Dựng vị trí điểm M trờn đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuụng.. Chứng minh rằng tõm của đường tròn nụ̣i tiờ́p và tõm của đường tròn ngoại tiờ́p tam giác MNP lõ̀
Trang 1Trờng thcs lơng sơn thi giáo viên giỏi CấP TRƯờNG
Thờng xuân Năm học 2009-2010
Môn thi: Toán
Đề chính thức (Thời gian: 150phút - không kể thời gian giao đề)
Bài 1.(4 điểm)
a, Giải phơng trình: x 3 − + 5 x − = x 2 − 8x 18 +
b, Cho x, y là các số thoả mãn: ( x 2 + + 3 x)( y 2 + + 3 y) = 3
Hãy tính giá trị của biểu thức: 2009 2009
Bài 2( 2 điểm): Cho ba số x, y, z tuỳ ý Chứng minh rằng
2
x +y +z x y z+ +
≥ ữ Bài 3( 2 điểm): Cho a, b, c là ba số dương thoả món điều kiện a + b + c = 1
Chứng minh rằng: a b
abc
+ ≥ 16
Bài 4: (4 điểm)
1 Tìm số có hai chữ số biờ́t rằng phõn số có tử số là số đó, mõ̃u số là tích của hai chữ số của nó có phõn số tối giản là 16
9 và hiệu của số cõ̀n tìm với số có cùng các chữ số với nó nhưng viờ́t theo thứ tự ngược lại bằng 27
2 Hóy tìm các chữ số a b c d, , , biờ́t rằng các số a ad cd abcd, , , là các số chính phương
Bài 5: (3 điểm)
Cho biểu thức:
3 3
3
3 3 8
x
= − − + + ữữ + − ữ ữ
1 Rút gọn biểu thức A
2 Tìm các giá trị nguyờn của x để biểu thức A nhọ̃n giá trị nguyờn
Bài 6: (5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d khụng đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B Từ mụ̣t điểm M tùy ý trờn đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiờ́p tuyờ́n MN và MP với đường tròn (O) (M, N là hai tiờ́p điểm)
1 Chứng minh rằng MN2 =MP2 =MA MB.
2 Dựng vị trí điểm M trờn đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuụng
3 Chứng minh rằng tõm của đường tròn nụ̣i tiờ́p và tõm của đường tròn ngoại tiờ́p tam giác MNP lõ̀n lượt chạy trờn hai đường cố định khi M di đụ̣ng trờn đường thẳng d
ĐÁP ÁN
Bài 1.(4 điểm)
a(2 đ), Giải phơng trình: x 3 − + 5 x − = x 2 − 8x 18 +
Trang 2§KX§: 3 x 5 ≤ ≤ (*) 0.5 đ
¸p dông b®t Bunhiak«pski ta cã: x 3 − + 5 x − ≤ 2 x 3 5 x( − + − ) = 4 2 =
DÊu “=” x¶y ra ⇔x-3 = 5 – x ⇔x = 4 0.5 đ
Ta l¹i cã x 2 – 8x + 18 =(x – 4) 2 + 2 ≥ 0 víi ∀ x.DÊu “=” x¶y ra ⇔ x= 4 0.5 đ Suy ra x 3 − + 5 x − = x 2 − 8x 18 + ⇔x = 4
Víi x = 4 tho¶ m·n §K (*), vËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = 4 0.5 đ
b(2 đ) , Cho x, y lµ c¸c sè tho¶ m·n: ( x 2 + + 3 x)( y 2 + + 3 y) = 3 (*)
H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 2009 2009
Tõ (*) ⇒( x 2 + + 3 x)( x 2 + − 3 x)( y 2 + + 3 y) (= 3 x 2 + − 3 x)
(x 2 3 x 2) ( y 2 3 y) (3 x 2 3 x) (3 y 2 3 y) (3 x 2 3 x)
⇒ + + = + − (1) 1 đ T¬ng tù ta cã x 2 + + = 3 x y 2 + − 3 y (2)
LÊy (1) céng víi (2) ta cã : x = -y 0.5 đ Suy ra A x = 2009 + y 2009 + = 1 x 2009 − x 2009 + = 1 1
VËy A = 1 0.5 đ
Bài 2 (2 đ) : Áp dụng BĐT Côsi ta có x2 + y2 ≥ 2xy (1)
y2 + z2 ≥ 2yz (2)
z2 + x2 ≥ 2zx (3) 1 đ Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x2 + y2 + z2 ) ≥ 2( xy + yz + zx )
⇒ 2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 ) ≥ ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )
⇔ 3( x2 + y2 + z2 ) ≥ ( x + y + z )2 chia hai vế cho 9 ta được
x +y +z = x y z+ + hay 2 2 2 2
= ÷ 1 đ
Bài 3(2 đ): Áp dụng BĐT Côsi x + y ≥ 2 xy ta có ( a + b) + c ≥ 2 (a b c+ ) 1 đ
⇔ 1 ≥ 2 (a b c+ ) ⇔ 1 ≥ 4( a + b)c nhân hai vế với a + b > 0 ta được:
A + b ≥ 4(a + b)2c mà ta chứng minh được (a + b)2 ≥ 4ab
Do đó a + b ≥ 4(4ab)c hay a + b ≥ 16abc từ đây suy ra đpcm 1 đ
Bài 4:
a/ (1.5đ) Gọi số cần tìm là xy với x y, ∈Z;1 ≤x y, ≤ 9
Theo giả thiết:
3 9
90 9 16
x y
x y xy
x y xy
x y y x
+
− =
Giải hệ ta có 1 2
3 9;
16
x = x = (loại) Suy ra y= 6.
Trang 3Vâỵ số cần tìm là 96.
b/ 2,5đ) a là số chính phương, nên a= 1, 4,9.
Ta có 9 2 = 81; 10 2 = 100 nên không có số 9x nào là số chính phương Do đó a chỉ có thể là 1 hoặc 4
ad là số chính phương nên ad chỉ có thể là 16, hoặc 49 Nên d chỉ có thể là 6 hoặc
9 1đ
cd là số chính phương nên cd chỉ có thể là 16, hoặc 36, hoặc 49 Nên Nên c chỉ có thể là 1, hoặc 3, hoặc 4
Nếu a= 1 thì d = 6và c= 1 hoặc c= 3, khi đó abcd = 1 16b hay b1 36 và
( )2 ( )2
1 6bc = x4 hay x6
Ta có: 26 2 = 676; 34 2 = 1156; 36 2 = 1296; 44 2 = 1936; 46 2 = 2126 Chỉ chọn được 1936 Nếu a= 4 thì d = 9 và c= 4, khi đó ( )2 ( )2
abcd = b = x hay x
Ta có: 63 2 = 3969; 67 2 = 4489; 73 2 = 5329 Không chọn được số nào
Vậy chỉ có các chữ số a= 1,b= 9,c= 3, d= 6 thỏa mãn điều kiện bài toán 1.5đ
Bài 5
a/ (2đ)
3 3
3
3 3 8
x
= − − + + ÷÷ + − ÷ ÷
3x+ 2 3x+ = 4 3x+ 1 + > 3 0;1 + 3x > ∀ ≥ 0, x 0, nên điều kiện để A có nghĩa là
3
x − = x− x+ x+ ≠ x≥ ⇔ x ≠ ⇔ ≤ ≠x 0,75đ
3 3
3
3
x
x
+
3 2 3 2 3 4
0,5đ
( 3 32 3)(4 2 32 3 4) (3 2 3 1)
0.5đ
3 1
3 2
x
A
x
−
=
− (
4 0
3
x
≤ ≠ ) 0.25đ
b/1đ:
3
− − − 0.5đ
Trang 4Với x là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì
3 1
3 1
x x
=
(vì x∈Z và x≥0).
Khi đó: A= 4 0.5đ
Bài 6:(5đ)
a/(1.5 đ): Ta có: MN = MP (Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau) 0.5 đ Chứng minh được 2 tam giác MAN và MNB đồng dạng 0.5 đ Suy ra: MA MN MN2 MP2 MA MB.
MN = MB ⇔ = = 0.5 đ
b/ (1.5 đ) Để MNOP là hình vuông thì đường chéo OM =ON 2 =R 2 0.25 đ Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OACD, dựng đường tròn tâm O đi qua điểm D, cắt (d) tại M 0.5 đ Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP Ta có MN = MO2 −ON2 =R, nên Tam giác ONM vuông cân tại N Tương tự, tam giác OPM cũng vuông cân tại P Do đó MNOP là hình vuông 0.5 đ Bài toán luôn có 2 nghiệm hình vì OM =R 2 >R 0.25 đ
c/(2 đ): + Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O), nên MNOP là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM Tâm là trung điểm H của OM Suy ra tam giác cân MPQ nội tiếp trong đường tròn đường kính OM, tâm là H 0.5đ + Kẻ OE⊥ AB, thì E là trung điểm của AB (cố định) Kẻ HL⊥ ( )d thì HL // OE, nên
HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra: 1
2
HL= OE (không đổi) 1đ
+ Do đó, khi M đi động trên (d) thì H luôn cách dều (d) một đoạn không đổi, nên H chạy trên đường thẳng (d') // (d) và (d') đi qua trung điểm của đoạn OE 0.5đ