Chuan bi cho ki thi tút nghiện THPT HAM SO DONG BIEN, NGHICH BIEN và một số dạng toán liên quan NGUYEN ANH DŨNG Hà Nội ông biến, nghịch biến là các khái niệm cơ bản nhất của hà
Trang 1
Chuan bi cho ki thi tút nghiện THPT
HAM SO DONG BIEN, NGHICH BIEN
và một số dạng toán liên quan
NGUYEN ANH DŨNG
(Hà Nội)
ông biến, nghịch biến là các khái niệm
cơ bản nhất của hàm số (HS) Sử dụng
khảo sát sự biến thiên của HS, giúp chúng ta
giải quyết được một lớp rất rộng các bài toán
(Các bạn có thể xem thêm các bài trong cùng
chuyên mục trên các số báo 359 (5/2007) hoặc
361 (7/2007) Sau day là một số vấn đề và dạng
toán thường gặp trong chương trình phổ thông
I LÍ THUYẾT |
® Hàm số y = y(x) đồng biến trong khoảng
(a ; b) khi và chỉ khi y{(x)>0 Wx e (a; b),
và tập hợp các giá trị x trong khoảng (a ; b)
thoả mãn y(x) = 0 là hữu hạn
e Néu ham sé y = y(x) xác định trên l,
y(x)20,Vxe R và tập hợp các giá trị x
trong mỗi khoảng (a ; b) thoả mãn y”(+) = 0 là
hữu hạn thì hàm số đồng bién trén IR
Đối với HS nghịch biến, ta cũng có các mệnh
đề tương tự
H CÁC DẠNG TOÁN CÓ LIÊN QUAN:
1 Tìm điều kiện để hàm số đồng biến,
nghịch biến trong một khoảng cho trước
* Thí dụ 1 Cho hàm số
y= = =2 (2m+1)x? +(3m+2)x— 5m + 2
a) Từm m để hàm số nghịch biến trong khoảng
(0; 1)
b) Tim m để hàm số nghịch biến trong mét
khoảng có độ dai lon hon 1
Loi gidi.a)Tac6é y'=x?—(2m+1)x+3m+2
HS nghich bién trong khoang (0;1) khi va
chi khi
y`= f(x) = x?—(2m+])x+3m+2<0,Vxe (0:1)
Điều đó xảy ra khi và chỉ khi phương trình
(PT) f(x) =0 cé hai nghiém x,, x, thoa man
x s0<1s%
[xx;<0
\I=xXI-x;)<0
b) Tam thức y'= f(x) cé biệt thức
A=4m“ -8m—T
Nếu A<0 thì y'>0, Vxe IR, HS luôn đồng biến, không thoả mãn
Nếu A >0 thì y'<0 ©>x SxSx;, HS nghịch
biến trong khoảng (x;;x;) Để HS nghịch
biến trong khoảng có độ dài lớn hon | thi
|x —x:|>1© (x —xz)} ` >I
= (x + x2 y —4x¡x¿ >Ï
Theo định lí Viète, ta có XXạ =3m+2
Thay vao (1), tim duoc m < 1-3 hoac
m>1+V3.0
(1)
xXị t+xXaạ = 2m +Ì;
Lưu ý Nếu a > 0 thì tam thức bậc hai
ƒ(x)=ax?+bx+c<0, Vxe (œ8)
tý (z)<0
2
f(B) <9
® Bài toán Cho hàm số y=av) +öx? +cx+d,
(a>0) Tìm điều kiện để HS nghịch biến
trong một khoảng có độ dài lớn hơn k
Cách giải Tính y`; Điều kiện của bài toán
được thỏa mãn khi PT y` = Ô có hai nghiệm
#¡, x; phân biệt (A > 0) sao cho
|x; —| >k© (x; mY > k*
c> (x +x) —4x\xX› > k*;
Sử dụng định lí Viète suy ra kết quả.
Trang 2
* Thí dụ 2 Tìm m để hàm số
y =sx!~(3m~1)x +(m+3)x+ 4m — 3
đồng biến trong khoảng (1;+e}
Lời giải Ta có y`= x? -2(3m—1)x+ m+3
HS đồng biến trong khoảng (1;+s©) khi và
chỉ khi y°= ƒ(x) = x?—2(3m—1)x+m+3>0,
Vxe (1;+=}
Điều kiện để ra được thoả mãn trong hai
trường hợp sau:
1) A'<0 (vì khi đó y'>0, Vxe IR, HS đồng
biến trên R )
Ta có Á'<0 © 9m2 —?m—2 <0 eS Sms
2) PI y'= f(x) =0 có hai nghiệm phân biệt
thoả mãn xị < x; <1 Khi đó
A»>0 Qm2 — 7m — 2 > 0Ö
S 3m —1 < I
—<l
2
Hợp kết quả hai trường hợp, ta được m < 1
Lưu ý Giả sử a là một số thực dương thì HS
y=ax?+bx+c>0, Vxe (ơ;Ø)
trong hai trường hợp sau:
A<0
2) PT y =0 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn
(œ;/)m(xị;x;)=Ø
* Thí dụ 3 Cho hàm số
x? —(3m+1)x+5m-1
¥y =
x—m Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng
(0 ;1)
Lời giải Điều kiện xác định x # m
HS xác định trong khoảng (0;l) khi m < 0
hoặc m > | (1)
x?— 2mx + 3m? — Âm + Ì
(x—m)?
Tacó y'=
HS đồng biến trong khoảng (O;I) khi và chỉ khi
y>0hay ƒ(x)=x?~2mx+3m?4m+1>0, vxe (0; 1)
Vì fix
same (0:1) nén f(x) (déng bién trong
khoảng (0; 1) khi và chỉ khi
là một tam thức bậc hai có
y'=ƒ(x)>0, Vxe (0;1) © T
mS— (2)
3m? ~ 6m + 2 > 0 4
Kết hợp (L) và (2), ta được zz<0
Lưu ý ® Khi nói một HS đồng biến hoặc nghịch biến trong khoảng nào đó thì trước:
hết, nó phải xác định trong khoảng đó
® Nếu ƒ(x)=œt +bx+c và Fa? lp thi
2
f(@)20
f(B) 20
/ƒ(œ)<0 f(8) 09
f(x) 20, Vxe(a ple
ƒ(x)<0, Vxe (øơ,Ø) © |
2 Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của
hàm số để giải phương trình, bất phương trình
* Thí dụ 4 Giải phương trình
2 wat = x?-—3x+2
2x?—2x+3 Lời giải Đặt u=x?+x+1; v=2xˆ—2x+3 (w >0,
>0) suyra w—w = x?—3x+2
PT đã cho tương đương với
logs
u log3—=v-—u & log;u-—log;v=v—u
v
© Ìlog; w +w = logav+v (1)
Xét HS ƒŒ) =log;f+£, có f= +120,
n
Vr >0 nên HS đồng biến khi ¡ > 0
Ty (1) cé fix) = ftv), SUY ra u = v—u =O, tic la x* -3x+2=0
PT có nghiệm x = 1, x = 2
v hay
Trang 3Lưu ý ® Với phương trình dạng log„“^=v—
1
với +, w dương va # > 1, ta thường biến đối
lOB„ — ÏOB„ V = w—w ©> lOE„ tt + = lOB„ v+ v
Vì HS ƒŒ)=log„r+r đồng biến khi z > O,
SUY ra y = ứ
® Với các điều kiện trên, ta cĩ BPT
log„~< w—u © ƒ@< ƒ(@) © w< v
v
* Thi du 5 Gidi bat phuong trinh
logs(3+ Vx) > log, x
Loi gidi DK x > 0
Đặt t = log, x <> x=4', BPT tré thanh
i
logs(3+2)>res3+2'>s© 4| 2] >1,
HS ƒ o=3+(2) nghich bién trén R va
/#) = I
BPT trở thành ƒŒ)> ƒ() ©z<1, ta được
logax<Í ©0< x<4
Lưu ý * Với BPT dang log,u<log,v, ta
thường giải như sau:
Dat t=log,u (hoặc t=log,v); dua vé BPT
mũ; sử dụng chiều biến thiên của HS để suy
ra nghiệm
*s Với P[ dang log, u = log; w, ta thường giải
như sau:
u=a' 3
; SỬ dụng v=b!
phương pháp thế để đưa về một PT mũ; tìm ¿
(thơng thường PT cĩ nghiệm / duy nhất); suy
Ta x
Đặt t=log, = log, v>{
3 Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của
hàm số để chứng minh bất đẳng thức
* Thí dụ 6 Cướng minh rằng với x đương, ta
2
cĩ bất đẳng thức e" > Il+x+—
Lời giải BĐT phải chứng mình tương đương
2
VỚI x > inf r++),
2 Xét HS ƒ@=x~I[L+x+ŠC , cĩ
“(x =]— =
2
sty:
HS đồng biến trên IR Do dé véi x > 0, ta cĩ
2
fx) > fO)=0>x>In{ 14x42),
Lưu ý Với x duong va ne Đ*, ta cĩ bất đẳng thức tổng quát sau:
x2 x
e* >1+x+—+ +—., hay
n
x?
Cach chimg minh tuong tu thi du 6
* Thí dụ 7 Chứng mình rằng với xe (o5) :
ta cĩ sỉn x+ tan x > 2x
Lời giải Xét HS ƒ(x) = sin x+ tan x— 2x, để
ý rằng với xe| 0; | thì O< cosx<], suy ra
cos x > COSZ x „ nên
=2
—2>cos? x+
f (x) = cosx+
cos? x cos? x
2
= (cosx - ` >0, Vxe (0:2)
HS đồng biến trong khoảng x € (0: s) và
liên tục trong |o2] nên với
xe (0 5) cĩ ƒ(x) > /(0) = O, suy ra
sin x + tan x > 2x
Lưu ý Cũng chứng minh tương tự như trên,
~ m4 s
VỚI x€ (0 2 „ta cĩ 2sin x+ tan x >3x
BÀI TẬP
1 Giải phương trình, bất phương trình
a) log; sin x = 2lòa tan x ;
x?¿+3x+5
parecer teeter aera ee terme 2x7 +2x+3
b) log?
2 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
3
x :
a) ep NO CƠ Vx>0 ;
3
<=
b) cosx+e* >2+x——, Vxe lR;
1 h 1 a
Cc) (2° +1} “(#+z] , a>b»Q