bài giảng giới hạn một phía

Qua ví dụ trên nêu định nghĩa giới hạn bên trái, giới hạn bên phải, định nghĩa giới hạn một bên?. Cho hàm số f xác định trên x0;b,x0∈R.. Hàm số f đ ợc gọi là có giới hạn bên phải là L k

Neõu caực ủũnh nghúa giụựi haùn cuỷa haứm soỏ taùi moọt ủieồm

AÙp duùng ủũnh nghúa tớnh giụựi haùn

x 1

lim

x 1

→

+ −

− (a;b)\{xHàm số f(x) xác định trên 0}, ta nói f(x) →L khi

x →x0 nếu mọi dãy số (xn)⊂(a;b)\{x0} sao cho limxn=x0 thì ta đều có

limf(xn)=L

Bài cũ

Mọi dãy số (xn)⊂R\{1},

ta có f(xn)=xn-2 Suy ra limf(xn)=-1 khi

limxn =1

Dùng định nghĩa để tính giới hạn:

x 0

x 1 x lim

x

→

−

Mọi dãy số ( xn) ⊂ (0;+ ∞ ), ta có f(xn) =xn - 1 Do đó: lim f ( xn) = -1 khi lim xn = 0.

Xét hàm số f(x) = ( x 1 x )

x

−

x 0

x 0

x 1 x

x

→

>

−

= −

Mọi dãy số (xn) ⊂ (- ∞ ;0), ta có f (xn) =-xn + 1 Do đó: lim f (xn) = 1 khi limxn = 0.

x 0

x 0

x 1 x

x

→

<

−

=

Giới hạn một bên

Giới hạn

bên trái

Giới hạn bên phải

Qua ví dụ trên nêu định nghĩa giới hạn bên trái, giới hạn bên phải, định nghĩa giới hạn một bên?

Cho hàm số f xác định trên (x0;b),(x0∈R) Hàm số f đ

ợc gọi là có giới hạn bên phải là L khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn) thuộc khoảng (x0;b) mà limxn =x0 thì

limf(xn)=L KH:

0

xlim f (x) Lx+

1.Giới hạn hữu hạn

Cho hàm số f xác định trên (a;x0),(x0∈R) Hàm số f đ ợc

gọi là có giới hạn bên trái là L khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn) thuộc khoảng (a;x0) mà limxn =x0 thì

limf(xn)=L KH:

0

xlim f (x) Lx−

0 0

x x

x x

lim f (x) L

→

>

0 0

x x

x x

lim f (x) L

→

<

⇔ =

Định nghĩa giới hạn một phía

Chú ý 1:

xlim f (x)x+ xlim f (x) Lx−

Nếu

0

xlim f (x) Lx

0

xlim f (x) ?x+

0

xlim f (x) ?x+

Và ng ợc lại?

0

xlim f (x) Lx

Chú ý 2: Các định lý về giới hạn vẫn đúng

đối với giới hạn một bên

Vd1: Cho hàm số f x ( ) x3 2 , x 1

2x 3 , x 1

 < −



= 

− ≥ −



Với x<-1 thì f(x) = x3. Do đó ( ) 3

T ơng tự x>-1 thì f(x) = 2x2 – 3 Do đó ( ) 2

xlim f x1 xlim (2x1 3) 1

Vậy xlim f x1 ( ) xlim f (x)1+ xlim f (x)1− 1

VD2: Cho hàm số f (x) ax 22 , x 1





x 1

lim f (x)

→

Tìm a để giới hạn sau tồn tại

Vd3: Cho hàm số ( )

2

, x 2

x 2

f x

1

, x 2 x

 −

= 



Tính các giới hạn sau (nếu có): x 2lim f x , lim f x ,lim f x ( ) x 2 ( ) x 2 ( )

Vd4: Cho hàm số f x ( ) x 3 x

x 2 x

−

=

+

Xét sự tồn tại của giới hạn sau x 2lim f x ( )

→

Vd5: Cho hàm số ( )

x 2

, x 4

x 4

f x

1

, x 2 x

>

 −

= 



Khi đó x 4lim f x ( ) ?

1 A)

4

1 B)

2 C)1 D)Không tồn tại

Cho hàm số f xác định trên (x0;b),(x0∈R) Hàm số f đ

ợc gọi là có giới hạn bên phải là +∞ khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn) thuộc khoảng (x0;b) mà limxn =x0 thì limf(xn)= + ∞ KH:

0

xlim f (x)x

+

2.Giới hạn vô cực

Cho hàm số f xác định trên (a;x0),(x0∈R) Hàm số f đ ợc

gọi là có giới hạn bên trái là + ∞ khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn) thuộc khoảng (a;x0) mà limxn =x0 thì limf(xn)=+∞ KH:

0

xlim f (x)x−

0 0

x x

x x

lim f (x)

→

>

0 0

x x

lim f (x)

→

<

Tính

x 0lim f (x), lim f (x), lim f (x)+ x 0− x 0

Tính

x 0lim f (x), lim f (x), lim f (x)+ x 0− x 0

x

=

Vd6: T×m c¸c giíi h¹n sau

2

x 2

4 x a) lim

2 x

−

→

−

−

2

2

x 3

x 7x 12 b) lim

9 x

−

→

− +

−

Néi dung bµi häc

0

x x

1) lim f (x) L+ lim f (x) L

>

0

x x

2) lim f (x) L lim f (x) L

−

<

0

x x

3) lim f (x)+ lim f (x)

>

= +∞ ⇔ = +∞

0

x x

4) lim f (x) lim f (x)

−

<

= +∞ ⇔ = +∞

Bµi tËp vÒ nhµ: