BẤT ĐẲNG THỨCI.. Khái niệm bất đẳng thức.. + Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng II.. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức : 1... Bất đẳng thức liên quan đ
Trang 1BẤT ĐẲNG THỨC
I Khái niệm bất đẳng thức.
1 Định nghĩa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b.
+ Nếu a – b là một số dương, tức là a – b > 0 Khi đó ta cũng ký hiệu b < a
Ta có: a b> ⇔ − >a b 0
+ Nếu a > b hoặc a = b, ta viết a≥b
Ta có: a≥b ⇔ a - b ≥ 0
2 Định nghĩa 2: Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số
Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B " A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B
" A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A B≥
" A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A B≤
được gọi là một bất đẳng thức
Quy ước :
+ Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng
+ Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng
II Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức :
1 Tính chất 1: >a b b c> ⇒ >a c
2 Tính chất 2: a b> ⇔ + > +a c b c
Hệ quả 1: a b> ⇔ − > −a c b c
Hệ quả 2: a c b+ > ⇔ > −a b c
3 Tính chất 3: >a b c d> ⇒ + > +a c b d
4 Tính chất 4: a b ac bc ac bc> nếu c > 0 nếu c < 0
> ⇔ <
Hệ quả 3: a b> ⇔ − < −a b
Hệ quả 4:
nếu c > 0 nếu c < 0
a b
c c
a b
a b
c c
>
> ⇔
<
5 Tính chất 5: > >a b c d> >00⇒ac bd>
6 Tính chất 6: a b> > ⇔ < <0 0 1 1a b
7 Tính chất 7: a>b> 0 ,n∈N* ⇒a n >b n
Trang 28 Tính chất 8: a>b> 0 ,n∈N* ⇒ n a>n b
Hệ quả 5: a> > Ûb 0 a2>b2 và a³ b³ 0Û a2³ b2
IV Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối :
1 Định nghĩa: = nếu x 0 nếu x < 0≥ ( x∈ )
−
x
x
2 Tính chất : x ≥0 , x2 =x2 , x x , -x x≤ ≤
3 Với mọi a,b∈R ta có : a b+ ≤ +a b a b− ≤ +a b
a b+ = + ⇔a b a b≥ a b− = + ⇔a b a b ≤0
V Bất đẳng thức trong tam giác :
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì a > 0, b > 0, c > 0 Ta có:
+ b c a b c− < < + + c a b c a− < < +
+ a b c a b− < < + + a b c> > ⇔ > >A B C
VI Các bất đẳng thức cơ bản :
a Bất đẳng thức Cauchy: Với hai số không âm a; b ta có : a b+ ≥2 ab
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a = b
n n .
n
n
+ + + ≥ Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an
b Bất đẳng thức Bunhiacốpski : Với bốn số thực a,b,x,y ta có :
(ax by+ ) ≤(a +b x)( +y ) Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx
Tổng quát : Với hai bộ số ( , , )a a1 2 a và n ( , , , )b b1 2 b ta có : n
(a b a b1 1+ 2 2+ + a b n n)2 ≤(a12+a22+ + a n2)(b12+b22+ + b n2)
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi 1 2
n n
a
Với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0
Phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông dụng
1 Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng
Ví du1ï:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1 a2+ + ≥b2 c2 ab bc ca+ + với mọi số thực a,b,c
2 a2+b2+ ≥1 ab a b+ + với mọi a,b
Ví dụ 2:
Trang 3Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b ≥0, chứng tỏ rằng: 3 3 ( )3
a +b ≥ a b+
2 Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp
Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : a2+ + <b2 c2 2(ab bc ca+ + )
Ví dụ 2: Cho ba số a,b,c ∈ ( 0 , 1 ) Chứng minh rằng : a( 1 −b) +b( 1 −c) +c( 1 −a) < 1
Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương Chứng minh rằng: 3x+ 2y+ 4z≥ xy+ 3 yz+ 5 zx
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có: 2 2 1 1 2 ( x y)
y x y
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :
ab(a+b− 2c) +bc(b+c− 2a) +ca(c+a− 2b) ≥ 0
Ví dụ6: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: a+b+c= 1 thì:
)
3 3 3 ( 3 3
1 3
1 3
1
c b a c b a
c b
a + +
≥ + +
Ví dụ 7: Cho a,b,c >0 và abc=1 Chứng minh rằng :
3
b c c a a b a b c
3 Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với mọi x > 0
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức:
2 1 cos
2
x
x> − với mọi x > 0
Ví dụ 3 : Chứng minh bất đẳng thức: sinx+tgx> 2x với mọi )
2
; 0 ( π
∈
x
Ví dụ 4 : Với 0<x<π2
2
3 sin
2 x+ tgx > x+
4 Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vectơ và tọa độ
VD1 Cho a > c, b > c > 0 Chứng minh rằng c(a c)- + c(b c)- £ ab
VD2 (K.A.2003) Cho x, y, z là ba số dương và x + y +z 1£ Chứng minh rằng
BÀI TẬP LÀM THÊM Bài 1: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng
3 3 1
1
≥ + + + + + + + +
zx x z yz
z y xy
y x
Khi đẳng thức xảy ra?
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi x R∈ , ta có: x x x
x x
x
5 4 3 3
20 4
15 5
12
+ +
≥
+
+
Trang 4Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 3: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn 1+1+1= 4
z y
1 2
1 2
1 2
+ +
+ + +
+ + +y z x y z x y z x
Bài 4: Với a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab+bc+ca=abc, chứng minh rằng:
2 2 2 3
2 2 2 2 2 2
≥ + + + +
+
ca
c a bc
b c ab
a b