HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ ppt

Nếu hàm hai biến cho bởi: z=fx,ytrong đó fx,y là một biểu thức của x,y thì ta nói hàm hai biến cho dới dạng hiện.. Nếu từ biểu thức: ϕx,y,z=0với mỗi x,y∈D ta xác định đợc z tơng ứng để b

TrÇn V¨n Minh_NguyÔn cao nh¹c (§ång chñ biªn) NguyÔn huy hoµng_nguyÔn v¨n viÖt

nguyÔn minh khoa_ §Æng thÞ Mai

Hàm số nhiều biến số1.1 Tập hợp trong Rn

Xét không gian Ơclit n chiều Rn (n>1):

Rn={x=(x1,x2,…,xn): xi∈R, i= n1 } ,

Nh vậy mỗi phần tử x=(x1,x2,…,xn) là một bộ có sắp thứ tự gồm n số thực Ta cũng gọi mỗi phần tử của

Rn là một điểm trong Rn và ký hiệu chúng bằng các chữ cái in hoa: A, B,…

Trong tài liệu này chúng ta xét với n=2 hoặc n=3 Mọi khái niệm và kết quả thu đợc đều mở rộng

đ-ợc cho n hữu hạn tuỳ ý

a Khoảng cách giữa hai điểm: Giả sử M(x1,x2,…,xn), N(y1,y2,…,yn) là hai điểm trong Rn, ta gọikhoảng cách giữa hai điểm đó, ký hiệu d(M,N), là số đợc xác định bởi:

d(M,N)= ∑

=

−

n i

c Tập mở: Cho E là một tập trong Rn

- Điểm M∈E đợc gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một ε_lân cận nào đó của M nằm trong E.

- Tập E đợc gọi là mở nếu mọi điểm của E đều là điểm trong

- Cho điểm M0 và số r>0, khi đó tập E xác định bởi:

E={M: d(M0,M)<r}

gọi là quả cầu mở bán kính r chứa M0

Hiển nhiên E là một tập mở Thật vậy, giả sử M là một điểm bất kỳ thuộc E, hay d(M0,M)<r Đặt

ε=r-d(M0,M) khi đó uε(M0) nằm hoàn toàn trong E, vì nếu M’∈ uε(M0) thì d(M0,M’)< ε, khi đó theobất đẳng thức tam giác ta có:

d(M0M’)≤d(M0,M)+d(M,M’)<d(M0,M)+ ε=r

d Biên của tập hợp: Ta gọi M0 là điểm biên của tập E nếu mọi uε(M0) vừa chứa những điểm thuộc Evừa chứa những điểm không thuộc E Điểm biên của E có thể thuộc E mà cũng có thể không thuộc E.Tập tất cả các điểm biên của E gọi là biên của E

e Tập đóng: Tập E đợc gọi là đóng nếu E chứa mọi điểm biên của nó.

Cho điểm M0 và số r>0, khi đó tập E xác định bởi:

E={M: d(M0,M)≤r}

gọi là quả cầu đóng bán kính r chứa M0, còn tập:

Γ={M: d(M0,M)=r}

là biên của quả cầu đó

f Tập bị chặn: Tập E đợc gọi là bị chặn nếu tồn tại một quả cầu nào đó chứa nó.

1.2 Hàm nhiều biến số

1 Định nghĩa: Cho D là một tập con trong Rn Ta gọi ánh xạ:

f: D→Rcho ứng mỗi x=(x1,x2,…,xn)∈D với một số thực xác định u là một hàm số n biến xác định trên D và kýhiệu:

u=f(x1,x2,…,xn) Nếu xem (x1,x2,…,xn) là toạ độ của điểm M∈Rn thì ta cũng có thể viết u=f(M)

Nếu n=2 hay n=3 ta thờng dùng ký hiệu: z=f(x,y) hay u=u(x,y,z)

Ta gọi D là miền xác định và f(D) là miền giá trị của hàm f

Nếu hàm hai biến cho bởi:

z=f(x,y)trong đó f(x,y) là một biểu thức của x,y thì ta nói hàm hai biến cho dới dạng hiện

Nếu từ biểu thức:

ϕ(x,y,z)=0với mỗi (x,y)∈D ta xác định đợc z tơng ứng để biểu thức trên thoả mãn thì ta nói biểu thức xác địnhmột hàm ẩn hai biến z=z(x,y)

Trong các biểu thức trên x,y là các biến độc lập, còn z là biến phụ thuộc

0),,,,(

v u z y x G

v u z y x F

với mỗi (x,y,z)∈Ω ta xác định đợc u, v tơng ứng để hệ thức thoả mãn thì ta nói hệ thức xác định một

hệ hai hàm ẩn ba biến:

u=u(x,y,z) v=v(x,y,z)

2 Miền xác định và ý nghĩa hình học của hàm hai biến

Nếu hàm z cho bởi biểu thức z=f(x,y) thì miền xác định của z là tập tất cả những điểm M(x,y)∈R2sao cho biểu thức f(x,y) có nghĩa, nó thờng là một tập liên thông trong R2

Nếu z=f(x,y) có miền xác định D thì tập hợp:

Ω={(x,y,z): x,y∈D}⊂R3

đợc gọi là đồ thị của hàm z=f(x,y) Khi (x,y) chạy trên D, thì điểm M(x,y,z) vẽ lên một mặt trongkhông gian, nh vậy Ω là một mặt trong không gian mà hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳngOxy là miền xác định D

Ví dụ 1.1: Tìm và biểu diễn hình học miền xác định của hàm số:

xy x

0

2 2

y x

2 2

y x x

Có biểu diễn hình học là hình 2a

b u=

2

2 2

2 2

21

c

z b

y a

2 2

2

≤++

c

z b

y a

x , đó là một elipxôit, hình 2b.

Ví dụ 1.2: Biểu diễn hình học hàm số:

1 Giới hạn của hàm hai biến

Trong mặt phẳng, khi cho x→x0, y→y0 thì điểm M(x,y) dần đến điểm M0(x0,y0), điều này tơng đơngvới khoảng cách:

0 ) ( ) ( ) ,

0

2 0

0 0

) , ( )

y x f

y x y

Ngời ta chứng minh đợc định nghĩa 1 tơng đơng với định nghĩa sau:

Định nghĩa 2: Ta nói hàm z=f(M) có giới hạn a khi M→M0 nếu với mọi dãy điểm Mn(xn,yn)(Mn∈D) dần đến M0(x0,y0) ta đều có: n f x n y n =a

+∞

→ ( , )

lim

Chú ý:

1 Theo định nghĩa, giới hạn của hàm số không phụ thuộc cách thức điểm M dần đến M0, do đó nếu

M dần đến M0 theo những cách thức khác nhau mà hàm có giới hạn khác nhau thì hàm số không cógiới hạn khi M dần đến M0

2 Cũng nh hàm một biến số ta cũng có các định nghĩa tơng tự dới đây:

∞

→∞

→ ( , ) lim f x y

y x

3 Các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích , thơng đối với hàm một biến cũng đúng với hàm nhiềubiến và đợc chứng minh tơng tự

lim

y x

+ xác định với mọi (x,y)≠(0,0).

Cho (x,y)→(0,0) theo phơng của đờng thẳng y=kx ta có:

2 2

0

0

) sin(

sin lim

k

k x

k

kx x

x y

x

xy

≤ +

= + 2 2 2 2

0 0

lim

y x

xy

y

2 Tính liên tục của hàm nhiều biến số

Định nghĩa 3: Giả sử hàm số f(x,y)=f(M) xác định trong miền D và M0(x0,y0) là điểm thuộc D Tanói rằng f(M) liên tục tại M0 nếu tồn tại giới hạn:

) ( ) (

0

M f M f

M

→ Cho x0 và y0 các số gia tơng ứng ∆xvà ∆y, khi đó biểu thức:

) , ( ) ,

(x0 x y0 y f x0 y0f

f = + ∆ + ∆ −

∆

gọi là số gia toàn phần của f(x,y) tại (x0,y0) Ta thấy, f(x,y) liên tục tại (x0,y0) khi và chỉ khi:

0 lim 0

Nếu f(M) không liên tục tại M0 thì ta nói nó gián đoạn tại M0 Hiển nhiên M0 là điểm gián đoạn củaf(M) khi:

(i) Hoặc f(M) không xác định tại M0

(ii) Hoặc f(M) xác định tại M0 nhng không tồn tại giới hạn của f(M) khi M→M0

(iii) Hoặc f(M) xác định tại M0 và tồn tại giới hạn khi M→M0 nhng giới hạn đó khác f(M0)

Hàm f(M) đợc gọi là liên tục trên D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D Nếu D là miền đóng vàf(M) liên tục trên D thì cũng giống nh hàm một biến, khi đó f(M) bị chặn trên D, nó đạt giá trị lớn nhất

và bé nhất trên miền ấy

Ví dụ 1.4: Khảo sát tính liên tục của hàm số:

) 0 , 0 ( ) , ( 0

) 0 , 0 ( ) , ( 2

2

y x khi

y x khi y x

2

y x

xy ≤ +

2

1 ) ,

α x y y

x f

2 2

không dần đến không khi x→0, do đó f(x,y) không liên tục tại (0,0).

x

y x f

∂

∂ ( 0, 0)

Nếu cho x0 số gia ∆x=x−x0, khi đó:

) , ( ) , (x0 x y0 f x0 y0f

f x

y

x

f

x x

x

−

∆ +

lim lim

) ,

0 0

y

y x f

∂

∂ ( 0, 0)

Nếu cho y0 số gia ∆y=y−y0, khi đó:

) , ( ) ,

(x0 y0 y f x0 y0f

f y

y

x

f

y y

y

−

∆ +

( lim lim

) ,

0 0

x + +

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

z

u z y

u y x

r

r x

x

''

∂

∂ +

∂

∂

z

u z y

u y x

u

2

2 2

2 2

2 2

z r

y r x

Biểu thức A∆x+B∆y gọi là vi phân toàn phần của f(x,y) tại (x0,y0), ký hiệu:

df=A∆x+B∆y

Nếu z=f(x,y) khả vi tại mọi điểm của miền (mở) D thì ta nói f(x,y) khả vi trên D

Mệnh đề: Nếu f(x,y) khả vi tại (x0,y0) thì nó liên tục tại đó

Thật vậy, nếu f(x,y) khả vi, từ biểu thức:

) , ( x y o y B x A

f = ∆ + ∆ + ∆ ∆

∆

Khi ∆x,∆ydần đến không ta có ∆f cũng dần đến không, hay f(x,y) liên tục tại (x0,y0)

b Điều kiện khả vi của hàm số

Định lý 1: (Điều kiện cần) Nếu z=f(x,y) khả vi tại (x0,y0) thì nó có các đạo hàm riêng hữu hạn tại

điểm đó và:

y y

z x x

z

∂

∂ +

x o x A x

z

∆

∆ +

=

∆

∆ +

B y

z y

z

∂

∂ +

)0,0(),(0

)0,0(),(

sin2 2

y x khi

y x khi y x xy

x

Tơng tự có: f’y(0,0)=0

Tuy nhiên theo ví dụ 1.2, f(x,y) không liên tục tại (0,0) nên nó không khả vi tại đó

Nh vậy khác với hàm một biến số, đối với hàm nhiều biến số, điều kiện khả vi là mạnh hơn điều kiệnhàm có các đạo hàm riêng tại một điểm Tuy nhiên, định lý sau đây sẽ cho ta điều kiện để hàm có đạohàm riêng tại một điểm thì cũng khả vi tại đó

Định lý 2: (Điều kiện đủ để hàm khả vi)

Nếu hàm z=f(x,y) có các đạo hàm riêng ở lân cận điểm M0(x0,y0) và nếu các đạo hàm riêng đó liêntục tại M0(x0,y0) thì f(x,y) khả vi tại đó

Chứng minh: Ta có:

) , ( ) ,

(x0 x y0 y f x0 y0f

([f x0 y0 +∆y − f x0 y0

+

áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm một biến ta đợc:

x y y x x

f y y x f y y

x

x

f( 0 + ∆ , 0 + ∆ ) − ( 0, 0 + ∆ ) = 'x( 0 +θ1∆ , 0 + ∆ ) ∆

y y y

x f y x f y

(

),(),('),

∆

Hay z=f(x,y) khả vi tại (x0,y0)

Chú ý: Cũng nh trờng hợp hàm một biến, nếu x,y là các biến độc lập thì ∆x=dx, ∆y=dy do đó ta

có thể viết:

dy z dx z

z=

y x

x dx y x

y

+

− +

02 , 1

arctg

Chọn z=

y

x arctg , (x0,y0)=(1,1), ∆x=0,02, ∆y=-0,05 Theo ví dụ 1.7 ta có: ' 2 2

y x

1 02 , 0 2

1

3 Đạo hàm của hàm hợp

a Hàm hợp của hàm hai biến

Giả sử z=f(u,v), trong đó u, v là hàm của hai biến độc lập x,y:

) , (

y x v v

y x u u

Khi đó ta nói z là hàm hợp của hai biến x,y và viết:

z=f(u(x,y),v(x,y)) Chúng ta có công thức tính đạo hàm của hàm hợp từ định lý sau:

Định lý 3: Nếu f có các đạo hàm riêng

f y

u u

f y z

x

v v

f x

u u

f x

z

(2) Công thức (2) có thể viết dới dạng sau:

x

v x

u

x

v x

u

và gọi là ma trận Jacôbi của u,v đối với x,y còn định thức của nó gọi là định thức Jacôbi, ký hiệu:

=

) , (

) , (

y x D

v u D

y

v y

u

x

v x

2

y x v

xy u

Ta có: z’u=eu[ln(u+v)+

v

u+

1 ]z’v=eu

v

u+

1 , u’x=2y, v’x=2xVậy ta có:

x

v v

f x

u u

f x

)(

2)

2

y x y x y

=

∂

∂

)(

2)

2

y x y x x e

) (

t y y

t x x

Khi đó z=f(x(t),y(t)) là hàm hợp một biến t, nên nó có đạo hàm theo t Đây cũng chính là trờng hợpriêng của trờng hợp trên với u=x, v=y còn x=y=t áp dụng công thức ta có:

dt

dy y

f dt

dx x

f dt

dz

∂

∂ +

t a x

3

3 sin cos

x't= − 3 sin cos 2

t t a

y't=3 cos sin2

dy y

z dt

dx x

z dt

dz

∂

∂+

∂

∂

=

=3a2cos(a2cos6t+a2sin6t).sin2t.[sin4t−cos4t]

Xét trờng hợp z=f(x,y), trong đó x là biến độc lập, còn y=y(x) là hàm của x, khi đó z=f(x,y(x)) làtruờng hợp riêng của trờng hợp trên với t=x, nên ta có:

dx

dy y

f x

f dx

dz

∂

∂ +

1 1

1

x y y

x y x

2

x y

x y

x y

f x

f dx

dz

∂

∂ +

y

2 2

2

21

1

=

2 4

0),,,,(

v u z y x G

v u z y x F

(9)

có thể xác định một hoặc nhiều cặp hàm ẩn u=u(z,y,z), v=v(x,y,z)

Ta thừa nhận các định lý sau về sự tồn tại, tính liên tục và khả vi của các hàm số ẩn

Định lý 4: Giả sử F(x0,y0)=0, nếu hàm số F(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận của điểm

M0(x0,y0) và nếu F’y(M0)≠0 thì hệ thức F(x,y)=0 xác định một hàm ẩn y=y(x) trong một lân cận nào đócủa x0, hàm số đó có giá trị y0 khi x=x0, liên tục và có đạo hàm liên tục tại lân cận nói trên

Định lý 5: Giả sử F(x0,y0,z0)=0, nếu hàm số F(x,y,z) có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận của điểm

M0(x0,y0,z0) và nếu F’z(M0)≠0 thì hệ thức F(x,y,z)=0 xác định một hàm ẩn z=z(x,y) trong một lân cậnnào đó của (x0,y0), hàm số đó có giá trị z0 khi (x,y)=(x0,y0) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục tạilân cận nói trên

0),,,,(

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

v u z y x G

v u z y x F

Nếu các hàm số F(x,y,z,u,v) và G(x,y,z,u,v) có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận của điểm

M0(x0,y0,z0,u0,v0) và nếu tại các điểm ấy định thức Jacôbi:

0''

''),(

),

v u

v u G G

F F v u D

G F D

(10)thì hệ thức:

0),,,,(

v u z y x G

v u z y x F

xác định hai hàm ẩn u=u(x,y,z) và v=v(x,y,z) trong lân cận nào đó của điểm (x0,y0,z0), chúng có giá trịtơng ứng là u=u0, v=v0 khi (x,y,z)=(x0,y0,z0), chúng liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong lâncận đó

b Đạo hàm của hàm ẩn

Giả sử các điều kiện của các định lý trên đợc thoả mãn

(i) Từ biểu thức (7) lấy đạo hàm riêng hai vế theo x:

0

=

∂

∂ +

∂

∂

dx

dy y

F x F

Từ đó ta đợc:

) , ( '

) , ( '

y x F

y x F dx

x x

Đặt F(x,y)= 22 + 22 − 1

b

y a

Do đó:

y

x a

b F

F dx

2

x x y

x a

b

y y a

x x

(ii) Từ biểu thức (8) lần lợt lấy đạo hàm riêng hai vế theo x, y ta đợc:

∂

∂

x

z z

F x F

∂

∂

y

z z

F y F

Từ đó ta đợc:

) , , ( '

) , , ( '

z y x F

z y x F x

) , , ( '

z y x F

z y x F y

z y x

Ta có: F(x,y,z)= 2 +2 − y2 −z2 = 0

x z

F’x= 22

x

− , F’y= 2 2

z y

2 2 2 1

2 '

'

z y z

x

z y F

F x

z

z x

'

z y z

y F

F y

z

z y

(iii) Từ hệ thức (9) lần lợt lấy các đạo hàm riêng theo các biến x của hệ ta đợc:

∂

∂

∂ +

∂

∂

∂

∂ +

G x

u u

G x G

x

v v

F x

u u

F x

''),(

),

v u

v u G G

F F v u D

G F D

(x,y,z)∈D

Hệ phơng trình sẽ cho nghiệm duy nhất:

) , (

) , (

) , (

) , (

v u D

G F D

v x D

G F D x

),(

),(

),(

v u D

G F D

u x D

G F D x

v =−

∂

Thay x bởi y, hoặc z ta có các đạo hàm riêng theo y và theo z

Ví dụ 1.14: Cho hệ hàm ẩn u, v xác định bởi:







+ +

=

+ +

= +

2 2

x uv

z y x v u

Tìm các đạo hàm riêng cấp một của chúng theo x

=

−

− + +

=

uv z y x G

v u z y x F

2 2 2

u

v v

x D

G F D

2 1

2 1 ) , (

) ,

x u v u

x u x

x v v u

x v x

Giả sử u=u(x,y,z) là hàm xác định trên miền D⊂R3 Cho điểm M0(x0,y0,z0)∈D và đờng thẳng đi qua

M0 với véc tơ chỉ phơng là véc tơ đơn vị →l =(cosα,cosβ,cosγ)(Hình 4)

Hình 4

M là điểm trên đờng thẳng, gọi ρ là độ dài đại số của M0M, khi đó:M0M=ρ→l Nếu khi ρ→0 hay Mdần đến M0 theo hớng →l mà tỷ số:

ρρ

) ( ) (M u M0u

=

∆

dần đến một giới hạn hữu hạn thì giới hạn ấy đợc gọi là đạo hàm của hàm u(x,y,z) theo hớng →l , kýhiệu: →

Định lý 7: Nếu hàm u=u(x,y,z) khả vi tại M0(x0,y0,z0) thì tại điểm ấy nó có đạo hàm theo mọi hớng →

M u x

M u

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

Chứng minh: Vì u(x,y,z) khả vi tại M0 nên:

) ( ) (M u M0u

M u x x

M u

+

∆

∂

∂ +

∆

∂

∂ +

∆

∂

∂

trong đó o(ρ) là vô cùng bé bậc cao hơn ρ Do:

∆x=ρcosα, ∆y=ρcosβ, ∆z=ρcosγ

cos )

z

M u y

M u x

M u

+

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

Chuyển qua giới hạn khi ρ→0 ta đợc biểu thức cần chứng minh

Tại M(x,y,z), ký hiệu:

∂

∂ +

u x

u k z

M u j y

M u i x

M u M

M u x

M u

∂

∂ +

∂

∂ +

Từ (16) ta thấy theo hớng Grad u(M0)tốc độ biến thiên của hàm số qua M0 là lớn nhất

Hiển nhiên ta có các đạo hàm riêng

∂ là các đạo hàm theo hớng là các trục Ox, Oy, Oz.

Ví dụ 1.15: Cho u=xyz, tìm đạo hàm theo hớng tại M0(5,1,2) theo hớng M0M1, với M1(7,-1,3)

Ta có: M0M1=(2,-2,1), M0M1 = 9 = 3 , do đó:

3

2 cosα= ,

3

2 cosβ= − ,

3

1 cosγ =

6 Đạo hàm và vi phân cấp cao

a Đạo hàm riêng cấp cao

Cho hàm số z=f(x,y), các đạo hàm riêng cấp một z’x, z’y của nó hiển nhiên cũng là các hàm của haibiến x,y Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một này, nếu tồn tại, sẽ đ ợc gọi là các đạo hàmriêng cấp hai Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai với ký hiệu là:

f x

f x

f y x

f y

f y

đó đợc chỉ ra bằng định lý sau

Định lý 8: ( Định lý Schwartz) Nếu trong một lân cận nào đó của điểm M0(x0,y0) hàm f(x,y) có các

đạo hàm cấp hai f " xy,f " yxvà nếu các đạo hàm ấy liên tục tại M0(x0,y0) thì f " xy(x0,y0)= f " yx(x0,y0) Định lý cũng đúng cho hàm n biến bất kỳ

Ví dụ 1.16: Cho hàm = + y

x g xy f

z ( ) với f, g tuỳ ý có đạo hàm riêng cấp hai Chứng tỏ rằng:

0 ' '

z x= + , ' ' 2 g'

y

x xf

x f x

z yy = + +

y

x yz

xz x− y= , 2 " 2 " 2 g'

y

x z

y z

d2z=d(dz)=d(f’xdx+f’ydy) Tơng tự, vi phân toàn phần cấp ba:

d3z=d(d2z)

…

dnz=d(dn-1z)

và chúng đợc gọi là các vi phân toàn phần cấp cao của z

Giả sử z=f(x,y) thoả mãn định lý Schwartz, khi đó:

f f dy

dx

∂ +

2

y x

xy

+

− , z”yy= 2 2 2

) (

2

y x xy

+

z”xy= 2 1 2

y

2 ) (

2

y x

y

+

− = 22 222

) (x y

y x

2

y x

xy

+

− dx2+2 22 222

) (x y

y x

+

2 2

(

2

y x

xy

+ dy2

d2z(0,1)=-2dxdy

c Công thức Taylo

Công thức Taylo cho hàm nhiều biến cũng đợc mở rộng từ hàm một biến bằng định lý sau:

Định lý 9: Giả sử hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp (n+1) liên tục trong một lân cận nào đó

của điểm M0(x0,y0) Nếu điểm M(x0+∆x,y0+∆y) cũng nằm trong lân cận đó thì ta có:

f(x0 + ∆x,y0 + ∆y) = f(x0,y0) +df(x0,y0) + +

!2

),( 0 0

2f x y d

)!

1(

),

(

!

),(

+

∆+

∆++

n

y y

x x

f d n

y x f

y x arctg

+

−

+ +

1 1

Ta thấy f(x,y) có các đạo hàm riêng mọi cấp liên tục Ta có:

( ) 1

(

2 ) 1 ( 2

y x y

x

xdy dx y

+ + + +

−

− +

df(0,0)=dx

) 1 ( ) 1 (

)]

)(

1 ( ) )(

1 ][(

) 1

[(

4

y x y

x

dy dx y x dy dx y x xdy dx y

+ + + +

−

+ + + + +

− +

−

− +

y x arctg

+

−

+ +

1

1

2 4

xy

x− +

≈π

7 Tiếp diện và pháp tuyến của mặt

a Hàm véc tơ phụ thuộc tham số

Xét hệ ba hàm phụ thuộc tham số:

)(

)(

t z z

t y y

t x x

0

t r t

r t t