Cơng thức cộng gĩc... TanA+TanB+TanC =TanA.TanB.TanC tam giác ABC không vuông.
Trang 1CÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
2
2
2
2
1
1
sin
k k
π
α
α
2
tan
α
+
1 Cơng thức cơ bản:
2
k
π
2.Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt :( sin bù -cos đối - phụ chéo – tan hơn π )
a Hai cung đối nhau (α
,-α
)
* cos(-α
) = cosα
* sin(-α
) = -sinα
* tan(-α
) = -tanα
* cot(-α
) = -cotα
b Hai cung bù nhau (α
,π
-α
)
* sin(π
-α ) = sinα
* cos(π
-α ) = -cosα
* tan(π
-α ) =-tanα
* cot(π
-α ) = -cotα
c Hai cung hơn kém nhauπ
:
* sin(π
+α ) = - sinα
* cos(π
+α ) = -cosα
* tan(π
+α ) = tanα
* cot(π
+α ) = cotα
d Hai cung phụ nhau:(α
,2
π
-α
)
* sin(2
π
-α ) = cosα
* cos(2
π
-α ) = sinα
* tan(2
π
-α ) = cotα
* cot(2
π
-α ) = tanα
e Hai cung hơn kém nhau 2
π
(α
,2
π
+α
)
* sin(2
π +α ) = cosα
* cos(2
π +α ) = -sinα
* tan(2
π +α ) = -cotα
*cot(2
π +α ) = -tanα
3 Cơng thức cộng – nhân
a Cơng thức cộng gĩc
Trang 2tan tan tan( )
1 tan tan tan tan tan( )
1 tan tan
a b
a b
+
−
−
+ ( ,a b k≠ π)
cot cot 1 cot( )
cot cot cot cot 1 cot( )
cot cot
a b
a b
−
+ +
−
2
a b≠ +π kπ
b Công thức hạ bậc
3
3
3
5
5
3cos cos 3 cos
4 3sin sin 3
sin
4 3sin sin 3 tan
3cos cos 3 1
+sin a sin5a – 3sin3a 10sina
16
1 +cos a cos5a 5cos3a 10cosa
16
a
a
a
+
−
−
+
2
2
2
2
4
4
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sin
2
1 cos 2
1 cos 2
cot a
1 cos 2
1
+sin a cos4a 4cos2a 3
8
1
+cos a cos4a 4cos2a 3
8
a a
a a
a
a a a
+
−
−
+ +
−
Trang 3c Công thức nhân đôi
sin 2 2 sin cos
d Công thức nhân ba
3 3
sin 3 3sin 4 sin cos 3 4 cos 3cos
2 2
2 tan
cot 1
a
a
π
−
−
3 3 2 2
3 tan tan
1 3 tan 6 3 cot 3cot
+ cot3a
3cot 1
a
a
π π
−
−
−
=
−
e Công thức chia đôi: Đặt t = tan2
a
(a≠ π
+k2π
)
2
1
2 sin
t
t a
+
= +
2
2
1
1 cos
t
t a
+
−
= +
2
1
2 tan
t
t a
−
= +
4 Công thức biến đổi
a) Biến đổi tích thành tổng b) Biến đổi tổng thành tích
)]
sin(
) [sin(
2
1 sin
cos
)]
sin(
) [sin(
2
1 cos
sin
)]
cos(
) [cos(
2
1 sin
sin
)]
cos(
) [cos(
2
1 cos
cos
b a b
a b
a
b a b
a b
a
b a b
a b
a
b a b
a b
a
−
− +
= +
− +
+
= +
−
− +
−
= +
− +
+
= +
sin 2 cos 2 sin sin
2
cos 2 sin 2 sin sin
2
sin 2 sin 2 cos cos
2
cos 2 cos 2 cos cos
b a b a b
a
b a b a b
a
b a b a b
a
b a b a b
a
− +
=
− +
− +
= + +
− +
−
=
− +
− +
= +
+
Đặc biệt: sina + cosa = 2sin
+π 4
a
= 2cos
−π a 4
Trang 4sina – cosa = 2sin
−π 4
a = - 2cos
+π 4 a
c) Cơng thức liên quan đến tan và cot
b a
b a b
a
a a
a
b a
a b b
a
b a
b a b
a
sin cos
) cos(
cot tan
2 sin
2 cot
tan
cos cos
) sin(
cot cot
cos cos
) sin(
tan tan
−
= +
+
= +
+
±
=
±
+
±
=
±
+
a b
b a b
a
a a
a
b a
b a b
a
b a
b a b
a
sin cos
) cos(
cot tan
2 cot 2 cot
tan
cos cos
) cos( tan
tan 1
cos cos
) cos(
tan tan 1
+
−
=
− +
−
=
− +
+
−
=
− +
−
= +
+
HỆ THỨC LƯỢNG
Tam giác thường ( các định lý) :
Hàm số Cosin
bcCosA c
b
a2 = 2 + 2 −2
bc
a c b CosA
2
2 2
2 + −
=
Hàm số Sin
R SinC
c SinB
b SinA
a
2
=
=
=
R
a SinA RSinA
a
2 ,
=
b a B A Tan
B A Tan
+
−
= +
− 2 2
Các chiếu a=bCosC+cCosB
) (
Trang 5A
Phân giác
2
2
a
A
bc Cos l
b c
= +
Diện tích
•
c b
ah S
2
1 2
1 2
1
=
=
=
•
abSinC acSinB
bcSinA S
2
1 2
1 2
1
=
=
=
•
pr
S =
abc S
4
=
•
) )(
)(
p
Chú ý:
) ( 2 ) ( 2 ) (p a Tan A p b Tan B p c Tan C p
S
c SinB
b SinA
a S
abc R
2 2
2
=
• a, b, c : cạnh tam giác
• A, B, C: góc tam giác
• ha: Đường cao tương ứng với cạnh a
• ma: Đường trung tuyến vẽ từ A
• R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác
c b a
p= + +
Nữa chu vi tam giác
Hệ thức lượng tam giác vuông:
AH =BH CH
AH = AB + AC
• AB BH.BC
2 =
• AC CH.CB
2 =
•
Trang 62 2
• MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ
• Cho tam giác ABC :
4Cos A Cos B Cos C SinC
SinB SinA+ + =
4
1 Sin A Sin B Sin C CosC
CosB
• 3/ TanA+TanB+TanC =TanA.TanB.TanC ( tam giác ABC không vuông)
2
2 2
2 2
C Cot
B Cot
A Cot
C Cot
B Cot
A
• 5/
1 2
2 2
2 2
2 Tan B +Tan B Tan C +Tan C Tan A =
A Tan
• 6/ Sin A Sin B Sin C 2 2CosA.CosB.CosC
2 2
• 7/ Cos A Cos B Cos C 1 2CosA.CosB.CosC
2 2
• 8/ Sin(A+ B)= SinC
• Cos(A+B)=−CosC ; 2 2
C Cos B A Sin + =
C Sin B A Cos + =
C Cot B A Tan + =
3 3
.SinB SinC ≤
SinA
1
.CosB CosC≤
CosA
3 3 2
2
2 Cos B Cos C ≤
A Cos
1 2
2
2 Sin B Sin C ≤
A Sin
3 2 2
2A+Cos B+Cos C≥
Cos
4 2 2
2A+Sin B+Sin C ≤
Sin
Trang 7• 15/ 9
2 2
2A+Tan B+Tan C≥
Tan
1 2 2
2 4
< +
+
≤Sin A Sin B Sin C
9 2 2
2
2<Cos2 A+Cos2 B +Cos2 C ≤
1 2 2
2
2 2
2 A+Tan B +Tan C ≥
Tan
9 2 2
2
2 2
2 A+Cot B +Cot C ≥
Cot
3 3 2 2
2A+Sin B+Sin C≤
Sin
3 2
2
2A+Cos B+Cos C ≥−
Cos