Viết phơng trình của đờng thẳng AB Cõu IV : 3 điểm Cho tam giác ABC vuông tại A.. Nửa đờng tròn đờng kính AB cắt BC tại D.. Trên cung AD lấy điểm E.. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp b.
Trang 1PHòNG Giáo dục - đào tạo
Môn thi : toán THCS
Ngày thi:
Câu I : (2 điểm)
1. Phân tích thành nhân tử : x + 7 x + 12 (với x 0)
2 Giải bất phơng trình : 2 +
8
) 1 (
< 3 -
4
1
x
3 Chứng minh rằng biểu thức n(n + 5) – (n - 3)(n + 2) luôn chia hết cho 6 với mọi n là số nguyên
4 Cho hàm số f(x) =
1 2 3
x x
Tính f(2)
Cõu II : ( 2 điểm)
Cho biểu thức
5
3 3
5 15
2
25 : 1 25
5
x
x x
x x
x
x x
x x
1 Thu gọn biểu thức M
2 Tìm m để với mọi giá trị x > 30 ta có : mx( x + 3)M > x + 20
Cõu III : (2 điểm)
1 Cho a ; b là hai số tùy ý Chứng minh rằng : a4 + b4 a3b + ab3
2 Trên parabol : y =2
1
x2 lấy hai điểm A và B Biết hoành độ của A là xA = - 2 Tung độ của B
là yB = 8 Viết phơng trình của đờng thẳng AB
Cõu IV : ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Nửa đờng tròn đờng kính AB cắt BC tại D Trên cung AD lấy
điểm E Kéo dài BE cắt AC tại F
a Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
b Kéo dài DE cắt AC tại K Tia phân giác góc CKD cắt EF và CD tại M và N Tia phân giác góc CBF cắt DE và CF tại P và Q Tứ giác MPNQ là hình gì
c Gọi r, r1 , r2 lần lợt là bán kính đờng tròn nội tiếp các tam giác ABC; ADB; ADC
Chứng minh: r2 = r1 + r2
Cõu V : ( 1 điểm)
Giải hệ phơng trình :
11 1
5 5
y x y x
đáp án và hớng dẫn chấm đề thi
môn toán năm 20
I
(2đ)
II
(2đ) 1 Điều kiện: x 0 , x 9 ; x 25
1 25
5
x x x
bằng
5
5
x
0.25 0.25
nếu x 2
nếu x < 2
Trang 2Rút gọn đợc
5
3 3
5 15
2
25 :
x
x x
x x
x
5
) 3 (
x x
Rút gọn đợc M =
3
5
x
0.5
0.25
2
Ta có : mx( x + 3)M > x + 20
5mx – x > 20
(5m - 1)x > 20
Vì: x > 30 > 0 nên suy ra : 5m – 1 > 0 m > 1/5 x >
1 5
20
m
Do đó :
1 5
20
m 30 20 150m - 30 50 150m m 1/3
0.25
0.25 0.25
III
(2đ)
1
a4 + b4
a3b + ab3 Xét : (a4 – a3b) + (b4 – ab3) = a3(a - b) – b3(a - b)
= (a - b)(a3 – b3)
= (a - b)2(a2 + ab + b2)
= (a - b)2[(a + 2
1
b)2 + 4
3
b2] 0 Dấu “ = ” xẩy ra a = b
0.25
0.5 0.25
2
Vì A(xA ; yA)
y = 2
1
x2 yA = 2
1
xA2
vì xA = - 2 suy ra yA = 2
1 (- 2)2 = 2 A(- 2 ; 2)
Vì B(xB ; yB)
y = 2
1
x2 yB = 2
1
xB2
yB = 8 xB2 = 16 xB = 4 B(- 4 ; 8) hoặc B(4 ; 8)
Từ đó ta viết đợc phơng trình của đờng thẳng AB là :
Với A(- 2 ; 2) và B(4 ; 8) ta có y = x + 4 Với A(- 2 ; 2) và B(- 4 ; 8) ta có y = - 3x - 4
0.25
0.25 0.25 0.25
IV
(2.5đ)
1
Ta có : FCD = BAD (góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc)
BAD = BED (cùng chắn cung BD) FCD = BED
FCD + FED = BED + FED = 2v
Vậy tứ giác CDEF nội tiếp
0.25 0.25
0.5
2
Ta có :
Q1 = C + B1 (góc ngoài của tam giác BQC)
P1 = E1 + B2 (góc ngoài của tam giác BEP)
Mà B1 = B2 (gt) và C = E1 (Chứng minh trên)
P1 = Q1
PKQ cân tại K PQ KN và IP = IQ (I là giao điểm của PQ và KN)
IM = IN Vậy MPNQ là hình thoi
0.25
0.25 0.25 0.25
3 Ta rễ ràng chứng minh đợc:
2r = AB + AC – BC 2r = AD + DC - AC
e
P
I
1 1
2
1
2
1
1
D
O
C A
B
F k
Q
N
Trang 32r2 = AD + DB - AB
ABC ∾ DAC (g.g)
r
r BC AC AB
AC DC AC BC
AC AC
DC AB
ABC ∾ DBA (g.g)
r
r BC AC AB
AB DB AD BC
AB AB
DB AC
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 1
BC
AC AB BC
AB BC
AC r
r r r
Vậy : r2 = r1 + r2
0.25
0.25
0.25 0.25
V
(1đ)
Vì : x + y = 1 ta có :
x5 + y5 = (x5 + x2y3+ x3y2 + y5) – ( x2y3+ x3y2)
= (x3 + y3)(x2 + y2) – x2y2(x + y)
= (x + y)(x2 – xy + y2)(x2 + y2) - x2y2
=[(x + y)2 - 3xy][(x + y)2 - 2 xy] - x2y2
= (1 - 3xy)(1 - 2xy) - x2y2
= 5(xy)2 - 5xy + 1 = 11 (do : x5 + y5 = 11 ) Nên : 5(xy)2 - 5xy - 10 = 0
(xy)2 - xy - 2 = 0 xy = - 1 ; xy = 2
Suy ra hệ phơng trình tơng đơng với :
1 1
xy y x
hoặc
2 1
xy y x
Hay x ; y là nghiệm của phơng trình :
t2 - t - 1 = 0 và t2 - t + 2 = 0 phơng trình : t2 - t + 2 = 0 vô nghiệm
phơng trình : t2 - t - 1 = 0 có nghiệm :
t1 =
2
5
2 =
2
5 1
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm
(x ; y) = (
2
5 1
;
2
5 1
) ; (
2
5 1
;
2
5 1
)
0.25
0.25
0.25
0.25
Ghi chú:
Trên đõy chỉ là sơ lược từng bước giải và cho điểm từng phần của mỗi bài Bài làm của GV yờu
cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ Nếu GV làm cỏch khỏc đỳng thỡ chấm điểm tơng ứng