiên cứu:

+ Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu, các sách giáo khoa, sáchbài tập, sách bồi dưỡng nâng cao

+ Điều tra, quan sát:Thăm lớp, dự giờ, trao đổi với các giáo viên nhiềukinh nghiệm

+ Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua những giờ dạy ở cáclớp 12, trường THPT Yên Định 1 - Huyện Yên Định - Tỉnh Thanh Hóa

B NỘI DUNG PHẦN 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài toán trở thành xét giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bậcnhất trên một đoạn.

(5) Biểu thức bậc nhất đối với sinx và cosx

y = A(x) = asinx + bcosx + c

Vậy min y c  a 2 b ,max y c 2   a 2 b 2

(6) Biểu thức bậc 2 thuần nhất của sinx và cosx

Đưa về dạng bậc nhất đối với sin2x và cos2x

(7) Biểu thức đối xứng của sinx và cosx

 2 , 2 tùy theo giá trị cụthể của a, b, c ta suy ra được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y.Bài toán tương tự:

y A( x ) a(sin x cos x ) b.sin xcos x c( a,b 0 XĐ ,T X ).

1.3 Một số kỹ năng khi sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Một điểm chú ý khi sử dụng phương pháp này là cần lưu ý đến điều kiện tồn tại của ẩn phụ là các hàm số lượng giác

* Chú ý giới hạn cung, góc và điều kiện

* Các công thức lượng giác

* Điều kiện có nghiệm của phương trình a sinx bcosx c  là

 

+ Nếu x thỏa mãn: x a thì đặt x a cost với 0 t .

+ Nếu x thỏa mãn: x a hoặc biểu thức chứa lượng x 2  a thì đặt 2

PHẦN 2 CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP 2.1 Các ví dụ:

Ví dụ 1 Cho x > 1, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2 x

u sin 1 cos cos 1 sin

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta thu được:

 

ac bd 20 sin cos 20 cos sin 20 sin 20.

Từ giả thiết ac bd 20  suy ra

cos cos cos sin cos sin 1

Lời giải Vì a 2 b 2 1 nên đặt a sin , b cos ta có   

P 20 sin 15 sin 36 cos 48cos

5 3 sin sin3 15 sin 36 cos 12 cos3 3cos

5 sin3 12cos 3 5 sin3 12cos3 5 12 13.

Lời giải Đặt a tan , b tan    , với     

f x, y cos 4tan 4 4 sin cos 4 cos

2 sin 2 2 2cos 2 2 sin 2 2cos 2 2.

a b cos t sin t cos t sin t sin t cos t

1 b 1 a 1 sin t 1 cos t 1 sin t cos t sin t cos t

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sin2t = 0

2 2 C

1 1 ,

2  2 D 1, -1.

Lời giải Vì sự có mặt của 1 x 2 và 1 y 2 và tập xác định của hàm số là nên ta đặt:

1 2x 2xy





Bài 3 Cho x,y 0 và x y 1.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 5 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

2 4

C THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

1 Tổ chức thực nghiệm.

Tổ chức thực nghiệm được tiến hành từ tháng 10 năm 2018 đến tháng 12

năm 2018 tại trường THPT Yên Định 1, huyện Yên Định gồm:

+ Lớp thực nghiệm 12A3 dạy theo triển khai đề tài

Lớp đối chứng 12A5 giảng dạy bình thường theo truyền thống

+ Trình độ học sinh được chọn ở các lớp tương đương nhau Các lớp nàyđược tiến hành kiểm tra trước và sau khi dạy và triển khai đề tài này

2 Kết quả thực nghiệm

Hoạt động học tập của học sinh nhìn chung diễn ra khá sôi nổi không gâycảm giác áp đặt Việc sử dụng các biện pháp nhận được sự hứng thú của họcsinh trong giải toán và học toán

Kết quả kiểm tra

- Trong giờ dạy thực nghiệm học sinh có hứng thú học tập hơn, nhiều họcsinh trước đây ngại học nay đã có ý thức học tập tốt hơn, những học sinh khácàng say sưa và sáng tạo trong học tập, kết quả được nâng lên rõ rệt Không khílớp học sôi nổi và bài học thực sự mang lại cho các em những kiến thức bổ ích,

kích thích tính sáng tạo, tìm tòi của học sinh, góp phần tạo sự cộng tác chặt chẽgiữa giáo viên và học sinh, giữa các học sinh với nhau

D KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

1 Kết luận :

Sáng kiến kinh nghiệm “Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải

bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số trong

đề thi THPT Quốc Gia mức độ vận dụng, vận dụng cao” của tôi đã giải

quyết được những vấn đề sau:

- Góp phần tìm ra phương pháp dạy học thích hợp với học sinh Xâydựng, sắp xếp các bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm sốhoặc một biểu thức đại số giải bằng cách lượng giác hóa có tính hệ thống, thôngqua đó để phát huy trí tính tích cực, tư duy sáng tạo và năng lực giải bài tập chohọc sinh nhằm giúp học sinh có phương pháp để giải quyết các bài toán và tạohứng thú cho học sinh, lôi kéo thêm số lượng các em hứng thú với môn toán,giúp học sinh không phải e sợ dạng bài tập này và quan trọng hơn, đứng trướcmột bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trướckhi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán

- Rèn luyện tư duy độc lâp, rèn luyện tính linh hoạt và phê phán trong tư duy.

Giúp các em tự tin hơn khi gặp bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củamột hàm số hoặc một biểu thức đại số trong đề thi THPT QG ở mức độ vậndụng, vận dụng cao thuộc dạng này

- Nhà trường tạo điều kiện về trang thiết bị dạy học để giáo viên có điềukiện thực hiện các phương pháp dạy học mới

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 12 tháng 05 năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung của người

khác

Lê Thị Hằng Tài liệu tham khảo

1 Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng

Hùng Thắng – Trần Văn Vuông, Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất

bản Giáo Dục

2 Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh –Đoàn Quỳnh – Ngô Xuân Sơn – Đặng Hùng Thắng – Lưu Xuân Tình (2007),

Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục.

3 Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan – Trần Phương Dung - Nguyễn

Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng, Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, Nhà

xuất bản Giáo Dục

4 Trần Thành Minh – Trần Quang Nghĩa – Lâm Văn Triệu – Dương

Quốc Tuấn (2001), Giải toán lượng giác, Nhà xuất bản Giáo Dục.

5 Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phan Văn Hạp –Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê

Đình Thịnh (2000), Phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập 1, Nhà xuất bản

Đại học Quốc Gia Hà Nội

6 Nguyễn Thái Hòe, Dùng ẩn phụ để giải toán, Nhà xuất bản Giáo dục.

7 Nguyễn Văn Quý - Nguyễn Tiến Dũng - Nguyễn Việt Hà, Phương pháp giải toán bất đẳng thức – Cực trị

8 Phan Huy Khải (1994), 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức, Nhà

in SGK Đông Anh, Hà Nội

9 Đề thi tuyển sinh

10 Nguyễn Thu Hà (2002), dạy học các bài toán cực trị và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức lượng giác, luận văn tốt nghiệp, trường đại

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

………

………

………

………

………

………

………

………

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP NGÀNH ………

………

………

………

………

………

………

………

DANH MỤC CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA TÁC GIẢ

ĐÃ ĐƯỢC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA XẾP LOẠI

NHỮNG NĂM TRƯỚC ĐÂY

Tên đề tài Sáng kiến Năm cấp Xếp loại

Số, ngày, tháng, năm của quyết định công nhận, cơ quan ban hành QĐ

1 Góp phần phát triển tư duy

sáng tạo cho học sinh qua dạy học

đường vuông góc chung của hai

đường thẳng chéo nhau - khoảng

cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau

2005 C

Quyết định số GDCN ngày 19/4/2005

132/QĐKH-Cơ quan ban hành quyết định:

Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa

2 Phát triển tư duy cho học

sinh lớp 10 ban khoa học tự nhiên

qua dạy học giải phương trình vô

tỷ

2008 C

Quyết định số SGD&ĐT ngày 19/12/2007

462/QĐ-Cơ quan ban hành quyết định:

Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa

3 Khai thác và xây dựng các

bài tập hình học không gian có tính

hệ thống để phát triển tư duy sáng

tạo, tính tích cực và năng lực giải

bài tập cho học sinh lớp 11 và học

sinh lớp 12 ôn thi đại học

972/QĐ-SGD&ĐT ngày 24/11/2016

Cơ quan ban hành quyết định:

Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH I

- -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MỨC ĐỘ

VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO”.

Người thực hiện: Lê Thị Hằng

Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán