ON THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 12

Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OIuur và viết phương trình của đường cong C đối với hệ toạ độ IXY.. Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến t

PHẦN I ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

(5 tiết)

VẤN ĐỀ I: ĐẠO HÀM I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa đạo hàm

x

y x

x f x x f x

f y

x x

0

0

2 Các quy tắc tính đạo hàm

3 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và hệ quả

4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm và phương trình tiếp tuyến

−

= + ; d)

2 2 1

x

x y e

−

= + .

Bài 2 Chứng minh rằng:

a Với hàm số y = x.sinx, ta có xy – 2(y’ – sinx) + xy” = 0;

b Với hàm số y = ln(sinx), ta có ' "sin tan 0

f có đồ thị là (C).

a Tính đạo hàm của hàm số tại x 0 = 3;

b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.

Bài 4 Cho đường cong (C) có phương trình ( )

x x f

y= = 3 Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này:

a Có hệ số góc bằng -3;

b Song song với đường phân giác thứ hai của góc toạ độ.

VẤN ĐỀ II TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Nắm được định nghĩa của tính đơn điệu của hàm số.

2 Định lý Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

+ Nếu f x'( ) ≥ ∀ ∈ 0, x I và f'( )x = 0chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến trên I

+ Nếu f x'( ) ≤ ∀ ∈ 0, x I và f'( )x = 0chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f nghịch biến trên I

+

=

7 5

e) y = 3 x2 f) y= x− 2 sinx (0 < x < 2 π) g) y = x – e x

Bài 1 Cho hàm số 1 3 ( ) 2 ( )

a Định m để hàm số luôn luôn đồng biến

b Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến

Bài 2. Định m để hàm số

m x

m mx x

= đồng biến trong từng khoảng xác định của nó.

Bài 3 Tìm m để hàm số ( ) ( )

3

1 2 3 1 3

2

3

+

− +

Định lý Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng ( )a b, chứa điểm xo Khi đĩ

a Nếu f x'( ) 0, < ∀ ∈x (a x; o)và f x'( ) 0, > ∀ ∈x (x bo; )thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xo.

b Nếu f x'( ) 0, > ∀ ∈x (a x; o) vàf x'( ) 0, < ∀ ∈x (x bo; )thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xo.

3 Hai quy tắc tìm cực trị của hàm số:

a Quy tắc 1:

+ Tìm f′( )x .

+ Tìm các x i (i = 1,2,…) tại đĩ đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng khơng cĩ đạo hàm.

+ Xét dấu f′( )x Nếu f′( )x đổi dấu khi x đi qua điểm x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

b Quy tắc 2:

+Tính f′( )x .

+ Tìm các nghiệm x i (i = 1,2,…) của phương trình f′( )x = 0

+ Tìm f ′′( )x và tính f ′′( )x i .

* Nếu f′′( )x i < 0thì hàm số đạt đại tại điểm x i

* Nếu f′′( )x i > 0thì hàm số đạt tiểu tại điểm x i

3

15 2

Bài 2 Dùng quy tắc 2, tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = x 4 – 2x 2 + 3 b) y = 3x 5 – 125x 3 + 2160x c) y = sin2x – x

Bài 3 Định m để hàm số = x2 −mx+ 2

y cĩ cực đại và cực tiểu (ĐS m < 3)

y= + + +m x+ m− (m là tham số)

a Định m để hàm số có 1 cực trị;

b Định m để hàm số có 3 cực trị.

Bài 6: Tìm m để hàm số 2 3 2 1

2 Quy tắc tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [ ]a b;

+Tìm các điểm x x1, , ,2 x nthuộc đoạn ( )a b; tại đĩ hàm số f cĩ đạo hàm bằng 0 hoặc khơng cĩ đạo hàm + Tính f x( ) ( )1 ,f x1 , ,f x( ) ( ) ( )n ,f a f b,

y = + + trên (− ∞ ; 0)

c) y =x4 − 2x2 + 5 trên [-3;2] d) y= 100 x− 2 trên [-8;6]

e) y = x 2 e x trên [-3;2] f)

1 sin sin

1 sin

2 + +

+

=

x x

x y

VẤN ĐỀ V: ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Cơng thức chuyển hệ toạ độ

Giả sử I x y( o; o)∈Oxy Cơng thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OIuur

2 Phương trình đường cong đối với hệ toạ độ mới

Phương trình đường cong y= f x( )đối với hệ toạ độ IXY là: Y = f X x( + o) −yo

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 Cho đường cong (C) có phương trình 1

2

x y x

+

=

− và điểm I(2;1) Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OIuur

và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ toạ độ IXY Từ đó suy ra

I là tâm đối xứng của (C)

Bài 2 Cho đường cong (C) có phương trình

2 3 1 1

x x y

x

=

− và điểm I(1;5) Viết công thức chuyển hệ toạ

độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OIuur

và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ toạ độ IXY Từ đó suy

ra I là tâm đối xứng của (C)

Bài 2 Chứng minh đường cong (C) có phương trình

2 3 1 1

x x y

x

=

− có tâm đối xứng I và tìm tâm đối xứng

đó Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OIuur

và viết phương trình của đường cong (C)

đối với hệ toạ độ IXY

VẤN ĐỀ VI: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Cho hàm số y = f(x)

1 Nếu

( ) ( ) ( ) ( )

đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y= f x( )

* Chú ý: Cách tìm các hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax + b

5 3 2

2

2 +

x x

1

5 2

2 + +

+

=

x x

x

2

3 3

Bài 2 Tìm các tiệm cận của các đường cong sau:

a) y =x+ 2x2 + 1 (ĐS: tiệm cận xiên của nhánh phải: y =(1 + 2)x, tiệm cận xiên của nhánh trái:

y= (ĐS: Đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng, đường thẳng y = x là tiệm cận xiên

VẤN ĐỀ VII: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

1 Tìm tập xác định của hàm số.

2 Xét sự biên thiên của hàm số.

a Tìm giới hạn tại vơ cực và giới hạn vơ cực (nếu cĩ) của hàm số.

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu cĩ).

b Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:

Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu cĩ), điền các kết quả vào bảng.

3 Vẽ đồ thị của hàm số

+ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu cĩ)

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ Chỉ ra trục và tâm đối của đồ thị (khơng cần chứng minh).

II MỘT SỐ BÀI TỐN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ.

Bài tốn 1 Giao điểm của hai đồ thị

Giả sử hai hàm số y = f(x), y = g(x) lần lượt có hai đồ thị (C1 ) và (C 2 )

Hãy tìm các giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ).

Cách giải: * Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) ta có nghiệm x 0

* Thay x 0 vào một trong hai hàm số ta có y 0

* Tọa độ giao điểm là M(x 0 ,y 0 ).

Nhận xét: Số giao điểm của (C1 ) và (C 2) bằng số nghiệm phương trình f(x) = g(x)

2 Sự tiếp xúc của hai đường cong

Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ( ) ( )

nghiệm của hệ phương trình trên là hồnh độ tiếp điểm của hai đường cong đĩ.

Giả sử hai hàm số lần lượt có hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 )

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết:

1) Đường thẳng d tiếp xúc (C) tại M(x 0 ;y 0 )

Cách giải: Tìm f’(x) và áp dụng công thức tiếp tuyến:

y – y 0 = f’(x 0 )(x – x 0 ).

2) Đường thẳng d có hệ số góc k.

Cách giải: Giải phương trình f’(x) = k có nghiệm x 0 là hoành độ tiếp điểm áp dụng câu 1)

3) Đường thẳng d đi qua A(x A ;y A).

Cách giải: *Viết phương trình đường thẳng d qua A là: y = k(x – x A ) + y A

*Điều kiện để d tiếp xúc (C) là hệ:

y ) x x ( k ) x

Phải có nghiệm và nghiệm chính là hoành độ tiếp điểm và hệ số góc k.

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hàm số: y =

2

3 6

2 +

− +

−

x

x x

1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm m đđể đường thẳng y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.ø

Bài 2: Cho hàm số: y = -x 3 - 3x 2 + 2.

1)Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2)Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình: x 3 +3x 2 + 1 + m = 0 (1).

3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn Chứng minh rằng tiếp tuyến đó có hệ số góc lớn nhất Bài3 Cho hàm số f(x) = 2

2

x x

− + 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số

2)Tìm điểm thuộc đồ thị có toạ độ nguyên

Bài 4: Cho hàm số y= x 4 +2(m-2)x 2 +m 2 -5m+5 (C m ), m là tham số

1)Khảo sát và vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số khi m=1

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C 1 ), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 1).

3)Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục O x tại 4 điểm phân biệt ;

Bài 5: Cho hàm số 2 1 ( )

2 2

m C m

x

m mx x

y

−

+ +

−

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số khi m = 1

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C 1 ) tại điểm A(2; 2)

4) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

BÀI TẬP THAM KHẢO

Bài 1 Cho hàm số

1

) 2

a Đường thẳng ( ∆ ) qua A(-1;0) có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm của (C) và ( ∆ );

b Gọi M là điểm di động trên (C) CMR: Tích số các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) không đổi.

Bài 2 Cho hàm số: y = -x3 - 6x 2 - 9x +4 (C) Đường thẳng ( ∆ ) qua A(4;0) và có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm của ( ∆ ) và (C).

Bài 3 Cho hàm số y = x3 - 6x 2 + 9x (C), đường thẳng ( ∆ ): y=k(x-4) + 4

Tìm k để ( ∆ ) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.

Bài 4 Cho hàm số

x

x x y

2

(C), đường thẳng ( ∆ ) qua A(0;3) có hệ số góc k Định k

a ( ∆ ) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhau của (C);

b ( ∆ ) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng 1 nhánh của (C).

Bài 5 Cho hàm số

=

x

x x

Với những giá trị nào của m thì đường thẳng (D): y = m - x cắt (C) tại 2 điểm phân biệt CMR: Khi đó cả 2 giao điểm đều thuộc 1 nhánh của (C).

Bài 6 Cho hàm số y = x3 - 6x 2 - 2(m-4)x + 2m + 8 (C m ) Định m để (C m ):

a Cắt Ox tại 1 điểm duy nhất;

b Cắt Ox tại 3 điểm phân biệt;

c Cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.

Bài 7 Cho hàm số y = x3 - mx 2 - m (C m ) Định m để:

a (C m ) tiếp xúc Ox;

b (C m ) cắt Ox tại 3 điểm A, B, C sao cho AB = BC.

Bài 8 Cho hàm số

2 2

4 3

y (C) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y = x

Bài 9 Cho hàm số y = -x3 + 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp:

a Tại giao điểm của (C) với trục Ox;

b Tiếp tuyến song song đường thẳng y = -9x +1.

Bài 10 Cho hàm số y = -x3 + 3x - 2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a Tại giao điểm của (C) và đường thẳng y = -2;

b Tiếp tuyến kẻ từ A(2;-4).

Bài 11 Cho hàm số:

1

1 3

− +

−

=

x x

y (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc đường thẳng

y xuất phát từ A(2;2).

Bài 13 Cho (Cm) y=1/3 x3 -mx 2 +(2m-1)x-m+2 ;

1)Khảo sát và vẽ (C2) với m=2;

2)Tìm các điểm cố định của (Cm);

3)Tìm m để hàm số có 2 cực trị có hoành độ dương;

4)Viết phương trình tiếp tuyến của (C2) đi qua điểm A(4/9;4/3);

5)Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi (C2); y=0;x=1;x=0 quay quanh trục O x.

Bài 14: Cho hàm số y=

1

1 2 ) 1 (

2 2

+

− + + +

x

m x m x

(Cm) Tìm m để hàm số đồng biến trong từng khoảng xác định

Bài 15 Cho hàm số y= x4 +2(m-2)x 2 +m 2 -5m+5 (m là tham số).

1 Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục O x tại 4 điểm phân biệt;

2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1.

PHẦN II PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

(2 tiết)

A PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Các kiến thức cần nhớ:

1) Hàm số mũ y = ax: - TXĐ: R, ax > 0 với mọi x

- Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1, nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1

- Các tính chất của lũy thừa

0)x(g,1a0

)x(ga

);

x(g)x(1

a0

a

a

a

) x ( )

x ( g ) x (

1a0)x(g)x(f

1aa

a (x) g(x)3) Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ:

- Đưa về cùng cơ số - Lôgarít hai vế (dạng: a (x) =bg(x),a (x)bg(x) =c )

- Dùng ẩn phụ để đưa về dạng cơ bản - Đoán nghiệm và dùng tính đơn điệu chứng minh duy nhất

.25

53

d) x 1 x

6 x

)12()

12

−

−

≤+

B PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Kiến thức cơ bản:

- Định nghĩa: y=loga x⇔ x=ay

- Hàm số: y = logax có tập xác định: x > 0, 0<a≠1 Tập giá trị: R

- Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu 0<a≠1

- Các công thức biến đổi:

1a

loga(N1.N2)= loga|N1| + loga|N2| a 1 a 2

2

1

a log N log NN

N

blog.clogb

alog

1blog

log a

=

|N

|logN

α

=

α a

- Phương trình và bất phương trình cơ bản:

1a0)x(glog)x(f

1a

)x(g)x(0

1a0)

x(glog)x(f

- Phương pháp giải thường dùng:

+ Đưa về cùng cơ số+ Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình, bất phương trình cơ bản

Bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình:

a) log 2log 1 log (1 3log ) 4{ 3[ + 2 + 2 x ] } = 1 b)log (x x+ = 6) 3 c)log (3x+1 x+ = 5) 3

Bài 2: Giải các phương trình:

a) log2(x2 + 3x + 2) + log2(x2 + 7x + 12) = 3 + log23

b) log3(2 - x) - log3(2 + x) - log3x + 1 = 0

log (x + 3x+ + 2) log (x + 7x+ 12) 3 log 3 = +

Bài 2: Giải các phương trình:

a)log3x+ log4x= log12x b)log 2 x+ log 3x= log 6 x

c) log5(5x - 1) log25(5x + 1 - 5) = 1 d) logx(5x2).log5x = 1

e)

)x8(log

)x4(log)x2(log

xlog

16

8 4

c) 5 1

2 3

<

− x x log d) log 3x−x2 ( 3 − x ) > 1

PHẦN III NGUYEÂN HAỉM VAỉ TÍCH PHAÂN

2 Nguyeõn haứm cuỷa moọt soỏ haứm soỏ thửụứng gaởp:

3 Caực phửụng phaựp tớnh nguyeõn haứm

a.Phơng pháp đổi biến số: ∫ f u x u x dx F u x[ ( ) '( )] = [ ( )]+C

a.Phơng pháp tớch phaõn tửứng phaàn: ∫udv u v= −∫vdu

BAỉI TAÄP AÙP DUẽNG

Tỡm nguyeõn haứm cuỷa caực haứm soỏ sau

2 Caực phửụng phaựp tớnh tớch phaõn

a.Phơng pháp đổi biến số: [ ] ( )

( )

u b b

∫4

6

dx 8.

cos xsin x; 9 sin xcosxdx∫ 5 ;

∫4

2 6

1

11 cotgx(1 + )dx

π π

∫2 3 2 6

∫3 2 4

10 x cos xdx ;

π

∫2 2 2 0

11 x sin xdx; ∫e 2

1

12 ln xdx.

III ệÙNG DUẽNG CUÛA TÍCH PHAÂN

1 DIEÄN TÍCH CUÛA HèNH PHAÚNG

a Haứm soỏ y= f x( ) lieõn tuùc treõn ủoaùn[ ]a b; thỡ dieọn tớch S cuỷa hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi ủoà thũ haứm soỏ y= f x( )

, truùc hoaứnh vaứ ủửụứng thaỳng x a x b= , = laứ

| ( ) |

b a

S=∫ f x −g x dx

2 THEÅ TÍCH CUÛA VAÄT THEÅ

a Haứm soỏ y= f x( ) lieõn tuùc, khoõng aõm treõn ủoaùn[ ]a b; Hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi ủoà thũ haứm soỏ y= f x( ) , truùc hoaứnh vaứ hai ủửụứng thaỳng x a x b= , = , quay quanh truùc hoaứnh taùo neõn moọt khoỏi troứn xoay coự theồ tớch laứ:

2 ( )

b a

V = π∫ g x dy

BAỉI TAÄP AÙP DUẽNG.

Baứi 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = 2 - x2 với đờng thẳng (d): y = x.

Baứi 6 Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành do hình phẳng (D) giới hạn bởi y = ln x, x = 2 và y =

0 khi ta quay quanh (D) quanh Ox.

Baứi 7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng (P): y = x2 - 2x + 2 ;tiếp tuyến (d) của nó tại điểm M(3;5) và Oy.

Baứi 9 Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành do hình phẳng (D) giới hạn bởi :

y = x, y = 2 - x và y = 0 khi ta quay quanh (D) quanh Oy.

Baứi 10 Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành do hình phẳng (D) giới hạn bởi :

y = x

xe , x = 1 và y = 0 ( 0 x 1≤ ≤ ) khi ta quay quanh (D) quanh Ox.

a a

(a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i

(a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’∈R)

• Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b ∈R)

• z biểu diễn →u, z’ biểu diễn u→' thì z + z’ biểu diễn bởi →u+u→' và z – z’ biểu diễn bởi →u−u→'

6 Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’∈R).

z z z z z

z z

z z

, '

10 Căn bậc hai của số phức :

z là căn bậc hai của số phức ω ⇔ z2 =ω

z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi

b a a x b

xy

a y x

2

2 2

2 2 2

2 2

b) w ≠ 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau

* Hai căn bậc hai của a > 0 là ± a

* Hai căn bậc hai của a < 0 là ± −a i

11 Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A ≠ 0)

12 Dạng lượng giác của số phức :

* z = r(cos ϕ +isin ϕ )(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈R,z≠ 0 )

b a r

ϕ

ϕ

sin cos

2 2

+ ϕ là một acgumen của z.

+ ϕ = (Ox,OM)

13 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác

Nếu z = r(cosϕ +isin ϕ ) , z' =r' (cos ϕ ' +isin ϕ ' )thì :

14 Công thức Moa-vrơ : n∈N* thì [r(cos ϕ +isin ϕ )]n =r n(cosnϕ +isinnϕ )

15 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :

Căn bậc hai của số phức z = r(cosϕ +isin ϕ ) (r > 0) là

)]

2 sin(

) 2 [cos(

) 2

sin 2

ĐS: 2 ( 1 ) 2

2

+ +

−

y x

xy

1 2 2

) 1 ( + +

− −

y x

x y

Bài 3: Giải các phương trình sau (ẩn z):

a)

i

i z

2

25

4 25

3 ) 2

i iz i z

i z

3

6 5

a i a

a

1

2 1

1

+

+ +

) 2 ( ) 2 3 (

) 1 ( ) 2 1 (

i i

i i

+

− +

−

− +

17

9 34

a) x2 − 3 x+ 1 = 0 ĐS: i

2

1 2

+

= +

i z

z

i z

z

2 5

4

2 2

2

1

2 1

−

−

=

i z

z

i z

z

2 5

5 5

2 2

2

1

2 1

ĐS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)

Bài 11: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:

2 3

i

+

4 sin 4 (cos 3 ).

6 sin 6

12

5 sin 12

c)

) 15 sin 15 (cos

3

) 45 sin 45 (cos

2

0 0

0 0

12 sin(

) 12 [cos(

) 12

7 [cos(

3 sin 3 (cos

1

i

+

b) [ 2 (cos 30 0 +isin 30 0)]7 ĐS: − 4 6 −i 4 2

c) ( 3 −i) 6 ĐS: -2 6

d) (1 + i)16 ĐS: 2 8

PHẦN II: HÌNH HỌC

Phần 1 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

(2 tiết) Các công thức tính thể tích

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy ,

cạnh bên SB bằng a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và SA = b Tính thể tích khối chóp S.ABCD

theo a và b

3 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc SAC bằng 450 Tính thể tích khối chópS.ABCD

4 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông

góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

5 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 Tínhthể tích khối chóp S.ABCD

6 Cho khối hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có thể tích V Tính thể tích khối tứ diện C’ABC theo

V

7 Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CD = 3CM Tính tỉ số thể tích của hai tứ

diện ABMD và ABMC

8.Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại B Biết BB’ = AB = h và góccủa B’C với mặt đáy bằng α .

a) CMR: g(BCA) = g(B’CB) và tính thể tích của khối lăng trụ

b) Tính diện tích thiết diện tạo nên do mp(ACB’) cắt hình lăng trụ

9 Một hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đườngvuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC

a) Tính góc giữa cạnh bên với đáy và tính thể tích của lăng trụ

b) CMR: mặt bên AA’C’C là hình chữ nhật

10) Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = b, góc C =

600 Đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300

a) Tính độ dài đoạn AC’

b) Tính thể tích của lăng trụ

11) Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và ba góc ở đỉnh A đều bằng

600 Tính thể tích của khối hộp đó theo a

12) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều bađiểm A, B, C, cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy một góc 600

a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó

b) CMR: mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật

c) Tính tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ(Gọi là diện tích xung quanh)

13) Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ Gọi M là trung điểm của AA’ Mặt phẳng điqua M, B’, C chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

14) Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng a và góc của hai đườngchéo của hai mặt bên kề nhau phát xuất từ một đỉnh bằng α .

b) Lấy điểm M trên BC, mặt phẳng(MB’D) cắt A’D’ tại N Chứng minh MN⊥C' D

16) Cho khối lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều tâm O và hình chiếu C’ trênđáy (ABC) trùng với O Cho khoảng cách từ O đến CC’ là a và số đo nhị diện cạnh CC’ là 1200.Tính thể tích khối lăng trụ

17) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a

a) Tính thể tích khối tứ diện A’.BB’C

b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F.Tính thể tích khối chóp C.A’B’FE

18) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB’D’ và thể tích khốihộp

19) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi O là giao điểm của AC và BD Tính tỉ số thể tích củakhối chóp O.A’B’C’D’ và khối hộp đã cho

20) Đáy của khối chóp là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a Mặt bên qua cạnhhuyền vuông góc với đáy, mỗi mặt bên tạo với đáy một góc 450

a) CMR chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh huyền

b) Tính thể tích khối chóp

21) Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB bằng α CMR: đường

2

cot 2

b) Tính góc do mặt bên tạo với đáy

c) Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và tính bán kính của mặt cầu đó

23) Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, AC = a, SA⊥(ABC), góc giữa cạnhbên SB và đáy bằng 600