Hàm hiện Nếu fx là một biểu thức của đối số x thì ta nói hàm số có dạng hiện.. Ta quy ớc rằng nếu hàm cho bằng biểu thức thì miền xác định của nó tà tập các điểm làm cho biểu thức có ng
Trang 1Chơng 3
Hàm số và giới hạn
3.1 Hàm số
1 Các định nghĩa
a Định nghĩa hàm số
Cho tập X⊆R, ánh xạ: f: X→R đợc gọi là một hàm số xác định trên X, ký hiệu: y=f(x)
- X gọi là miền xác định của f, f(X)={y=f(x)∈R: x∈X} gọi là miền giá trị của f
- Tập {(x,f(x)): x∈X}⊂R2 gọi là đồ thị của f(x)
Nh vậy hàm y=f(x), x∈X là quy luật f cho ứng mỗi phần tử x∈X với một phần tử xác định y∈R Khi đó x gọi là đối số còn y gọi là giá trị của hàm số
Chú ý: Hàm số không phụ thuộc vào ký hiệu của đối số mà chỉ phụ thuộc quy luật f để xác định giá trị của hàm số
b Một số dáng điệu đơn giản của hàm số
Cho hàm f(x) xác định trên tập X
(i) Hàm đơn điệu
Cho tập V⊆X, khi đó:
+ f(x) đợc gọi là hàm đơn điệu tăng (đồng biến) trên V nếu: ∀x1,x2∈V: x1<x2⇒
f(x1)<f(x2)
+ f(x) đợc gọi là đơn điệu giảm(nghịch biến) trên V nếu:
∀x1,x2∈V: x1<x2⇒ f(x1)>f(x2) + f(x) đợc gọi là đơn điệu không giảm trên V nếu:
∀x1,x2∈V: x1<x2⇒ f(x1)≤f(x2) + f(x) đợc gọi là đơn điệu không tăng trên V nếu:
∀x1,x2∈V: x1<x2⇒ f(x1)≥f(x2) Tất cả các hàm đơn điệu tăng, giảm, đơn điệu không tăng hay không giảm trên V đợc gọi chung là các hàm đơn điệu trên V Nếu f(x) đơn điệu tăng hay giảm trên V, ta nói f(x) đơn điệu ngặt, hay đơn
điệu thực sự trên V và khi đó chúng là các song ánh xác định trên V
Nếu X đợc chia thành những tập con V mà trên đó f(x) là hàm đơn điệu thì ta nói f(x) đơn điệu từng khúc trên X
Ví dụ 3.1:
a y=ln(1+x) là hàm đơn điệu tăng trên X=(-1,+∞)
b y=sin x là hàm đơn điệu từng khúc trên R, nó đơn điệu tăng trên V=
−
2
, 2
π
(ii) Hàm chẵn, lẻ
Nếu X là miền đối xứng qua điểm 0, khi đó:
+ f(x) gọi là hàm chẵn nếu f(-x)=f(x), ∀x∈X
+ f(x) gọi là hàm lẻ nếu f(-x)=-f(x), ∀x∈X
Ví dụ 3.2: f(x)=
1
1 cos 2
2
2
−
−
+
−
x x
x x
là hàm chẵn
f(x)=
x x
tgx x
sin
2
3− là hàm lẻ
(iii) Hàm tuần hoàn
Nếu tồn tại số T sao cho:
f(x+T)=f(x), ∀x∈X (1) thì f(x) đợc gọi là tuần hoàn trên X Số T>0 nhỏ nhất thoả mãn (1) đợc gọi là chu kỳ của f(x)
Ví dụ 3.3:
y=cos4x+2sin3x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T=2π
(vi) Hàm bị chặn
+ f(x) đợc gọi là bị chặn trên nếu: ∃M, f(x)≤M, ∀x∈X
+ f(x) đợc gọi là bị chặn dới nếu: ∃M, f(x)≥ M, ∀x∈X
+ f(x) đợc gọi là bị chặn nếu: ∃M>0, f(x)≤M, ∀x∈X
c Hàm hợp
Cho hàm số y=f(x) với miền xác định X và miền giá trị Y=f(X) và hàm số z=g(y) với miền xác
định Y, nh vậy: X f Y g Z
→
→ Khi đó hàm:
Trang 2h(x)= (gof)(x)=g(f(x))
đợc gọi là hàm hợp của hai hàm f và g ở đây x là biến độc lập còn y là biến phụ thuộc x
Ví dụ 3.4: h(x)=e x2 − sinx
là hàm hợp của hàm g(y)=ey và f(x)=x2-sinx
2 Các phơng pháp cho hàm số
a Hàm số cho dới dạng bảng số
Nếu miền xác định X của hàm y=f(x) có hữu hạn giá trị: x1, x2,…,xn, ta có thể cho hàm dới dạng bảng
f(x) f(x1) f(x2) … f(xn)
Ví dụ 3.5: Hàm p=p(x) cho bằng bảng dới đây:
X 0 1 2 3 4
Pi=p(xi) 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256
Các hàm cho dới dạng bảng hay đợc dùng trong phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
b Hàm hiện
Nếu f(x) là một biểu thức của đối số x thì ta nói hàm số có dạng hiện
Ví dụ 3.6: y= 1−x2 +2x
Một hàm có thể cho bằng nhiều biểu thức trong những khoảng khác nhau
Ví dụ 3.7: y=
≤
<
≤
<
x x
x
x x x
3
3 0
1
0 sin
Ta quy ớc rằng nếu hàm cho bằng biểu thức thì miền xác định của nó tà tập các điểm làm cho biểu thức có nghĩa
c Hàm ẩn
Nếu từ biểu thức:
ϕ(x,y)=0 ứng với mỗi x∈X, xác định đợc y tơng ứng để biểu thức thoả mãn thì ta nói biểu thức xác định một hàm ẩn trên X
Ví dụ 3.8: x2+y2=1
Với mỗi x∈X=[-1,1] ta xác định đợc các giá trị y tơng ứng là: y1= 1 x− 2 và y2=− 1 x− 2
Đó là trị tơng ứng với nửa trên và nửa dới của đờng tròn đơn vị
d Hàm cho bởi phơng trình tham số
Nếu x và y đều là những biểu thức phụ thuộc vào biến t, khi đó từ hệ thức:
=
=
) (
) (
t y y
t x x
(x∈T) sao cho ứng với mỗi t∈T ta xác định đợc bộ giá trị x, y tơng ứng thì ta nói hệ thức xác định phơng trình tham số của hàm
Ví dụ 3.9:
=
=
) sin(
) cos(
t b y
t a x
t∈[0,2π]
là phơng trình của elip:
1
2
2 2
2
= +
b
y a
x
3 Hàm ngợc
a Định nghĩa
Cho hàm y=f(x), nếu tồn tại hàm z=g(y) mà tích: (gof)(x)=g(f(x))=x
thì g(y) đợc gọi là hàm ngợc của f(x), ký hiệu g(y)=f -1(y)
Vì hàm số không phụ thuộc ký hiệu của đối số nên nếu dùng x là ký hiệu đối số ta có thể viết: y=g(x)=f –1(x)
Tính chất:
(i) f(x) xác định trên X, khi đó f(x) có hàm ngợc f –1(x) khi và chỉ khi f(x) đơn điệu thực sự trên X
(ii) Đồ thị của f(x) và f –1(x) đối xứng qua đờng phân giác của góc phần t thứ nhất
Trang 3Ví dụ 3.10: Ký hiệu logex=lnx ( đọc là loga Nepe của x) hàm y=ex và y=ln(x) là hai hàm ngợc của nhau vì:
eln(x)=ln(ex)=x chúng có đồ thị đối xứng qua đờng phân giác thứ nhất:
Hình 1
b Các hàm lợng giác ngợc
(i) Hàm y=arcsin x
Hàm y=sin x, với x∈−
2
, 2
π π
là một song ánh từ −
2
, 2
π π
lên [-1,1] nên nó có hàm ngợc: x=arcsin y
Với quy ớc x là đối số, y là hàm số thì hàm ngợc của y=sinx là: y=arcsin x
Hàm y=arcsin x có miền xác định x∈[-1,1] và miền giá trị y∈−
2
, 2
π π
Hàm y=arcsin x có các tính chất:
1 arcsin(-x)=- arcsinx
2 sin(arcsin x)= arcsin(sin x)=x
3 Từ sin x=α⇔
+
−
=
+
=
π α π
π α
k x
k x
2 arcsin
2 arcsin
k∈Z
4 cos(arcsin x)= 1 x− 2
(ii) Hàm y=arccosx
Hàm y= cosx , với x∈[0,π] là một song ánh từ [0,π] lên [-1,1] nên nó có hàm ngợc:
x=arccosy Với quy ớc x là đối số, y là hàm số thì hàm ngợc của y=cosx là:
y=arccosx Hàm y= arccosx có miền xác định x∈[-1,1] và miền giá trị y∈[0,π]
y=arcsinx Hình 2 y=arccosx
Hàm y=arccos x có các tính chất:
1 arccos(-x)=π - arccosx
2 cos(arccosx)= arccos(cosx)=x
3 Từ cosx=α⇔ x=± arccos α+2kπ k∈Z
4 sin(arccosx)= 1 x− 2
5 Từ sin x=cos( −x
2
π ) suy ra:
arcsinx+arccosx=
2
π
(iii) Hàm y=arctg x
Trang 4Hàm y=tg x, với x∈
−
2
, 2
π π
là một song ánh từ
−
2
, 2
π π
lên (-∞,+∞) nên nó có hàm ngợc:
x=arctg y Với quy ớc x là đối số, y là hàm số thì hàm ngợc của y=tgx là:
y=arctgx Hàm y=arctg x có miền xác định x∈(-∞,+∞) và miền giá trị y∈
−
2
, 2
π π
Đồ thị của hàm y=arctg x và y=tg x đối xứng qua đờng phân giác của góc phần t thứ nhất và có hai đờng tiện cận ngang là: y=
2
π và y=
2
π
Hàm y=arctg x có các tính chất:
1 arctg(-x)=- arctgx
2 tg(arctg x)= arctg(tg x)=x
3 Từ tg x=α⇔ x=arctg α+kπ k∈Z
(iv) Hàm y=arccotg x
Hàm y=cotg x , với x∈(0,π) là một song ánh từ (0,π) lên (-∞,+∞) nên nó có hàm ngợc:
x=arccotg y Với quy ớc x là đối số, y là hàm số thì hàm ngợc của y=cotg x là:
y=arccotg x Hàm y=arccotg x có miền xác định x∈(-∞,+∞) và miền giá trị y∈(0,π) Đồ thị của hàm
y=arccotg x và y=cotg x đối xứng với nhau qua đờng phân giác của góc phần t thứ nhất và có hai đ-ờng tiện cận ngang là: y=0 và y=π
y=arctgx Hình 3 y=arccotgx
Hàm y=arccotg x có các tính chất:
1 arccotg(-x)=π- arccotgx
2 cotg(arccotgx)= arccotg(cotg x)=x
3 Từ cotgx=α⇔ x=arccotgα+kπ k∈Z
4 arctgx+arccotgx=
2
π
c Hàm ngợc của các hàm Hypebôn
Xét các hàm:
shx=
2
x
x e
e − − , chx=
2
x
x e
e + −
thx=
x x
x x
e e
e e chx
shx
−
−
+
−
= , cthx=
x x
x x
e e
e e shx
chx
−
−
−
+
=
tơng ứng gọi là hàm sinhypebôn, coshypebôn, tanghypebôn và côtanghypebôn
Các hàm trên có các công thức biến đổi rất giống với các hàm lợng giác:
ch2x-sh2x=1 sh2x=2shx.chx ch2x=ch2x+sh2x sh(x+y)=shx.chy+chx.shy ch(x+y)=chx.chy+shx.shy sh(x-y)=shx.chy-chx.shy ch(x-y)=chx.chy-shx.shy Hàm y=shx là một song ánh từ R lên R Từ y=
2
x
x e
e − − tính x theo y ta đợc:
0 1 2
2x − ye x − =
e
Trang 5Hay e x = y± y2 +1
Vì hàm ex luôn dơng nên chỉ lấy dấu cộng Vậy hàm y=shx có hàm ngợc:
ln + 2 +
y
Tơng tự hàm y=chx là một song ánh từ [0,+∞) lên [1,+∞) nên nó có hàm ngợc và hàm ngợc của nó là:
ln + 2 −
y
4 Hàm sơ cấp
a Định nghĩa
Định nghĩa 1: (Hàm sơ cấp cơ bản) Các hàm sau đợc gọi là các hàm sơ cấp cơ bản:
+ Hàm luỹ thừa xα
+ Hàm mũ ax (a>0)
+ Hàm lôgarit logax (a>0)
+ Các hàm lợng giác: sin x, cos x, tg x, cotg x
+ Các hàm lợng giác ngợc: arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x
Định nghĩa 2: (Hàm sơ cấp)
Hàm sơ cấp là các hàm đợc lập từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phép tính tổng, hiệu, tích, thơng
và phép lấy hàm hợp của các hàm sơ cấp cơ bản
Ví dụ 3.11:
+ Các hàm: y=arctg(x+ 1−x2), y=
1 lg
2
+
+
x
là các hàm sơ cấp
+ Các hàm:
y= x , y=
≥
−
<
+
0 1
0 sin
x khi e
x khi x x
>
=
<
−
0 1
0 0
0 1
x khi
x khi
x khi
không là các hàm sơ cấp Hàm sgn x gọi là hàm dấu của x
3.2 Giới hạn của hàm số
1 Các định nghĩa
a Giới hạn hàm số khi x dần tới x 0 hữu hạn
Định nghĩa 3: Cho hàm f(x) xác định tại lân cận u(x0), không cần xác định tại x0 Ta nói f(x) có giới hạn L ( hữu hạn) trong quá trình x→x0, ký hiệu:
x x f x =L
lim 0 nếu với mọi dãy {xn}∞
= 1
n , xn∈ u(x0), xn≠x0 và limx n x0
∞
→ mà dãy các giá trị tơng ứng của hàm số
lim
x
x f x
Ví dụ 3.12: Chứng tỏ lim cos1 0
Hiển nhiên f(x)=xcos
x
1 không xác định tại x
0=0 Lấy dãy {xn}⊂(-1,1) bất kỳ và xn→0, ta có:
n n
n n
x
x x
0
Vì lim =0
∞
n x nên lim cos1 0
Từ định nghĩa 1 ta thấy, nếu có hai dãy: {xn} và {x’n} mà: xn→x0, và x’n→x0 nhng:
) ' ( lim ) ( lim
0
x
n
thì f(x) không có giới hạn khi x→x0
Ví dụ 3.13: Chứng tỏ hàm f(x)=cos
x
1 không có giới hạn trong quá trình x→0
Trang 6Xét hai dãy
π
x n
2 2
1
+
= và
π
n
x n
2
1 ' = ta có:
f(xn)=cos
n
x
1
=cos(
2
π +2nπ)=0→0
f(x’n)=cos
n
x'
1
=cos(2nπ)=1→1
Do đó cos
x
1 không có giới hạn trong quá trình x→0
Định nghĩa 4: Cho hàm f(x) xác định tại lân cận u(x0), không cần xác định tại x0 Ta nói f(x) có giới hạn L ( hữu hạn) trong quá trình x→x0, nếu ∀ε>0 cho trớc, ∃δ>0 sao cho ∀x: 0< x−x0 <δ thì
ε
<
−L
x
Nh vậy khi x∈uδ(x0) (x≠x0) thì f(x)∈ uε(L)
Định nghĩa 1 và định nghĩa 2 là hai định nghĩa tơng đơng
Chứng minh: (Phản chứng)
Giả sử L là giới hạn của f(x) khi x→x0 theo định nghĩa 1 Nhng ∃ε0>0, ∀δ>0, ∃ξ: 0<|ξ-x0|<δ
mà |f(ξ)-L|≥ε0
Lấy {δn} là dãy hội tụ đến 0 Ký hiệu ξn là điểm thoả mãn giả thiết trên ứng với δn
Do |ξn-x0|<δn và δn→0 nên ξn→x0 nhng |f(ξn)-L|≥ε0 nên dãy { f(ξn)} không hội tụ về L, trái với giả thiết, vậy từ định nghĩa 1 suy ra định nghĩa 2
Giả sử ∀ε>0, ∃δ>0, ∀x: 0< x−x0 <δ thì f(x)−L <ε và
x→x0 Khi đó với δ đã chọn ở trên thì ∃n0: n>n0, |xn-x0|<δ Nh vậy ta có:
∀ε>0, ∃n0: n>n0: |f(xn)-L| <ε
lim
x
x f x
n L với mọi dãy {xn} hội tụ đến x0
Ví dụ 3.14: Chứng minh lim cos1 0
x
Từ − = = < x <ε
x
x x x x
f( ) 0 cos1 cos1
Ta chỉ cần chọn: δ =ε, khi đó:
∀ε>0, ∃δ>0, ∀x: 0< x <δ thì <ε
x
xcos1
Hay lim cos1 0
x
Chú ý: Định nghĩa 3 thờng thuận lợi cho việc chứng tỏ một hàm không có giới hạn trong một quá trình nào đó, còn định nghĩa 4 đợc sử dụng khi tìm giới hạn của hàm số trong quá trình đó
b Giới hạn hàm khi x dần tới vô cực
Định nghĩa 5: Cho hàm f(x) xác định với mọi x có trị tuyệt đối lớn tuỳ ý Ta nói f(x) có giới hạn
L khi x→∞ nếu thoả mãn một trong hai điều kiện sau:
(i) Với mọi dãy {xn} mà xn→∞ thì dãy {f(xn)} →L
(ii) ∀ε>0, ∃M>0, ∀x: x >M thì f(x)−L <ε
Ta ký hiệu: f x L
∞
lim
Ví dụ 3.15: Chứng minh lim 2 1
1
=
∞
→
x
x e
Với ε>0 đủ bé, từ biểu thức: | 2 1
1
−
x
e |<ε suy ra:
Trang 7ε < < +
1
x
e ⇔ 12 < ln( 1 +ε)
x
⇔ x2>ln(11+ε)⇔ x > ln(11+ε) =M
Nh vậy với
) 1 ln(
1
ε
+
>
x =M thì | 2 1
1
−
x
e |<ε, hay lim 2 1
1
=
∞
→
x
c Giới hạn vô cùng của hàm số
Định nghĩa 6: Cho hàm f(x) xác định tại lân cận u(x0) không cần xác định tại x0 Ta nói f(x) có giới hạn ∞ trong quá trình x→x0, nếu ∀M>0 cho trớc, ∃δ>0 sao cho ∀x: 0< x−x0 <δ thì
M
x
f( ) > , ký hiệu = ∞
lim
0
x f
x
Ví dụ 3.16: Chứng minh =∞
→
2
1 0
lim x
x e
Từ biểu thức: | 2
1
x
e |=e x2 >M
1
hay
M
1
2 > ⇔ x2<
M
ln
1
M
x
ln 1
Nh vậy với < =δ
M
x
ln
1
thì | 2
1
x
e |>M Hay =∞
→
2
1
0
lim x
Định nghĩa 7: Cho hàm f(x) xác định với mọi x có trị tuyệt đối lớn tuỳ ý Ta nói f(x) có gới hạn L
khi x→∞ nếu
∀N>0, ∃M>0, ∀x: x >M thì f(x) > N
Ta ký hiệu: f x L
∞
lim
Nếu f(x) có giới hạn L khi x→+∞ hoặc x→-∞ ta viết
L=xlim→+∞ f(x) hoặc L=xlim→−∞ f(x) Trong một quá trình nào đó, một hàm có giới hạn 0 ta gọi nó là một vô cùng bé trong quá trình
đó; một hàm có giới hạn vô cùng ta gọi nó là một vô cùng lớn trong quá trình đó
Các vô cùng bé và các vô cùng lớn tham gia vào cùng một biểu thức cần lấy giới hạn trong cùng một quá trình sẽ lập nên những dạng bất định mà việc khử nó là vấn đề quan trọng khi lấy giới hạn
d Giới hạn một phía
Định nghĩa 8:
Nếu hàm f(x) xác định với những x<x0 ta nói f(x) xác định ở lân cận bên trái x0 Khi cho x dần tới
x0 từ các giá trị bé hơn x0, hay x dần tới x0 từ bên trái, ký hiệu x→x0-0, mà f(x)→L thì L đợc gọi là giới hạn trái của x0, ký hiệu f(x0-0), nh vậy:
f(x0-0)=x x f x = L
−
0
0 Nếu hàm f(x) xác định với những x>x0 ta nói f(x) xác định ở lân cận bên phải x0 Khi cho x dần tới
x0 từ các giá trị lớn hơn x0, hay x dần tới x0 từ bên phải, ký hiệu x→x0+0, mà f(x)→L thì L đợc gọi
là giới hạn phải của x0, ký hiệu f(x0+0), nh vậy:
f(x0+0)=x x f x =L
+
0
0
Định lý: Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) có giới hạn khi x→x0 là nó có giới hạn phải và giới hạn trái tại x0 và hai giới hạn đó bằng nhau
Ví dụ 3.17:
1 Tìm
x
x
x 0
lim
Ta có
<
−
≥
=
0
0
x khi x
x khi x
Trang 8lim lim lim1 1
0 0
+
→ +
→ +
x x
x
1 1 lim lim
lim
0 0
+
→
−
→
−
x x
x
Vậy hàm số không có giới hạn khi x→0
2 Tìm x
x e
1 0
lim
→
Đặt t=
x
1
ta có:
+∞
=
=
+∞
→ +
→
t t
x
xlime lime
1
0
0 lim lim
1
−∞
→
−
→
t t
x
Vậy hàm số không có giới hạn khi x→0
3 Một số tính chất của hàm có giới hạn
Từ đây trở đi khi viết x a f x =L
lim nếu không nói gì ta hiểu L là hữu hạn còn a có thể hữu hạn hoặc có thể bằng vô cùng
Định lý 1
1 Nếu f(x)=C, ∀x thì x a f x =C
lim
2 Nếu ∃ limx→a f(x)=L thì giới hạn là duy nhất
Với a=x0 hữu hạn
3 Cho x x f x =L
lim
0
(i) Nếu L>0 (hoặc L<0) thì ∃ε>0 (đủ nhỏ) sao cho ∀x∈Uε(x0), f(x)>0 (f(x)<0)
(ii) Nếu ∃ε>0 đủ nhỏ sao cho:∀x∈Uε(x0), f(x)>0 (f(x)≥0) thì L ≥ 0
4 Nếu ∃ε>0 đủ nhỏ sao cho ∀x∈Uε(x0): f(x)>g(x) (hoặc f(x)≥g(x)) thì:
) ( lim 0
x f
x
x→ ≥xlim→x0g(x)
4 Các phép toán về giới hạn của hàm
Định lý 2: Cho lim f(x) L1
a
a
1 limCf(x) CL1
a
→ với C là hằng số
2 lim[f(x) g(x)] L1 L2
a
→
3 lim[f(x).g(x)] L1.L2
a
→
4
2
1
) (
) (
lim
L
L x
g
x
f
a
→ nếu L2≠0
5 Nếu có: limu(x) u0
a
→ và lim ( ) ( 0)
0
u f u f
u
) ( )]
( lim [ )) ( ( lim f u x f u x f u0
a x a
→
→
Chú ý:
Định lý 2 cha cho ta khẳng định trong các trờng hợp vô định sau:
1 Khi L1=0, L2=0 ta có dạng vô định
0
0.
2 Khi L1=∞, L2=∞ ta có dạng vô định: ∞ -∞ và
∞
∞
3 Khi L1=0, L2=∞ ta có dạng vô định 0.∞
Trang 9Khi gặp các dạng vô định trên ta phải thực hiện khử các dạng vô định đó rồi mới áp dụng các quy tắc trên để lấy giới hạn
Ví dụ 3.18:
1
1
1 lim
−
n
x x
x có dạng
0
0 Dùng đẳng thức:
xp-1=(x-1)(1+x+…+xp-1) (p nguyên, p>1)
ta có:
1
1 1
1
1
1 )
1 )(
1 (
)
1 )(
1 ( 1
1
−
−
−
−
+ + +
+ + +
= +
+ +
−
+ + +
−
=
−
−
m
n m
n m
n
x x
x x
x x
x
x x
x x
x
Vậy
m
n x
x
m
n
−
−
1 lim
1
2
1
lim
+
+
+∞
x x
∞
∞.
Thực hiện chia tử và mẫu cho x đợc:
1
lim
+
+
+∞
x x
1 1
1 1
+
+
+∞
→
x
x
x
3
−
−
−
2 1
3 lim
x x
x có dạng ∞ - ∞
Đặt x=y6, x→1, y→1 Ta có:
−
−
−
2 1
3 lim
x x
2
1 ) 1
)(
1 (
2 1
+ + +
+
y
y
4 x( x x)
+∞
lim 2 giới hạn có dạng ∞.0 vì:
1
1 lim
) 1 (
lim
2
+ +
=
− +
+∞
→ +∞
x
Vậy x( x x)
+∞
2
1 1
lim
+ +
+∞
x
x
5 Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn
a Tiêu chuẩn Côsi
Định lý 3: Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) có giới hạn tại x0 là: ∀ε>0, ∃δ>0, ∀x, x’: 0<
δ
<
−x0
x và x ' x− 0 <δ thì f(x)− f(x') <ε
b Tiêu chuẩn kẹp
Định lý 4: Giả sử cho các hàm f(x), g(x) và h(x) thoả mãn bất đẳng thức:
f(x)≤g(x)≤h(x), ∀x∈U (x0) Khi đó nếu x x f x =x x h x =L
→
lim
0
L x g
x
lim 0
Ví dụ 3.19: Ví dụ quan trọng nhất của định lý 4 là giới hạn quen thuộc đã đợc chứng minh ở lớp phổ thông trung học:
1
sin lim
x
x
áp dụng kết quả trên tìm các giới hạn sau:
Trang 102
1 1 2 1 2
2 sin 2
1 lim cos
1
lim
2
0 2
=
−
→
x x
x
x x
0 2
0
) 3 cos 1 ( ) 1 (cos lim 3
cos cos
lim
x
x x
x
x x
x x
− +
−
=
−
→
→
4 2
1 9 2
1 )
3 (
3 cos 1 lim 9 cos 1
0 2
−
=
→
x x
x
x x
3 Dùng hằng đẳng thức: 1-ab=(1-a)b+(1-b) ta có:
x
x x
x x
x x
x
2 cos 1 2 cos ) cos 1 ( lim cos
1
2 cos cos 1
lim
0
− +
−
=
−
−
→
→
5 2 2
1 4 1 cos 1
) 2 (
2 cos 1 lim 4 2 cos
lim
2 2
0
−
− +
=
→
x x
x x
x x
c Tiêu chuẩn cho hàm đơn điệu
Định lý 5:
1 Cho f(x) là hàm đơn điệu không giảm xác định trên R; khi đó nếu f(x) bị chặn trên thì tồn tại giới hạn:
L x f
+∞
lim Với L là số không lớn hơn cận trên đúng của f(x) (x∈R)
2 Cho f(x) là hàm đơn điệu không tăng xác định trên R; khi đó nếu f(x) bị chặn dới thì tồn tại giới hạn:
L x f
+∞
lim Với L là số không lớn hơn cận dới đúng của f(x) (x∈R)
Ví dụ 3.20: Chứng minh
x
+
+∞
→
1 1
x
x
+
=
−∞
→
1 1 lim Với mọi x>1 đều có số tự nhiên n sao cho: n ≤ x ≤ n+1
Do đó:
n x n
1 1 1
1
≤
≤ +
Hay
1
1 1
1 1 1
1 1
+
+
≤
+
≤
+ +
n x
n
n x
n
Chuyển giới hạn qua bất đẳng thức kép ta đợc:
x
+
+∞
→
1 1
Đổi biến t=-(x+1), khi x→ -∞ thì t→ +∞, khi đó:
x
+
−∞
→
1 1
) 1 (
1
1 1 lim
+
− +∞
+
−
t
) 1 (
1 lim
+
− +∞
+
t
t
=
+
=
+ +∞
→
1
1 lim
t
t
e t
t t
t
+
+
+∞
→ +∞
→
1 1 lim
1 1 lim
Chú ý: Đặt
x
1
=
α ta đợc:
01 lim Các biểu thức
x
x
1 và (1+α)α1 là các dạng vô định loại 1 , mà khi gặp dạng vô định ∞ 1∞
ta hay dùng nó để khử