Hệ thống ứng dụng của một số hàm toán đặc biệt trong giải các bài toán biên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHKHOA VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ THỐNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ HÀM TOÁN ĐẶC BIỆT TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN VŨ HOÀNG THANH TRANG Thàn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

HỆ THỐNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ

HÀM TOÁN ĐẶC BIỆT TRONG VIỆC

GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN

VŨ HOÀNG THANH TRANG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

HỆ THỐNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ

HÀM TOÁN ĐẶC BIỆT TRONG VIỆC

GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN

Tổ bộ môn: Toán lý

Người hướng dẫn: TS Lương Lê Hải

Sinh viên thực hiện: Vũ Hoàng Thanh Trang

MSSV: 42.01.102.119

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020

LỜI MỞ ĐẦU

Để khóa luận đạt kết quả như hôm nay, trong quá trình bắt đầu và hoàn thiện

em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từ quý thầy cô, bạn bè và gia đình Em xingửi lời cảm ơn chân thành đến:

Đầu tiên là thầy Lương Lê Hải - giảng viên định hướng và trực tiếp hướng dẫn

em trong suốt quá trình làm khóa luận Thầy luôn đồng hành giúp đỡ, động viên,chỉ dẫn tận tâm khi em gặp vấn đề khó hiểu Ngoài ra, em còn nhận được từ thầy

sự tự tin, kinh nghiệm sống và niềm đam mê nghiên cứu khoa học

Thứ hai, các thầy, cô trong Khoa Vật lý đã giảng dạy, truyền cho em nhữngkiến thức chuyên môn nền tảng, kĩ năng, phương pháp để em có thể vững bướcvào nghề trong tương lai

Cùng với đó là gia đình và bạn bè thân thiết luôn bên cạnh và giúp đỡ em trongthời gian qua

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn

Tp.HCM, ngày 30 tháng 06 năm 2020

gdggjsdgbgvvvfbfbbfbfgjhjhsdghfdfgsygdysysfysghf Vũ Hoàng Thang Trang

Mục lục

1.1 Hàm Bessel và các hàm trụ 5

1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm Bessel 6

1.1.2 Các hàm trụ khác 10

1.2 Đa thức Legendre 12

1.2.1 Đa thức trực giao cổ điển Legendre 12

1.2.2 Đa thức Legendre liên hợp 16

1.3 Hàm cầu 19

1.3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm cầu 19

1.3.2 Hàm riêng của quả cầu 23

2 Ứng dụng của các hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán biên 25 2.1 Bài toán về sự làm nguội của hình trụ tròn dài vô hạn 25

2.2 Bài toán khảo sát sự rung động của bề mặt trống 29

2.3 Bài toán tán xạ vô hướng trên phỏng cầu dài 34

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của vật lý lý thuyết và vật lý toán việc

sử dụng các hàm toán đặc biệt đã trở nên rất cần thiết [1] Tầm quan trọng củacác hàm đặc biệt này có liên quan đến hai yếu tố cơ bản Thứ nhất, khi khảo sátcác mô hình toán học của các hiện tượng vật lý xảy ra trong tự nhiên, ban đầuchúng ta cần khảo sát những bài toán đã được đơn giản hóa, tức là những bài toán

mà nghiệm của chúng có thể tìm được ở dạng giải tích (nghiệm chính xác) Thứhai, những bài toán đã được đơn giản hóa này có thể được sử dụng như là phépthử (hàm cơ sở) hữu hiệu cho việc lựa chọn những thuật toán số học để giải quyếtnhững bài toán vật lý phức tạp hơn

Trong quá trình khảo sát những bài toán vật lý lý thuyết hay vật lý toán chúng

ta thường sử dụng những hàm đặc biệt khác nhau Nghiệm của nhiều bài toán vật

lý quan trọng có liên quan đến các vấn đề như nghiên cứu các quá trình truyềnnhiệt và tương tác bức xạ với các chất [2], sự lan truyền của các sóng điện từ vàsóng âm [3], khảo sát lý thuyết phản ứng hạt nhân và cấu trúc bên trong của cácsao, dẫn đến việc tìm hàm riêng của bài toán Sturm – Liouville chứa phương trìnhLaplace hay Helmholts, mà có thể được tìm thấy ở dạng giải tích chỉ đối với một

số lượng nhỏ các miền khảo sát [4]

Trong các trường hợp các miền khảo sát có dạng đơn giản nhất, như là đoạnthẳng, hình chữ nhật hay hình bình hành thì các nghiệm hàm này được biểu diễnthông qua các hàm sơ cấp cơ bản Đối với những miền có dạng hình tròn, hình trụ,hình cầu hay những miền phức tạp hơn thì các hàm riêng được biểu diễn thôngqua các hàm đặc biệt [5] Trong thực tiễn những hàm đặc biệt thường đóng vai trònhư là nghiệm của những phương trình vi phân khác nhau của các bài toán vật lý

Từ đó, có thể thấy các hàm đặc biệt có ứng dụng vô cùng to lớn trong các ngànhkhoa học tự nhiên, đặc biệt là vật lý lý thuyết và vật lý toán Vì vậy việc khảo sát

và nghiên cứu một số hàm toán đặc biệt trong việc ứng dụng giải các bài toán vật

lý là một nhiệm vụ thiết yếu của người nghiên cứu khoa học tự nhiên

Trong đề tài khóa luận này chúng tôi sẽ khảo sát những hàm toán đặc biệt

thường được sử dụng, như hàm Bessel, tổng quát hơn là hàm trụ, đa thức liên hợpLegendre, là cơ sở để tạo ra hàm cầu và những ứng dụng của chúng trong việc giảiquyết các vấn đề trong vật lý toán, vật lý lý thuyết, vật lý lượng tử có chứa bàitoán biên đối với phương trình Helmholts.

2 Đối tượng và phương pháp nghiên cứu

Khóa luận nghiên cứu các hàm toán đặc biệt, tìm hiểu định nghĩa và tính chấtcủa các chúng

Khóa luận còn khảo sát ứng dụng của các hàm toán này trong việc giải các bàitoán biên

3 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 49 trang, 15 hình và 3 bảng được thể hiện qua hai chương:Chương 1: Hệ thống một số hàm toán đặc biệt

Giới thiệu một số hàm toán đặc biệt thường được sử dụng trong vật lý lý thuyết

và vật lý toán như hàm Bessel hay tổng quát hơn là hàm trụ, đa thức Legendre cổđiển, đa thức Legendre liên hợp và hàm cầu

Chương 2: Ứng dụng của một số hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toánbiên

Trình bày ứng dụng của các hàm toán đặc biệt thông qua việc giải một số bàitoán biên như bài toán truyền nhiệt trong một hình trụ dài vô hạn, bài toán khảosát sự rung động của bề mặt trống và bài toán tán xạ vô hướng trên phỏng cầudài

Cuối cùng là phần kết luận và hướng phát triển của đề tài

Chương 1

Hệ thống một số hàm toán đặc biệt

∂y 2 = λu + f (x, y).

Trong hệ tọa độ cực (r, ϕ) thì phương trình đã cho có dạng

−1r

với u(r, ϕ) = u(r cos ϕ, r sin ϕ) ˜

Nếu nghiệm hàm u(r) ˜ không phụ thuộc vào ϕ và f = 0 thì phương trình đã chotrở thành

u00(r) +1

ru

0 (r) + λu(r) = 0.

Phương trình này được xem như là trường hợp riêng của phương trình Bessel

Ta có phương trình Bessel ở dạng tổng quát

x2u00+ xu0+ (x2− ν2)u = 0. (1.1)

Mỗi nghiệm hàm khác 0 của phương trình Bessel được gọi là hàm trụ.

1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm BesselXét các tính chất cơ bản của hàm Bessel và các hàm trụ Vì phương trình (1.1)

có điểm đặc biệt x = 0, nên nghiệm hàm u(x)của nó có thể được biểu diễn ở dạngchuỗi lũy thừa tổng quát

hợp σ = ν, khi đó, trong biểu thức (1.6) cho k = 2p, ta thu được

x 2

ta cũng sẽ đi đến định nghĩa sau

Định nghĩa: Chuỗi (1.10), ứng với σ = −ν

x 2

2k−ν

(1.11)

Hình 1.1 Hàm Bessel loại một J n (x) ứng với n = 0, 1, 2.

là hàm Bessel loại hai bậcν

Hình 1.2 Hàm Bessel loại hai Yn(x) ứng với n = 0, 1, 2

Khiν nhận giá trị không nguyên (ν 6= ±1, ±2 ) thì hàm Yν(x)là nghiệm thứ haicủa phương trình Bessel Nghiệm này sẽ độc lập tuyến tính với hàm Bessel loạimột J ν (x) nên các hàm J ν (x) và Y ν (x) sẽ hình thành một hệ nghiệm cơ bản củaphương trình Bessel bậc ν

x 2

x 2



= √ π

x 2

2k+12

=

r

2 πx

∞

X

k=0

(−1)k(2k + 1)!x

r

2

πxsin x.

Pn1x

h

cosx − πν

2 − π4



+ O1x

−1 )
,

K ν (x) =

r

π 2xe

−x

1 + O(x−1)
.

(1.18)

Một bộ đôi hàm số bất kỳ từ bộ các hàm số Jν(x), Nν(x), Hν(1)(x), Hν(2)(x) tạothành hệ nghiệm cơ bản của phương trình Bessel với mọi giá trị của ν Từ đó ta

có công thức nghiệm tổng quát của phương trình Bessel là

u(x) = C1Jν(x) + C2Nν(x)

hoặc

u(x) = C1Hν(1)(x) + C2Hν(2)(x).

Nếu trong phương trình Bessel, ta thay x bởi ix, thì các hàm Infeld và Macdonald

sẽ tạo thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình, từ đó ta có nghiệm tổng quát

x 2

x 2

2Γ(ν)

x 2

−ν

, ν > 0.

1.2.1 Đa thức trực giao cổ điển Legendre

Trong các bài toán vật lý toán và vật lý lý thuyết, đa thức Legendre là một hệ

đa thức hoàn chỉnh và trực giao Đa thức Legendre có thể được định nghĩa theonhiều cách khác nhau và mỗi cách định nghĩa làm nổi bật các tính chất cũng nhưnhững ứng dụng khác nhau trong việc giải các bài toán biên

Ta sẽ tìm hiểu định nghĩa và các tính chất của đa thức Legendre thông qua

phương trình vi phân của bài toán Sturm–Liouville

d dx

Thật vậy, từ công thức truy hồi (1.22), khi λ = n(n + 1), ta có

Xét một số tính chất của đa thức Legendre [11]

1 Các đa thức Legendre trực giao trên đoạn [−1; 1] với trọng số p(x) = 1, tức là

−1

= 0,

khi n 6= m

2 Đa thức Legendre hoặc là đa thức chẵn hoặc là đa thức lẻ

3 Đa thức Legendre thỏa mãn công thức Rodrigues [12]

từ đây suy ra hàm u(n)(x) là nghiệm của phương trình Legendre khi q = n(n + 1),

và u(n)(x) là đa thức bậc n, trùng với đa thức Legendre

4 Đa thức Ledendre Pn(x) có n không điểm khác nhau trong đoạn [−1; 1]

Hình 1.3 Đồ thị đa thức Legendre Pn(x) ứng với n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

1.2.2 Đa thức Legendre liên hợp

Trong toán học, đa thức Legendre liên hợp là nghiệm chính tắc của phươngtrình Legendre tổng quát

Trong đó các hệ số n và m là các số nguyên Phương trình (1.27) (hay (1.28))

có các nghiệm khác không chỉ trên đoạn [−1, 1] khi n và m nguyên với 0 ≤ m ≤ n.Khim là số chẵn thì hàm Pn(m)(x) là một đa thức, khi m = 0 và n nguyên thì hàm

số chính là đa thức trực giao cổ điển Legendre (đã được khảo sát ở mục1.2.1).Phương trình vi phân Legendre thường được gặp trong các bài toán vật lý toán

và các bài toán vật lý lý thuyết Cụ thể, nó xuất hiện trong việc giải phương trìnhLaplace (và phương trình vi phân đạo hàm riêng) trong hệ tọa độ cầu Các đa thức

Legendre liên hợp đóng vai trò quan trọng trong việc định nghĩa hàm cầu.

Định nghĩa các tham số nguyên không âm n và m

Đa thức Legendre liên hợp được biểu diễn qua đa thức Legendre cổ điển nhưsau

P n(m)(x) = (−1)m(1 − x2)m2 dm

Các hàm số này trong biểu thức (1.29) thỏa mãn phương trình vi phân Legendrevới các giá trị xác định của các tham sốnvà mbằng cách lấy vi phânmlần phươngtrình Legendre đối với Pn(x) [13]

Phương trình này cho phép mở rộng giới hạn của m thành: −n ≤ m ≤ n

Ta có biểu thức liên hệ giữa P n(−m)(x) và P n(m)(x)

Ngoài ra, đa thức Legendre liên hợp còn thỏa mãn điều kiện trực giao khi cố

m(m − m)! với m = p 6= 0,

∞ với m = p = 0.

Một số hàm đa thức Legendre liên hợp

Hình 1.4 Đa thức Legendre liên hợp với m = 1 (bên trái) và m = 2 (bên phải).Một số hàm đa thức Legendre liên hợp đầu tiên với các giá trị nguyên âm vànguyên dương của m

Đồ thị của các hàm đa thức Legendre liên hợp với các giá trị khác nhau của m

và n được biểu diễn trên hình (1.4)

1.3 Hàm cầu

1.3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm cầuHàm cầu là phần góc của họ các hàm trực giao trong phương trình Laplace, đượcbiểu diễn trong hệ tọa độ cầu Hàm cầu được sử dụng rộng rãi trong việc nghiêncứu các hiện tượng vật lý trong các miền không gian được giới hạn bởi các bề mặtcầu và trong lời giải của các bài toán vật lý có tính đối xứng cầu Hàm cầu đóngvai trò quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng và trongvật lý lý thuyết, đặc biệt trong các bài toán tính toán quỹ đạo của electron trongnguyên tử, trọng trường của Geoid [14], từ trường của các hành tinh và cường độbức xạ di tích

d dr



r2dRdr

Phương trình (1.34) là bài toán Sturm–Liouville trên mặt cầu đơn vị: 0 < θ <

π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, với điều kiện tuần hoàn

và hàm riêng ynm(cos θ) = Pn(m)(cos θ) với m ≤ n.

Ta viết lại biểu thức của hệ hàm cầu bậc n

Yn(m)(θ, ϕ) = Pn(|m|)(cos θ) expimϕ, (−n ≤ m ≤ n). (1.41)Hàm riêng của bài toán (1.38) có thể được viết ở dạng lượng giác:

m = 0, n.

Trong trường hợp này, ta quy ước rằng chỉ số trên dương của hàm Yn(m)(θ, ϕ)

tương ứng với việc nhân chosin mϕ còn chỉ số trên âm thì nhân cho cos mϕ, tức là

Yn(m)(θ, ϕ) = Pn(|m|)(cos θ) sin mϕ, (1.42)

Y n(−m)(θ, ϕ) = P n(|m|)(cos θ) cos mϕ, m = 0, n. (1.43)Biểu thức của một số hàm cầu trong hệ tọa độ cầu

iϕ , Y2(−2)(θ, ϕ) = 1

4

r

15 2π sin

iϕ , Y2(2)(θ, ϕ) = 1

4

r

15 2πsin

2 θe2iϕ.

Đồ thị của một số hàm cầu dưới dạng hình chiếu trong hệ tọa độ Descartes (2D)

và trong hệ tọa độ cầu (3D) được biểu diễn ở hình (1.5)

Xét sự đầy đủ của hệ hàm lượng giác và hệ phương trình Legendre liên hợp, tacông nhận định lý sau

Định lý (về tính đầy đủ của hàm cầu)

Hệ hàm cầu đầy đủ trên mặt cầu đơn vị

X

: [0 ≤ θ < π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π],

ˆ π 0

ˆ 2π 0

Y(m1 )

n 1 (θ, ϕ)Y(m2 )

n 2 (θ, ϕ) sin θdθdϕ = 0,

khi m1 6= m2, n16= n2.

Đối với hàm cầu, ta có định lý khai triển Steklov

Định lý Steklov (khai triển theo các hàm cầu)

Nếu f (θ, ϕ) – hàm số biến thiên hữu hạn trên mặt cầu đơn vị P và khả tíchtuyệt đối trên P, thì tại các điểm liên tục hàm này có thể được khai triển thànhchuỗi hội tụ đều theo các hàm cầu:

Chuỗi này còn được gọi là chuỗi Laplace

1.3.2 Hàm riêng của quả cầu

Xét phương trình Laplace trong quả cầu bán kính r0



r2dRdr

Phương trình (1.49) được gọi là phương trình Euler

Nghiệm của phương trình này được tìm ở dạng

Thay (1.50) vào (1.49) và rút gọn cho rσ, ta được phương trình đặc trưng

σ(σ + 1) − n(n + 1) = 0,

phương trình đặc trưng này có nghiệm σ = n và σ = −(n + 1)

Từ đó, ta thu được hai hệ nghiệm riêng của phương trình Laplace

Chương 2

Ứng dụng của các hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán biên

Trong phần này chúng ta sẽ xét một số ứng dụng của các hàm toán đặc biệtđược thể hiện qua việc giải các bài toán vật lý

dài vô hạn

Hình 2.1 Sự truyền nhiệt trong hình trụ Xét bài toán về sự làm nguội của hình trụ tròn dài vô hạn có bán kính r0 vànhiệt độ trên bề mặt của hình trụ bằng không, còn nhiệt độ ban đầu chỉ phụ thuộc

vào khoảng cách từ điểm đang khảo sát đến trục của hình trụ được mô tả bởiphương trình truyền nhiệt [9]

hàm toán tử Laplace trong hệ tọa độ cực có dạng

dR

dr +

1 R

r0 , k = 1, ∞

và hàm riêng tương ứng

Rk(r) = CkJ0 µ

(0) k

r0 r

!

= ϕ(r).

Hệ số khai triển Fourier Ak được xác định theo hệ trực giao tổng quát

đồ thị được biểu diễn như trên hình (2.2)

Code thuật toán trên chương trình phần mềm Maple được trình bày ở phần phụlục A (trang 44)

trống

Một màng đàn hồi hai chiều dưới sức căng có thể tạo ra các rung động (dao động)ngang Các tính chất của một mặt trống lý tưởng có thể được mô hình hóa bằngcác rung động của một màng tròn có độ dày đồng đều, được gắn vào một khungcứng Do hiện tượng cộng hưởng, ở các tần số rung nhất định (tần số cộng hưởng),màng tròn có thể lưu trữ năng lượng rung động, bề mặt dao động theo mô hìnhđặc trưng của sóng dừng Đây được gọi là chế độ bình thường Một màng có vô sốcác chế độ bình thường như vậy, bắt đầu từ tần số thấp nhất được gọi là chế độ

cơ bản

Đã có nhiều phương thức tạo ra sự rung động cho một màng trống, mỗi phươngthức phụ thuộc vào hình dạng của màng tại một thời điểm ban đầu nào đó và vận

Hình 2.3 Hình dạng của một cái trống thông thường

Hình 2.4 Đồ thị biểu diễn mặt trống trong hệ tọa độ hai chiều Oxy

tốc ngang của từng điểm trên màng tại thời điểm đó Dao động của màng đượcđược mô ta bởi các nghiệm của phương trình sóng hai chiều với điều kiện biênDirichlet, trong đó khung của màng trống được xem như là biên Có thể thấy rằngbất kỳ rung động tùy ý phức tạp nào của màng đàn hồi đều có thể được phân tíchthành một chuỗi vô hạn các chế độ cơ bản của màng Điều này tương tự với việcphân tích hàm tín hiệu thời gian thành chuỗi Fourier [10] Xét một màng trốngtròn Ω, bán kính r0 trong hệ tọa độ hai chiều Oxy như hình (2.4) Dao động củamàng trống được mô tả bởi hàmu(x, y, t), đặc trưng cho độ cao của một điểm trênmàng trống phụ thuộc vào thời gian t và tọa độ (x, y)

Phương trình sóng mô tả sự rung động của màng trống trong không gian hai