Ôn tập lượng giác

Chơng I: Hàm số lợng giácA.. Các công thức cần nhớ 1.. Các công thức có liên quan đặc biệt a... Hàm số lợng giác: Các dạng bài tập cơ bản 1... Vậy phơng trình có một họ nghiệm.. Vậy phơn

Chơng I: Hàm số lợng giác

A Các công thức cần nhớ

1 Công thức cơ bản

1 sin≤ x≤1 1 cos≤ x≤1

sin(α + k2π) = sinα; cos(α + k2π) = cosα;

tan(α +kπ) = tanα; cot(α + kπ) = cotα

* Hàm số y=sinx có TXĐ: D=Ă ;

TGT: [−1;1]; Tuần hoàn với chu kì: T =2π là hàm số lẻ

* Hàm số y=cosx có TXĐ: D=Ă ;

TGT: [−1;1]; Tuần hoàn với chu kì: T =2π; là hàm số chẵn

* Hàm số y=tanx có TXĐ: \ ;

2

D= π +k kπ ∈ 

TGT: Ă ;

Tuần hoàn với chu kì: T=π; là hàm số lẻ

* Hàm số y=cosx có TXĐ: D=Ă \{k kπ; ∈Â} ;

TGT: Ă ; Tuần hoàn với chu kì: T =π; là hàm số lẻ

Giá trị lợng giác của các cung đặc biệt

( )

0 0o

( )30 6

o

4

o

3

o

2

o

120 3

o

135 4

o

150 6

o

π π(180o)

2

3

3 2

2 2

1

2

2 2

1

1 2

2

2

2 Các hằng đẳng thức lợng giác cơ bản

sin α+cos α =1 tan cotα α =1

2 2

1

1 tan

α = +

2 2

1

1 cot

α = +

3 Các công thức có liên quan đặc biệt

a Cung đối nhau

sin(-α) = - sinα cos(-α) = cosα

tan(-α) = - tanα cot(-α) = -cotα

b Cung bù nhau

sin(π - α) = sinα cos(π - α) = - cosα

tan(π - α) = - tanα cot(π - α) = - cotα

c Cung phụ nhau

2

 − =

Góc

Hàm

Trường THPT Bạch Đằng-B6

2

 − =

  cotπ α2 − ữ=tanα

sin π α+ = −sinα cos(π α+ ) = −cosα

tan π α+ =tanα cot(π α+ ) =cotα

e Cung hơn kém

2 π

2

 + =

  cosπ α2+ ữ= −sinα

2

 + = −

  cotπ α2 + ữ= −tanα

3 Công thức cộng

cos a b+ =cos cosa b−sin sina b

cos a b− =cos cosa b+sin sina b

sin a b+ =sin cosa b+cos sina b

sin a b− =sin cosa b−cos sina b

4 Công thức nhân đôi

sin 2x=2sin cosx x

cos 2x=cos x−sin x=2cos x− = −1 1 2sin x

2

2 tan tan 2

1 tan

x x

x

=

−

5 Công thức hạ bậc

2 1 cos 2

sin

2

x

cos

2

x

x= +

6 Công thức nhân ba

3

sin 3x=3sinx−4sin x

3

2

3 tan tan tan 3

1 3 tan

x x x

x

−

=

−

7 Công thức biến đổi tích thành tổng

1

2

x y=  x y− + x y+ 

1

2

x y=  x y− − x y+ 

1

2

x y=  x y− + x y+ 

8 Công thức biến đổi tổng thành tích

x y x y

tan tan

cos cos

x y

x y

+

x y x y

tan tan

cos cos

x y

x y

−

sin sin 2sin cos

x y x y

sin sin

x y

x co y

x y

−

sin sin 2cos sin

x y x y

sin sin

y x

x co y

x y

−

9 C«ng thøc rót gän: asin x + bcos x

a x b+ x= a +b x+α = a +b x−α

a x b− x= a +b x−α = − a +b x+α

§Æc biÖt:

x+ x= x+π = x−π 

x− x= x−π = − x+π 

Më réng:

2 cot tan

sin 2

x

10 C«ng thøc t×nh sin α; cosα; tan α theo tan

2 α

§Æt tan

2

t= α

ta cã:

2

2 sin

1

t t

α =

+

2 2

1 cos

1

t t

α = −

2 tan

1

t t

α =

−

B phÇn bµi tËp

Trường THPT Bạch Đằng-B6

I Hàm số lợng giác:

Các dạng bài tập cơ bản

1 Dạng 1: Tìm TXĐ của hàm số lợng giác

* Phơng pháp giải: Sử dụng tính chất:

- Các hàm số y=sin ,x y=cosx xác định với mọi x∈Ă

- Hàm số: y=tanx xác định với mọi ,

2

x≠ +π k kπ ∈

Â

- Hàm số: y=cotx xác định với mọi x k k≠ π, ∈Â

Ví dụ: Tìm TXĐ của hàm số:

1 sin

4

y

x π

=

 − 

Lời giải:

x π x π kπ x π k kπ

Vậy TXĐ của hàm số là: \ ,

4

D= π +k kπ ∈ 

Ă

Ví dụ 2: Tìm TXĐ của hàm số: sin cos

cot 1

y

x

+

=

−

Lời giải:

cot 1

4

x k

x k

k

π π

≠



≠

4

D= x x= +π kπ x k k= π ∈ 

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

2cos 1

y

x

=

x

y= 3) sin 2

2

x y

x

=

− 4) y=cot 2x 5) cos 21

1

y

x

=

− 6) y= cosx+1

Định nghĩa: Cho hàm sốy= f x( ) có TXD là: D

* Hàm số f x chẵn ( )

( ) ( )

x D x D

f x

∀ ∈ ⇒ − ∈





(D là tập đối xứng)

f -x

* Hàm số f x lẻ ( )

x D x D

f x

∀ ∈ ⇒ − ∈





(D là tập đối xứng)

f -x

* Ph ơng pháp giải:

Bớc 1: Tìm TXĐ D của hàm số

• Nếu D không là tập đối xứng thì ta kết luận ngay hàm số y= f x( ) không

chẵn, không lẻ

• Nếu D là tập đối xứng ta thực hiện tiếp bớc 2:

• Nếu f ( )− =x f x( ) thì hàm số y= f x( ) là hàm chẵn

• Nếu f ( )− = −x f x( ) thì hàm số y= f x( ) là hàm lẻ

• Nếu f ( )− ≠ ±x f x( ) thì hàm số y= f x( ) là hàm không chẵn, không lẻ

L

u ý tính chất:

* ∀ ∈x Ă : sin( )− = −x sinx

* ∀ ∈x Ă : cos( )− =x cosx

2

x π k kπ  x x

Ă

* ∀ ∈x Ă \{k kπ, ∈Â}: cot( )− = −x cotx

Lời giải:

TXĐ: D=Ă là tập đối xứng ∀ ∈ ⇒ − ∈x Ă x Ă

Ta có: f ( )− =x sin 3( )− =x sin 3(− x) = −sin 3x= −f x( )

Vậy hàm số là hàm số lẻ

Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

1) y=sin 2x 2) y=cos3x 3) y=tan 2x

4) y= xsinx 5) y= 1 cos− x 6) y x= −sinx

3 Dạng 3: Tìm chu kì của hàm số lợng giác:

* Phơng pháp giải: Khi tìm chu kì của hàm số lợng giác, ta cần biến đổi biểu thức của hàm số

đã cho về một biểu thức tối giản và lu ý rằng:

1) Hàm số y=sin ,x y =cosx có chu kì T =2π

2) Hàm số y=tan ,x y=cotx có chu kì T =π

3) Hàm số y=sin(ax b y+ ), =cos(ax b+ ) với a≠0 có chu kì T =2aπ

4) Hàm số y=tan(ax b y+ ), =cot(ax b+ ) với a≠0 có chu kì T = πa

5) Hàm số f có chu kì 1 T , hàm số 1 f có chu kì 2 T thì hàm số 2 f = +f1 f2 có chu kì

( 1, 2)

T =BCNN T T

Ví dụ: Tìm chu kì của hàm số 3 1cos 2

2 2

y= + x

Lời giải

Hàm số 3 1cos 2

2 2

y= + x có chu kì là T =22π π=

Bài 3: Tìm chu kì của các hàm số sau:

1) y=2 cos 2x 2) y=sin 2x+2cos3x

* Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

Phơng pháp: Dựa vào TGT của các hàm số lợng giác

* Hàm số y=tan ,x y=cotx có TGT là: Ă

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y= −3 1 cos− x

Lời giải:

Ta có 1 cos− ≤ x≤ ⇒ ≤ −1 0 1 cosx≤ ⇒ ≤2 0 1 cos− x≤ 2⇒ ≥ − −0 1 cosx≥ − 2

3 3≥ − 1 cos− x≥ −3 2

Vậy Maxy=3 đạt đợc ⇔cosx= ⇔ =1 x k2 ,π k∈Â

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

1) y= −3 2 sinx 2) cos cos

3

y= x+ x−π 

Trường THPT Bạch Đằng-B6

3) y=cos2 x+2cos 2x 3) y= 2cosx+1 5) y= −2 sinx

II Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c

1 Ph ¬ng tr×nh l îng gi¸c c¬ b¶n

arcsin 2

k

π

2

α

= +



Tæng qu¸t: sin ( ) sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ;

2

f x g x k

f x g x k

π



§Æc biÖt: cosx=cosα ⇔ = ± +x α k2 ;π k∈¢ Tæng qu¸t: cos f x( ) =cosg x( ) ⇔ f x( ) = ±g x( ) +k2 ;π k∈¢

2

x π k kπ

 ¢ nghiÖm tæng qu¸t:  x= +α k kπ; ∈¢

§Æc biÖt: tanx=tanα ⇔ = +x α k kπ; ∈¢ Tæng qu¸t: tan f x( ) =tang x( ) ⇔ f x( ) =g x( )+k kπ; ∈¢

§Æc biÖt: cotx=cotα ⇔ = +x α k kπ; ∈¢ Tæng qu¸t: cot f x( ) =cotg x( ) ⇔ f x( ) =g x( )+k kπ; ∈¢

VÝ dô minh ho¹: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

1) cos 2 1

2

 − +  + =

4) tan 3x=cotx 5) cot 1

π

 − =

Lêi gi¶i

1) Ta cã

π

¢

VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm

2) Ta cã:

2 sin 3 cos 2 sin 3 sin 2

2

π

π

 = − +



 2

10 5 , 2 2

k x

k

 = +



 = +



¢

3) Ta cã:

2 2

3

 − = + +





2

, 2

k k x

= +





 = − +



Â

sin 0

k

k x





Ta có:

k

x= x⇔ x= π −x⇔ x= − +π x kπ ⇔ = +x π π k∈

Ta thấy nghiệm trên thoả mãn điều kiện Vậy phơng trình có một họ nghiệm

Ta có:

1

thoả mãn điều kiện (*)

Vậy phơng trình có một họ nghiệm

6) Ta có:

x= x⇔ x= = π ⇔ = +x π k kπ ∈

 Vậy phơng trình có một họ nghiệm

Bài tập tơng tự: giải các phơng trình sau:

1) 2 cos 2x− =1 0 2) sinx=cos3x 3) cos sin 3 0

 + +  + =

4) tan 2 cot

4

x= x+π

  5) sinx= 3 cosx 6)

2

π

 − − =

2 Ph ơng trình bậc hai đối với một hàm số l ợng giác.

số lợng giác: sin ,cos , tan ,cotx x x x

* Cách giải:

Bớc 1: Đặt t bằng hàm số lợng giác có trong phơng trình;

Bớc 2: Đặt điều kiện với ẩn phụ t;

Bớc 3: Giải phơng trình tìm t (thoả mãn điều kiện);

Bớc 4: Với mỗi t thoả mãn ta có phơng trình lợng giác cơ bản ⇒ nghiệm x

Ví dụ minh hoạ: Giải các phơng trình sau:

1 5sin− x+2cos x=0 3) 3 cot2 x−4cotx+ 3 0= 4) 32 4 tan 2 0

cos x− x− =

Lời giải

1) Đặt t=cosx, điều kiện: t ≤1

Trường THPT Bạch Đằng-B6

Ta có phơng trình trở thành: 2

1

1 2

t

t t

t

=





− + = ⇔

 = >

Vậy t = 1 ⇒ cosx= ⇔ =1 x k2 ,π k∈Â

Phơng trình có một họ nghiệm

2) Ta có:

1 5sin− x+2cos x= ⇔ −0 1 5sinx+2 1 sin− x = ⇔0 2sin x+5sinx− =3 0

2 sin

2 2

6

x





 (loại)

(Chú ý: ta có thể không cần đặt ẩn phụ mà coi hàm số lợng giác nh là một ẩn nh ví

dụ này)

3) Điều kiện: sinx≠ ⇔ ≠0 x k kπ, ∈Â

Đặt cot x t= , khi đó phơng trình trở thành:

2

6

cot



Â

Ta thấy hai họ nghiệm đều thoả mãn điều kiện Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

2

x≠ ⇔ ≠ +x π k kπ ∈Â

Ta có:

2

3

tan 1

, 4

1

1 tan

x

k x

π





Â

Ta thấy cả hai họ nghiệm đều thoả mãn điều kiện Vậy phơng trình có 2 họ nghiệm

Bài 1: Giải các phơng trình sau

cos 2x+sin x+2cosx+ =1 0 2) cos 2x+5sinx+ =2 0

Bài 2: (Các phơng trình đa về phơng trình bậc nhất, bậc hai) Giải các phơng trình

1) cos cos 2x x= +1 sin sin 2x x 2) 4sin cos cos 2x x x= −1

3) sin 7x−sin 3x=cos5x 4) cos2x−sin2x=sin 3x+cos 4x

cos 2 cos 2sin

2

x

4

2

x+ x= − x 8) 3cos2x−2sinx+ =2 0 9) sin6 x+cos6x=4cos 22 x 10) 2 tanx−3cotx− =2 0

11) cos3x+cos 2x+cosx=sin 3x+sin 2x+sinx

3 Ph ơng trình bậc nhất đối với sin x và cos x:

* Dạng phơng trình: sina x b+ cosx c a b c= ( , , ≠0) (*)

* Cách giải:

Cách 1:

Chia hai vế của phơng trình cho a2+b2 ta đợc phơng trình:

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

Vì:

Nên ta đặt

cos sin

a

a b b

a b

α α





 Khi đó phơng trình (**) trở thành: sin cosx cos sinx 2c 2

a b

+

a b

α

+ là phơng trình lợng giác cơ bản đã biết cách giải!

a + ≥b c

Cách 2: Chia hai vế cho a và đặt tan b

a

α = (Tự làm) Cách 3: Sử dụng công thức tính sin ,cosx x theo tan

2

x

t= (tự làm)

Ví dụ: Giải các phơng trình sau:

1) sinx+ 3 cosx=1 2) 5cos 2x−12sin 2x=13

Lời giải:

a +b = + = Chia hai vế của phơng trình cho 2 ta đợc phơng trình:

k



Â

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

2) Ta có: 5cos 2x−12sin 2x=13⇔ −12sin 2x+5cos 2x=13

a +b = − + = = Chia hai vế phơng trình cho 13 ta đợc

ph-ơng trình : 12sin 5 cos 1

Vì

1

−   + =

cos ; sin

2

x α+ x α = ⇔ x+α = ⇔ + = +x α π k π

2 , 2

x π α k π k

Vậy phơng trình có một họ nghiệm

Bài tập tự giải: Giải các phơng trình sau:

1) 3sinx−4cosx=1 2) 2sinx−2cosx= 2

3) 3sinx+4cosx=5 4) 3 sin 3x+cos3x= 2

Trường THPT Bạch Đằng-B6

4 Ph ơng trình thuần nhất đối với sin x và cos x:

* Cách giải:

Cách 1:

Bớc 1: Nhận xét cosx=0 hay ,

2

x= +π k kπ ∈

 không là nghiệm của phơng trình; Bớc 2: Chia cả hai vế của phơng trình cho 2

cos x≠0 ta đợc phơng trình”

2

a x b+ x c+ = Bớc 3: Giải phơng trình ta đợc nghiệm của phơng trình đã cho

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đa về phơng trình trình bậc nhất đối với sin 2x và cos

2x (Học sinh tự giải cách này)

Chú ý: Nếu phơng trình có dạng tổng quát:

a x b+ x x c+ x d d= ≠ (**)

a d x b x x c d x

Đây là phơng trình có dạng (*)

Ví dụ: Giải các phơng trình:

1) 2sin2x−5sin cosx x+3cos2x=0

2) 2sin2x−5sin cosx x−cos2x= −2

Lời giải

1) 2sin2x−5sin cosx x+3cos2x=0

Nhận xét: nếu cos 0 2

0

Vt x

Vp

=



= ⇒ = ⇒ cos x = 0 không thoả mãn phơng trình Chia cả hai vế cho cos2x≠0 ta đợc phơng trình:

2

tan 1

4

3 tan

arctan 2

2

x

π





Â

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

2sin x−5sin cosx x−cos x= − ⇔2 2sin x−5sin cosx x−cos x= −2 sin x+cos x

4sin x 5sin cosx x cos x 0

0

Vt

Vp

=



= ⇒ = ⇒ = không thoả mãn phơng trình

Chia cả hai vế cho cos2x≠0 ta đợc phơng trình:

2

tan 1

4

1 tan

arctan 4

4

x

π





Â

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Bài tập tự giải: Giải các phơng trình sau

4sin x+3 3 sin 2x−2cos x=4

2) 2sin2x+3cos2x=5sin cosx x

3) sin2 x−3sin cosx x=1

4) cos2x+2sin cosx x+5sin2x=2

5) 2cos2x−3sin 2x+sin2x=1

5 Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx

* Dạng phơng trình: a(sinx+cosx)+bsin cosx x c=

* Cách giải:

Đặt sin cos 2 sin

4

t= x+ x= x+π 

 ; điều kiện: t ≤ 2

2

1 2sin cos sin cos

2

t

2

t

at b+ − = ⇔c bt + at− +b c =

Giải phơng trình trên tìm t thoả mãn điều kiện, với mỗi t ta có phơng trình :

t

 + = ⇔  + =

Lời giải:

4

t= x+ x= x+π

  điều kiệnt ≤ 2

sin cos

2

t

Khi đó phơng trình trở thành:

2

2

1 ( ) 1

2

t tm t

= −



 = −



t= − ⇔ x+π = − ⇔ x+π = − = −π 

2

2

, 2

k









Â

t= − ⇔ x+π = − ⇔ x+π= −

,

k

Â

Vậy phơng trình có 4 họ nghiệm

Bài tập tự giải:

1) sinx+cosx−2sin cosx x+ =1 0

2) 3 sin( x+cosx)−4sin cosx x=0

6 Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx

* Dạng phơng trình: a(sinx−cosx)+bsin cosx x c=

* Cách giải:

Đặt sin cos 2 sin

4

t= x− x= x−π 

 ; điều kiện: t ≤ 2

Trường THPT Bạch Đằng-B6

2

1 2sin cos sin cos

2

t

2

t

at b+ − = ⇔c bt − at− −b c =

Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn t×m t tho¶ m·n ®iÒu kiÖn, víi mçi t ta cã ph¬ng tr×nh :

t

 − = ⇔  − =

Bµi tËp tù gi¶i: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

1) 6 sin( x−cosx)+sin cosx x+ =6 0

2) sin3x−cos3x=1

3) 3 sin( x−cosx)−4sin cosx x+ =3 0

4) sinx−cosx +4sin 2x=1

6) (1 cos+ x) (1 sin+ x) =2

7) 3 sin( x+cosx)+2sin cosx x+ =3 0