BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2010 ĐỀ THAM KHẢO Môn: TOÁN – Giáo dục THPT Thời gian làm bài 150 phút – Không kể thời gian giao đề.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ t
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2010
ĐỀ THAM KHẢO Môn: TOÁN – Giáo dục THPT
Thời gian làm bài 150 phút – Không kể thời gian giao đề.
SỐ 7
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm)
Cho hàm số y = – x3 + 3x2 + 1 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:
x3 – 3x2 + m – 3 = 0
Câu II (3,0 điểm)
1 Giải phương trình: 32x + 1 – 9.3x + 6 = 0
2 Tính tích phân: I = cos
0 (e x x)sinxdx
π
+
3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) ln2x
x
= trên đoạn [1 ; e3]
Câu III (1,0 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa cạnh bên với mặt đáy
bằng ϕ (00 < ϕ < 900) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B
A Theo chương trình Chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(– 1; – 1; 0) và mặt phẳng (P): x + y – 2z – 4 = 0
1 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P)
2 Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P)
Câu Va (1,0 điểm)
Giải phương trình x2 – 2x + 2 = 0 trên tập số phức
B Theo Chương trình Nâng Cao
Câu IVb (2,0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; – 2; – 2) và mặt phẳng (P): 2x – 2y + z – 1 = 0
1 Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P)
2 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Viết phương trình của mặt phẳng (Q) sao cho (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm A đến (P)
Câu Vb (1,0 điểm)
Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0 Tính giá trị của biểu thức:
A= z12+ z22
Trang 2ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
I
(3 điểm) 1 • TXĐ: D=¡
………
→+∞ = −∞ ; lim
→−∞ = +∞
………
• y’ = −3x2 + 6x
………
y’ = 0 ⇔ = ⇒ =x x= ⇒ =20 y y 15
………
• Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; 2)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞ ; 0) và (2 ; + ∞)
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, giá trị cực đại yCĐ = 5
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu yCT = 1
………
• Điểm đặc biệt: (– 1 ; 5) ; (1 ; 3) ; (3 ; 1)
• Đồ thị:
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
0,5
Trang 3Nhận xét: Đồ thị có tâm đối xứng là điểm U(1 ; 3).
2 x3 – 3x2 + m – 3 = 0 ⇔ – x3 + 3x2 + 1 = m – 2 (*)
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của (C): y = – x3 +
3x2 + 1 và đường thẳng ∆: y = m – 2
………
Dựa vào đồ thị ta có:
• m < 3 hoặc m > 7: phương trình có 1 nghiệm
………
• m = 3 hoặc m = 7: phương trình có 2 nghiệm
………
• 3 < m < 7: phương trình có 3 nghiệm
0,25 0,25
0,25 0,25
II
(3 điểm) 1 32x + 1 – 9.3x + 6 = 0 ⇔3.32x – 9.3x + 6 = 0 (1)
Đặt t = 3x > 0
………
(1)⇔3t2 – 9t + 6 = 0 ⇔ 1
2
t t
=
=
………
t = 1⇔3x = 1 ⇔x = 0
t = 2⇔3x = 2 ⇔x = log32
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 0 và x = log32
0,25 0,25
0,5
2 I = cos
0
e x xdx
π
+
x
e xdx x xdx
+
………
Đặt t = cosx⇒dt= −sinxdx
x = 0 ⇒ t = 1 ; x = π ⇒ t = –1
1 cos
1
1 sin
o
e xdx e dt e dt e e
e
−
−
………
Đặt
dv xdx v x
………
Vậy: I = e 1
e π
0,25
0,25
0,25
0,25
ln (2 ln )
f x
x
−
3
'( ) 0 (1; )
f x
x e
x e
=
∈
………
0,25
Trang 43 2
f f e f e
1;
4 max ( )
x e f x
e
x e f x
∈ = .
0,5
0,25
III
(1 điểm)
vuông góc của SA trên mp(ABCD) là HA ⇒ Góc giữa cạnh bên với mặt
đáy là: ·SAH = ϕ
………
Diện tích hình vuông ABCD là: SABCD = a2
………
Tam giác SAH vuông tại H nên SH = AH.tanϕ = 2 tan
2
a
ϕ
………
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: V = 1
3SABCD SH =
3 2 tan 6
a
ϕ
0,25
0,25 0,25
0,25
IVa
(2 điểm)
1 (Q) // (P) nên vectơ pháp tuyến của mp (P) cũng là vectơ pháp tuyến
của mp (Q) ⇒ Vectơ pháp tuyến của mp (Q) là: nuurQ
= (1; 1; –2)
………
Mp (Q) đi qua M(– 1; – 1; 0) nên phương trình của mp (Q) là:
1(x + 1) + 1(y + 1) – 2(z – 0) = 0
………
⇔ x + y – 2z + 2 = 0.
0,5 0,25
0,25
2 (d)⊥(P) nên vectơ pháp tuyến của mp (P) cũng là vectơ chỉ phương
của (d)
⇒ Vectơ chỉ phương của (d) là: uuurd = (1; 1; –2)
………
(d) đi qua M(– 1; – 1; 0) nên phương trình tham số của (d) là:
0,25
0,25đ
Trang 51 1 2
z t
= − +
= − +
= −
………
Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ:
1 1 2
z t
x y z
= − +
= − +
= −
+ − − =
0
0 2
x y z
=
= −
Vậy giao điểm của (d) và (P) là: H(0; 0; –2)
0,25
0,25
Va
(1 điểm) Ta có: ∆= – 4 = 4i2
Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x1 = 1 + i và x2 = 1 – i
0,5 0,5
IVb
(2 điểm) 1 (d)⊥ (P) nên vectơ chỉ phương của mp (d) cũng là vectơ pháp tuyến
của mp (P) ⇒ Vectơ chỉ phương của (d) là: uuurd =(2; 2;1)−
Vậy phương trình tham số của đường thẳng (d) là:
3 2
2 2 2
= +
= − −
= − +
2 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là:
( ;( )) 2.3 2( 2) 1( 2) 12 2 2 73
d A P − − + − −
(Q) // (P) nên ptrình mặt phẳng (Q) có dạng: 2x- 2y + z + D = 0
-M(0; 0; 1)∈(P) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q):
( , ( ))
3
8
D D
D
D
=
-Vậy có hai mặt phẳng (Q) thỏa mãn yêu cầu bài toán:
(Q1): 2x – 2y + z + 6 = 0 ; (Q2): 2x – 2y + z – 8 = 0
0,25 0,25
0,5
0,25 0,25
0,25 0,25
Vb
(1 điểm) Ta có: ∆= – 36 = 36i2
-Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là: z1 = – 1 + 3i và z2 = – 1 – 3i
0,25
Trang 6z = − + = z = − + − =
-Vậy: A = 20
0,25 0,25 0,25