Gọi R và r lần lợt là các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC... PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC TRƯỜNG THCS ĐIỀN THƯỢNG HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI GIÁO VIÊN
Trang 1PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÁ THƯỚC
TRƯỜNG THCS ĐIỀN THƯỢNG
ĐỀ THI GIÁO VIấN GIỎI C ẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 – 2014 Mụn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phỳt( khụng kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang
Cõu 1: (4,0 điểm).
Giải cỏc phương trỡnh sau:
1)
9 7 2 3 7 3 3
2
x x
x
x− + − = − −
2) x2 = x3 − x2 + x2 − x
Cõu 2: (4,0 điểm).
Cho phương trỡnh:x2−mx+1=0 (1) (với ẩn là x ).
1) Giải phương trỡnh (1) khi m =3.
2) Giả sử phương trỡnh (1) cú hai nghiệmx ; 1 x Hóy tớnh 2 7
2
7
1 x x
S = + theo m
3) Tỡm một đa thức bậc 7 biến x cú hệ số nguyờn và nhận số 7 7
0
2013
2014 2014
=
nghiệm
Cõu 3: (4,0 điểm).
x+ + =y z ≠ Tớnh yz2 xz2 xy2
x + y + z 2) Tớnh tổng
S=
2014
2013
4
3 3
2 2014
2013 2013
1
4
3 3 1 3
2 2
2 2
2
2 2 2
2
Cõu 4: (6,0 điểm).
Cho hình thoi ABCD cạnh a Gọi R và r lần lợt là các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC
R +r =a
2) Chứng minh :
3 3
2 2 2
8
ABCD
R r S
R r
= + ; ( Kí hiệu S ABCD là diện tích tứ giác ABCD )
3) Trong trường hợp BAD=1080 Hóy tớnh tỉ số
AD BD
Cõu 5: (2,0 điểm).
Cho x, y, z là ba số dương thỏa món x2+y2+z2 =1Chứng minh rằng:
1 1
1 1
2 2
2
≥
− +
+
− +
+
−
z y z
y x y
x
.Dấu "=" xảy ra khi nào?
-Hết -Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
Chữ kớ của giỏm thị 1: Chữ kớ của giỏm thị 2:
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÁ THƯỚC
TRƯỜNG THCS ĐIỀN THƯỢNG
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI GIÁO VIÊN GIỎI C ẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 – 2014
Trang 3Câu Ý Nội dung Điểm
3
3≤ x≤
* Đặt
3
x
a= ( v ới 3≤a≤7 ) ta được phương trình:
0,25 0,25
2
7 6 7
Nhận thấy biểu thức vế trái của (1) không âm và
2 7
3 4
) 7 )(
3 ( 2 4 ) 7 3
thức xảy ra ⇔a∈{ }3;7
Lại xét vế phải của (1): 6a−7−a2 =2−(a−3)2 ≤2(3) Đẳng thức xảy ra
3
=
⇔a
Từ (2) và (3) suy ra phương trình (1) tương đương với phương trình
3 2
7 6 7
a
0,25 0,25
0,25
2 ĐK x=0hoặc x≥1
Với x=0thỏa mãn phương trình
0, 25 0,25
2
x −x = x x− ≤ x + −x
2
x − =x x −x ≤ x − +x
⇒ x3−x2 + x2− ≤x x2
Dấu "=" xảy ra
2
2
1 1
x x
x x
= −
⇔ − =
2
2
1
1
x x
x x
= −
= +
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
2
1 Khi m = 3 ta có phương trình x
Giải phương trình được;
2
5 3
1
+
=
2
5 3
21
−
=
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì ∆=m2−4≥0
Theo định lí Vi-et ta có:
=
= +
1 2
1
2 1
x x
m x x
Kí hiệu: S n =x1n +x2n Khi đó: S 0 =2; S 1 =m
0,25 0,25 0,25
Trang 4Mặt khác:
−
=
−
=
⇒
−
=
−
=
+ +
+ +
n n n
n n n
x mx x
x mx x
mx x
mx x
2
1 2
1 2
1
1 1
2 1
2
2 2 1
2 1
1
1
với mọi số tự nhiên n
Suy ra: S n+2 =mS n+1−S n
Từ đó tính được S 7 =m 7 -7m 5 +14m 3 -7m
0,5
0,25 0,25
3
2 7
1
2013
2014
; 2014
=
= +
1 2
1
0 2 1
x x
x x x
Theo định lí Vi-et đảo thì
x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2−x0.x+1=0
2013
2014 2014
2
7
= +
Hay: 4054182m7 −28379274m5+56758548m3−28379274m−8108365=0
Vậy đa thức cần tìm là:
8108365 28379274
56758548 28379274
x 4054182 )
P
0,5 0,25
0,25 0,25
Từ giả thiết, suy ra
xyz z
y x z y
x
3 1 1 1 1 1
1
3 3 3 3
3
= + +
⇔
−
=
+
0, 75
xyz
xyz z
xy y
xz x
yz z
y x
Vậy: 2 + 2 + 2 =3
z
xy y
xz x
yz
0,5
2
Ta có: (n+1)2 =n2 +2n+1⇒n2 +1=(n+1)2 −2n ( với n là số tự
nhiên)
Xét biểu thức:
( )
1 1
) 1 1 (
1 )
1 ( 2 1 1
) 1 ( 1
2
2
2 2
2
2 2
+
= +
+ +
− +
=
+
+ + +
− +
= +
+ + + +
n n
n n
n n
n
n n
n n n
n
n n
n n
1,0
Áp dụng ta có:
2029102 1006
)
3 2014 (
2014 2013
4 3 2014
4 3 2014
2013
4
3 3
2
2014
2013 2013
1
4
3 3 1 3
2 2
2 2
2
2 2 2
2 2
= +
=
+ +
+ +
= +
+ +
= +
+ + +
+ +
+ +
+ + + + +
=
S
Vậy S = 2029102
0,25
Trang 54 1
Hỡnh vẽ đỳng:
0,5
Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đờng trung trực của đoạn thẳng BD,BD là
đờng trung trực của AC.Do vậy nếu gọi M,I,K là giao điểm của đờng trung trực
của đoạn thẳng AB với AB,AC,BD thì ta có I,K là tâm đờng tròn ngoại tiếp các
tam giác ADB,ABC
Từ đó ta có KB = r và IB = R.Lấy một điểm E đối xứng với điểm I qua M , Ta có
BEAI là hình thoi ( vì có hai đờng chéo EI và AB vuông góc với nhau và cắt nhau
tại trung điểm mỗi đờng )
0, 5
Xét ∆EBK có EBK∧ =900,đờng cao BM.Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có
BE +BK = BM
0,5
Mà BK = r , BE = BI = R; BM =
2
a
2 Xét ∆AOB và AMI∆ có ABO∧ =AMI∧ =900và gúc A chung
AOB
2
AO
2
BM AB AB BO
0,75
4
ABCD
AB
Rr
_j
_
P
_
O _ I
_
K
_
E
_M
_
D
_
C
_
B
_
A
x
Trang 6Mà theo định lí Pi ta go trong tam giác vuông AOB ta có
2 2
4
R r
2 2 2
2 2
4R r
AB
R r
+
Từ đó ta có :
3 3
2 2 2
8
ABCD
R r S
R r
= +
Theo tớnh chất đường phõn giỏc trong tam giỏc ta cú:
AD BD
AD AD
BD AD
BP
AD AD
BD AP
AB DP
BD
−
=
⇒
−
=
⇒
Suy ra: BD2-BD.AD-AD2=0
4
5 ) 2
1 (
0
2
=
−
⇔
=
−
−
⇔
AD
BD AD
BD AD
BD
0,25
Vậy:
2
5
1+
=
AD
BD
0,25
1
) ( 1 1
2 2 2
2
y x x x
y
x y x x y
− +
−
−
≥
− +
1
2
2
z y y y z
−
2
2
x z z z x
− +
0, 75
Cộng theo từng vế của BĐT ta được:
≥
− +
+
− +
+
−
z y z
y x y
x
1 1
1
2 2
2
) 1
(
2 x y
x + − +y2(1+y−z)+z2(1+z−x)
− +
+
− +
+
−
z y z
y x y
x
1 1
1
2 2
2
1+x3+y3+z3-x2y-y2z-z2x (1)
Áp dụng BĐT Cụ-si cho 3 số dương ta cú:
y x y x
x3+ 3+ 3 ≥3 2 Tương tự: y3+y3+z3 ≥3y2z; z3+z3+x3≥3z2x
Cộng theo từng vế ta được: x3+y3+z3 ≥x2y+y2z+z2x (2)
1 1
1
2 2
2
≥
− +
+
− +
+
−
z y z
y x y
x
(đpcm)
0, 75
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z =
3
Ghi chỳ: - Thớ sinh trỡnh bày đỳng, đủ nội dung bài làm cho 20 điểm.
- Điểm của toàn bài là tổng điểm thành phần và được làm trũn số đến 0,5đ.
……… Hết ………
