ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC

đây là tài liệu tập hợp các dạng lượng giác hay và điển hình hỗ trợ cho các bạn học tập trong quá trình ôn thi ĐH-CĐ. Chúc các bạn học tốt!

A CÔNG THỨC LG, PTLG CƠ BẢN, PTLG CƠ SỞ

I CÔNG THỨC LG

1 Hệ thức cơ bản

+ a = 1 = 1 - a ( hoặc a =1 - )

; ; = =1

1+ = ; 1+ =

2 Công thức cộng ( ) = ; ( ) =

( ) =

; ( ) =

3 Công thức biến đổi tổng thành tích cos a cos b 2 cosa b cosa b 2 2 + -+ = ; a b a b cos a cos b 2 sin sin 2 2 + = sin a sin b 2 sin a b cosa b 2 2 + -+ = ; a b a b sin a sin b 2 cos sin 2 2 + = ( )

; ( )

 Công thức bổ sung: +) √ ( ) √ ( )

+) √ ( ) √ ( )

4 Công thức biến đổi tích thành tổng [ ( ) ( )]



sin 3a = 3 sin a- 4 sin a; cos3a = 4 cos a3 - 3 cos a

5 Công thức hạ bậc

2 2

2

1 cos 2a tg asin a

k x

,2

Giải: Nhận thấy nên PT đã cho có nghiệm

Chia 2 vế của PT cho a2b2 = √ √ ta có:

Giải: Nhận thấy (√ ) nên PT đã cho có nghiệm

Chia 2 vế của PT cho a2b2 = √ (√ ) ta có:

Giải: Nhận thấy nên PT đã cho có nghiệm

Chia 2 vế của PT cho a2b2 = √ ta có:

(3)

Vì ( ) +( ) =1 nên đặt cos = , sin = Thì PT (3) tương đương

(3) cos ( ) =

𝑉ậy [

’ với k

VD4: ( ) √ (4) ( Đề ĐH Khối D 2007 ) Giải: Ta có: ( ) = + 2 + = 1+

PT đã cho tương đương với (4) 1+ √ √

√ ( )

( ) [

Vậy [

’ với k

VD5: √ √ (5)

Giải: Nhận thấy (√ ) ( √ ) nên PT đã cho có nghiệm Chia 2 vế của PT cho a2b2 = √ (√ ) ta có: (5) √ √ = √ = ( )

( ) ( ) [

’ với k

[

[

,với k

Chia hai vế của PT (2) cho cos2x ta đưa PT (2) về dạng :

A.tan2x + B.tanx + C = 0 Đến đây ta giải pt bậc hai theo tan

Đến đây ta giải phương trình thuần nhất bậc nhất đối với sin và cos

Ví dụ mẫu: Giải các PT sau:

VD1: - √ (1)

Vì = 0 không phải là nghiệm nên chia cả 2 vế của PT (1) cho ta được: (1) 1- 2√ ( )

Đặt t = tan ta có PT: √ [ √

Với t = 0 , , với k

Với t = √ √ , với k

VD2: (2)

Giải: Ta có (1) sin ( )

- sin + = 0 [ ] = 0

[ ( ) ( )

(2.1) , với k

(2.2)

= 0 ( )

+2 = 0 (Vì ( ) )

Vậy PT có nghiệm là: , với k

3 PT Đối xứng Gồm 2 dạng sau: ( ) + + = 0

( ) + + = 0

Bước 1.[ √ ( ) √ ( ) ( )

√ ( ) √ ( ) ( )

với t [ √ √ ]

Biến đổi đưa về PT bậc 2 ẩn t

Bước 2 Giải PT bậc 2 ẩn t Từ đó suy ra nghiệm

 Chú ý: Điều kiện t [ √ √ ] để loại nghiệm

Ví dụ mẫu: Giải các PT sau:

Vậy nghiệm của PT là: , , với k

( ) + – 1 = 0

( )( ) - ( )( )

( )( )( )( )

- ( )( )( )( )

( )( )[ ( )( ) ( )( ) ] =0

[( )( )

( )( ) ( )( )

[ ( )

( )

[ ( )

[ ( )( ) ( )

[ ( )

( )

( )

(4.1) , k

(4.2) √ ( ) , k

Xét PT (4.3):

Đặt sin + cos = √ ( ), với t [ √ √ ] và 1

Thì = 1+2 ( ) Vậy PT (4.3) trở thành: +

[ √ ( )

√ ( )

Vậy √ ( ) √ ( ) √

√

B CÁC DẠNG VÀ KỸ THUẬT GIẢI PTLG

I DẠNG 1: SỬ DỤNG TRỰC TIẾP PTLG CƠ BẢN

Phương pháp: Dùng một số phép biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản để giải

Ví dụ mẫu: Giải các PT sau:

( ) ( )( ) √ ( Đề ĐH Khối A 2009 )

Giải: Điều kiện: sin và sin (*)

Với điều kiện trên PT đã cho tương đương: ( ) √ ( )( )

cos √ = sin2x + √ cos2x cos( ) = cos( )

x = hoặc x = Với k

Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm là: x =

Với k √ ( Đề ĐH Khối D 2009 )

Giải: PT đã cho tương đương: √ ( )

√

sin( ) = sinx

hoặc

Vậy: x = hoặc x = + k2 ( Với k )

sinx +cosx.sin2x + √ = 2( ) ( Đề ĐH Khối B 2009 )

Giải: PT đã cho tương đương với: ( )sinx +cosx.sin2x +√

Giải: Điều kiện: sin và cos , cos (1)

Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với:

Giải PT sin4x = + √ cosx

2).

√ (ĐS: x = ; x = )

3).cos3x √ (ĐS: x = )

4) ( √ ) ( )

= 1 (ĐS: x = kết hợp đk ) 5) cotx = tanx + (ĐS: x = kết hợp đk) II DẠNG 2: ĐƯA VỀ PT TÍCH (Nhóm thừa số chung) Phương pháp: Dùng các phép biến đổi đế nhóm các thừa số chung lại với nhau tạo thành 1 PT tích  Chú ý : Giả sử PT tích số có dạng: ( ) ( ) ( ) ( )

Phương pháp giải: Một tích số bằng 0 thì phải có ít nhất một thừa số bằng 0 Do đó: (*) [

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Ta lần lươt giải các PT (1), (2), … , (n) Hợp các tập nghiệm của “n” PT này là tập nghiệm của PT (*) đã cho Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: sinx + sin2x = sin3x Giải: + Nhận xét: các hàm số sin2x và sin3x đều có chứa thừa số sinx Do đó ta có thể biến đổi PT trên thành một PT tích số PT sinx +2sinx.cox –(3sinx - 4 ) = 0

sinx( )

[ ( ) ( )

- Giải ( ) a có : sinx = 0 k

- Giải (2): Ta thay để có 1 PT bậc hai theo cosx: 2( ) + cosx – 1 = 0

2 - cosx – 1 = 0

[ [

, k

Vậy nghiệm của PT là: [

, k

Nhưng tập nghiệm thứ hai ( ) chứa trong tập nghiệm thứ nhất ( ) Nên PT chỉ có 3 họ nghiệm: [

, k

1 + tanx = 2√ ( ) ( Đề ĐH Khối A 2013 ) Giải: Điều kiện: cosx Phương trình đã cho tương đương với: 1 + = 2(sinx + cosx) cosx + sinx = 2cosx(sinx+cosx) = 0 (sinx + cosx)(2cosx - 1) = 0 [ ( ) ( )

PT (1) √ ( ) = 0 = k x = - , với k

PT (2) x = , với k

Đối chiếu điều kiện a được nghiệm: x = - , hoặc x = , với k

√ = 2cosx – 1 ( Đề ĐH Khối A 2012 ) Giải: PT đã cho tương đương với: 2√

2√ cosx(√ ) = 0

[√ ( )

( )

+ sinx + cosx ( Đề ĐH Khối B 2011 )

Giải: PT đã cho tương đương với:

2 + sinx + cosx

(2 ) + sinx + cosx

sinx(2 ) + sinx + cosx

sinx(cos2x ) + sinx + cosx

sinxcos2x + sinx + sinx + cosx

sinxcos2x cosx= 0

cos2x(sinx ) ( 1) = 0

(sinx – 1).(cos2x + cosx) = 0

[ ( ) ( )

Giải: Điều kiện: sinx 0 (*)

Nhận xét:

Do đó PT đã cho tương đương với: (1 + sin2x + cos2x ) = 2√

1 sin2x + cos2x = 2√ cosx ( do sinx ) 2sinx.cosx + 2 = 2√ cosx

2cosx( sinx + cosx - √ ) = 0

[ ( )

√ ( )

PT (1) thỏa mãn điều kiện (*)

PT (2) √ ( ) = √ ( )

+ , thỏa mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm của PT đã cho là: + ( )

s in2x 2 cos x sin x 1 0 tan x 3      ( Đề ĐH Khối D 2011 ) Giải: Điều kiện: , √ (*)

Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với: sin2x + 2cosx – sinx -1 = 0 2sinx.cosx +2cosx – sinx -1 = 0 2cosx(sinx + 1) – (sinx + 1) = 0 (sinx + 1)( 2cosx – 1) = 0 [ ( ) ( )

PT (1) + ( )

PT (2) + ( )

Đối chiếu điều kiện (*), vậy nghiệm của PT đã cho là: + ( )

BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 (ĐS: x = x = )

2) ( ) (ĐS: x = x = )

3) 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 (ĐS: + )

4) 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx (ĐS: + + )

5) ( ) (ĐS: + + )

III DẠNG 2: ĐƯA VỀ PT BẬC 2, 3 HOẶC TRÙNG PHƯƠNG

Phương pháp: Dùng các phép biến đổi để đưa về PT bậc 2, 3 hoặc trùng phương theo ẩn là 1

hàm số lượng giác

Ví dụ mẫu: Giải các PT sau:

2 + = 2

Giải: Điều kiện cos x

Cách 1: PT đã cho tương đương với:

2 + = 2 2 +

2(1 - ) + 1 - = + 1 -

+ – 1 = 0 [ ( ạ )

– 1 = 0 cos2x = 0 2x = x = ( )

Chú ý : Đối với PT ta không nên giải trực tiếp theo PT bậc hai vì khi giải có tới 4 nghiệm khi so sánh với điều kiện sẽ phức tạp, ( dĩ nhiên cũng có thể giải như vậy sau đó so sánh với điều kiện )

Cách 1: PT đã cho tương đương với:

+ = 2 + + = 2 +

+ – 2 = 0 [ ( )

tanx = ( ) , ( )

5sinx – 2 = 3 (1- sinx) ( Đề ĐH Khối B 2004 )

Giải: Điều kiện cos x x , ( ) (*)

Với điều kiện trên PT tương đương với:

5sinx – 2 =

( ) 2 + 3sinx – 2 = 0

[

( )

Với [

, ( ) ( thỏa mãn (*) )

( )

√ ( Đề ĐH Khối A 2006 )

Giải: Điều kiện sinx √ (*)

Với điều kiện trên PT tương đương với:

cos8x + cos4x – 2 = 0 + cos4x – 3 = 0 ( hạ bậc cos8x ) [ (loại do -1 < cos4x < 1)

Vậy cos4x = 1 x = k , ( )

( Đề ĐH Khối B 2003 )

Giải: Điều kiện { (*)

Với điều kiện trên PT tương đương với:

2cos2x + = 2 2cos2x + 4( ) = 2

( ) - cos2x – 1 = 0 [ [ , ( )

Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của PT là: , ( )

( ) ( Trích Đề ĐH Khối A 2002 ) Giải: Điều kiện (*)

Ta có: ( ) ( ( ) )

(

) (

)

( ) = ( )

= ( ( ) ) = 5.cosx Vậy PT đã cho tương đương với: 5.cosx = – 5cosx + 2 = 0 [ ( )

x = , ( )

Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của PT là: , ( )

( ) ( ) ( Đề ĐH Khối D 2005 ) Giải: Ta có: = ( ) + ( )

= ( ) + 2 ( ) 2

= ( ) 2

2

( ) ( ) = [ ( ) ]

= [ ( ) ]

= [ ]

Vậy PT đã cho tương đương với: 2 + [ ] – cos4x + sin2x

( )

[ ( )

2x = , ( )

Vậy nghiệm của PT là : x = , ( )

+ 3 = 0

Giải: PT đã cho tương đương với: 3 = 0 2 – cos2x ( ) = 0

2 + 3

[

√ [

, ( )

BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) + cos2x – cosx – 1 = 0 (ĐH D- 2006) (ĐS: x = ; x = +k2 ) 2) – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 , với x [ ] (ĐH D- 2002) (ĐS: x = ; x = ; x = ; x = )

3) 4cos ( ) (ĐS: x = ; x = + k ) 4) 2cos2x (ĐS: x = ; x = + k2 ) 5) 48 ( )

( ĐS: x = ; x = ) 6) (ĐS: x = + k )

7) (sinx+3) ( ) (ĐS: x = + k )

8) cos2x + cosx(2 ) = 2 (ĐS: x = ; x = + k2 )

9) 3cos4x 8 + 2 + 3 = 0 (ĐS: x = ; x = + k2 )

10) (ĐS: x = ; x = + k )

 Chú ý : Trong những năm gần đây đề thi phần lượng giác chủ yếu rơi vào dạng biến đổi

để đưa về PT tích, dạng toán này đòi hỏi người giải phải nắm vững những kiến thức và biến đổi

linh hoạt thì mới giải được, nội dung trên đây là những dạng toán có xác suất ra cao trong những

năm gần đây Mong rằng tài liệu này sẽ giúp ích các bạn trong những kỳ thi sắp tới Mọi ý kiến

đóng góp xin gửi về địa chỉ nhóm học tập trên Facebook Theo địa chỉ:

https://www.facebook.com/groups/cunghocnhom

………HẾT………