Chuong 2 ham so va gioi han

bài giảng toán cao cấp, hàm số và giới hạn

C2 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

ξ1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN

Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ Nếu x ∈ X,

được cho tương ứng duy nhất một y = f(x) ∈ Y theo qui tắc f, thì

f được gọi là một ánh xạ từ X vào Y

Ký hiệu:

)x(fyx

YX

x 

a) Đơn ánh: ∀x1, x2 ∈ X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2)

b) Toàn ánh: Với mỗi y ∈ Y, ∃x ∈ X: y = f(x)

c) Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh

d) Nếu f: X→Y là song ánh thì f-1: Y→X là ánh xạ ngược của f

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định nghĩa hàm số: Với X ⊂ R, ta gọi ánh xạ f:X→Y là một

hàm số một biến Ký hiệu là y = f(x)

x: biến độc lậpy: biến phụ thuộc

Tập X: miền xác địnhTập f(X) = {f(x): x ∈ X}: miền giá trị của fGiá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của f:

)x(fmax

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng miền xác định X:

a) f(x) = g(x), ∀ x ∈ Xb) (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), ∀x∈Xc) (fg)(x) = f(x)g(x), ∀x∈X

d) Hàm số f/g có miền xác định X1 = X\{x: g(x) = 0} :

1Xx

,)x(g

)x(

f)x

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số của biến u, đồng thời u

= g(x) là hàm số của biến x Khi đó f = f(u) = f[g(x)] là hàm số hợp của f và g Ký hiệu fog

Ví dụ: Dựa vào ví dụ trên tìm gof, goh và tìm miền xác định

Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X Nếu f: X→Y

là một song ánh thì f-1: Y→X được gọi là hàm số ngược của f.

Gọi (C), (C-1) là đồ thị của f, f-1 thì đồ thị của nó đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x

M(x,y) ∈ (C) ⇔ y = f(x) ⇔ x = f-1(y) ⇔ N(y,x) ∈ (C-1)

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Hàm số đơn điệu:

• f gọi là tăng trên (a,b) nếu: x1,x2 ∈ X: x1 < x2 => f(x1) ≤ f(x2)

• f gọi là giảm trên (a,b) nếu: x1,x2 ∈ X: x1 < x2 => f(x1) ≥ f(x2)

• f được gọi là bị chặn trên X nếu: ∃M: f(x)≤ M, ∀ x ∈ X

Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu

Chú ý: Một hàm số có thể không đơn điều trên miền xác định

X, nhưng lại đơn điệu trên các tập D ⊂ X

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X Hàm số

được gọi là tuần hoàn nếu: ∃T ≠ 0: f(x+T) = f(x), ∀ x ∈ X

Số T0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ

sở của hàm số f

Ví dụ: Hàm số f(x) = sinx, g(x) = cos(x) tuần hoàn với chu kỳ

cơ sở là T0 = 2π Hàm số f(x) = tg(x), g(x) = cotgx tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0=π

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định nghĩa: Hàm số f có miền xác định X, với x ∈ X, -x ∈ X

a) f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x), ∀ x ∈ X

b) f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ X

Ví dụ: Hàm số f(x) = cosx + x- x2 là hàm số chẵn,

)1x

xlg(

)x(

g = + 2 + là hàm số lẻ

Ghi chú: Gọi (C) là đồ thị của hàm số f.

a) Nếu f là hàm số chẵn thì (C) đối xứng qua Oy:

(x,f(x)) ∈ (C) ⇔ (-x,f(-x)) = (x,f(x)) ∈ (C)b) Nếu f là hàm số lẻ thì (C) đối xứng qua gốc toạ độ:

(x,f(x)) ∈ (C) ⇔ (-x,f(-x)) = (-x,-f(x)) ∈ (C)

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

1 Hàm số luỹ thừa: y = xα , với α ∈ R

Miền xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc α

• α ∈ N: miền xác định R

• α nguyên âm: miền xác định x ≠ 0

• α có dạng 1/p, p ∈ Z: miền xác định phụ thuộc vào p chẵn, lẻ

• α là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = xα tại mọi x ≥ 0 nếu α > 0

và tại mọi x > 0 nếu α < 0

Đồ thị của y = xα luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ

độ (0,0) nếu α > 0, không đi qua góc toạ độ nếu α < 0

ξ2 PHÂN LOẠI HÀM SỐ

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

)x(Log)

x(Log

)x

x(

b =

aLog

b

Logb

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

5 Hàm số lượng giác:

• y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2π

• y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2π

• y = tgx, miền xác định ∀ x ≠ (2k+1)π/2, hàm lẻ, chu kỳ π

• y = cotgx, miền xác định ∀ x ≠ kπ, k ∈ Z, hàm lẻ, chu kỳ π

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

6 Hàm số lượng giác ngược:

• Hàm số y = arcsinx: Miền xác định [-1,1], miền giá trị [-π/2,π/2]

và là một hàm số tăng

• Hàm số y = arccosx: Miền xác định [-1,1] và miền giá trị [0,π]

• Hàm số y = arctgx: Miền xác định R và miền giá trị (-π/2,π/2)

và là hàm số tăng

• Hàm số y = arccotgx: Miền xác định R và miền giá trị (0,π) là hàm số giảm

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định nghĩa: Các hàm số hằng số, hàm số luỹ thừa, hàm số

mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác và các hàm số ngược được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản

Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chung là hàm số

3)xsin(

2log

)x(

f

2

2 3

Ví dụ: Hàm số f(x) là hàm số sơ cấp.

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

ξ3 GIỚI HẠN HÀM SỐ

1 Giới hạn hữu hạn của hàm số:

Định nghĩa lân cận:

x thuộc lân cận của x0 ⇔ ∃δ > 0: |x-x0| < δ

x thuộc lân cận của +∞ ⇔ ∃A: x > A

x thuộc lân cận của -∞ ⇔ ∃B: x < Bhay mở rộng thêm:

x thuộc lân cận của x0 và x ≠ x0 ⇔ ∃δ > 0: 0 < |x-x0| < δ

x thuộc lân cận của x0 và x > x0 ⇔ x0 < x < x0 + δ

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định nghĩa giới hạn: Cho hàm số f(x) xác định trên một

khoảng mở chứa x0 (riêng tại x0, f(x) có thể không tồn tại) Số

L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x →x0, nếu ∀ε > 0 cho trước, ∃δ > 0: 0 < |x – x0| < δ ⇒ |f(x) – L| < ε Ký hiệu:

L)

x(f

lim

0 x

→

Ví dụ, Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng

7)

1x2(

lim3

→

21

x

1

xlim 2

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

L)

x(f

lim

0 x

>

→

L)

x(f

lim

0 x

x

=

<

→

Định nghĩa giới hạn một bên:

a) Giới hạn bên phải:

→

Định lý:

 x khi x > 0

x(f

+∞

→

∀N < 0 có trị tuyệt đối lớn tuỳ ý, ∃δ > 0: 0 < |x – x0| < δ ⇒ f(x) < N

c) lim C = Cd) lim[Cf(x)] = CL1e) lim[f(x)]m = L1m (L1m ∈ R)

f) lim[f(x)/g(x)] = L1/L2 (L2 ≠ 0)

Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0.∞, ∞ - ∞, 1∞ thì phải biến đổi để khử chúng

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Ví d ụ : Tìm

1xx

3

x

sinlim

2 1

c

3 2

→

Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ

cấp xác định trong lân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)]

lim 22x

Ví dụ: Tìm

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

1x

11lim

)x1

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Ví dụ: Chứng minh:

1x

tgxlim

,

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

5 So sánh vô cùng bé

Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một

quá trình nếu limf(x) = 0

Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình:

• Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn g(x)

• Nếu lim[f(x)/g(x)] = ∞, ta nói f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x)

• Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, ta nói f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc

• Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, ta nói f(x), g(x) là hai VCB tương

đương Ký hiệu f(x)~g(x)

• Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB

không so sánh được

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f1(x) , g(x)~g1(x) thì lim[f(x)/g(x)] = lim[f1(x)/g1(x)]

Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc

cao hơn f(x) trong cùng quá trình thì f(x) + g(x) ~ f(x)

Ví dụ: Chứng minh

1x

3

xarctgx

arcsinx

Định nghĩa: Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình:

• Nếu lim[F(x)/G(x)] = ∞, ta nói F(x) là VCL bậc cao hơn G(x)

• Nếu lim[F(x)/G(x)] = 0, ta nói F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x)

• Nếu lim[F(x)/G(x)] = A (A ≠ 0, A ≠ ∞), ta nói F(x), G(x) là hai VCL cùng bậc

• Nếu lim[F(x)/G(x)] = 1, ta nói F(x), G(x) là hai VCL tương

đương Ký hiệu F(x)~G(x)

x6x

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

ξ3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu:

)x(f)x(f

thì f được gọi là liên tục bên phải (hoặc bên trái) tại x0

Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại x0 Vậy x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu:

- Hoặc f(x) không xác định tại x0

- Hoặc f(x) xác định tại x0 nhưng lim f(x) ≠ f(x0) khi x → x0

0 x

khi1

x)

x

(

f =

Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x0 = 0

Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó

liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó, được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng

mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b