ôn tốt nghiệp môn toán 2011

Ứng dụng đạo hàm cấp mộ để xét tính đơn điệu của hàm số.Mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó.. Cực trị của hàm số: Điều kiện đủ để hàm

Phần I : GIẢI TÍCH

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I.Các kiến thức cơ bản cần nhớ:

1 Ứng dụng đạo hàm cấp mộ để xét tính đơn điệu của hàm số.Mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó

2 Cực trị của hàm số: Điều kiện đủ để hàm số có cực trị, các qui tắc tìm cực trị, điểm cực đại ,ccj tiểu của hàm số

3 GTLN và GTNN của hàm số :Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.Quy tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số lien tục trên một đoạn

4 Đường tiệm cận:Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

5 Khảo sát hàm số: Sự tương giao của hai đồ thị PTTT của đồ thị hàm số.Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

II Các dạng toán luyện tập:

A.Dạng : Xét dấu các biểu thức sau :

Bài tập- luyện tập:

2 A = x2 + x + 6 ; B = -x2 + 2x -12 ; C = x2 4x – 12

D = -x2 +8x -16 ; E = 2x2 + 5x + 3 ; F = -x2 +9x + 10

1.Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số:

Luyện tập:Tìm các khoảng đồng biến hay nghịch biến của các hàm số sau:

; h)

2

12+

−+

4

2

1+

12

63

2

+

−+

−

=

x

x x

7

32

4 y’.cosx – y.sinx - y’’ = 0, với hàm số y = esinx

Bài 2: Lập bảng xét dấu đạo hàm y’ và kết luận tính đồng biến, nghịch biến và cực trị của

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=x3+3x2+1

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) , Ox và 2 đường thẳng x=-2, x=0

Bài 5.

c Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1

Bài 6.

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng y”(x0)=0

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) , Ox và Oy

Bài 7

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của nó với trục tung

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C), trục hoành và 2 đường thẳng x=0, x=1

Bài 8

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 – 3x +5

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3

Bài 9

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=-x3+3x2-2

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1

c Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bỡi hình phẳng giới hạn bỡi (C), Ox,x=1, x=2 quay quanh Ox

Bài 10

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=x4-2x2+1

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và trục hoành

b Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bỡi (C) quay quanh Ox

c Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox

Bài 12.

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) củahàm số y=x4+2x2-3

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và đường thẳng y=3x-3

Bài 13.

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= 2x2- x4

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và Ox

b CMR (C) luôn cắt (d): y=m-x với mọi giá trị của m

b Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng y= mx - 1

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C), Oy và Ox

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 0

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục tung và trục hoành

m x m

−

+

−1)(

, m≠0

a Tìm m để hàm số luôn đồng biến

b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2 Gọi (C) là đồ thị

c Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng (d) : y = -4x + k

Bài 23. Cho hàm số y =

1

43

b Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=0

c.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và trục hoành

Bài 25 Cho hàm số y = - x4 + 2x2 +3

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Dựa vào (C), hãy xác định các giá trị m để phương trình x4 - 2x2 + m =0 có

4 nghiệm phân biệt

Bài 26 Cho hàm số y = x4 + 2(m – 2)x2 + m2 -5m + 5 (Cm)

a Khảo sát hàm số khi m = 1

b Tìm m để hàm số có 3 cực trị

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y= − +x3 3x2−2 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C).

3 2

 < − >



 ≠



Câu II (2đ): Cho hàm số y x= 3− 3mx2+ 9x− 7 có đồ thị (Cm).

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 0= .

2 Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp

số cộng

HD

Câu II: 2) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành:

x3− 3mx2 + 9x− = 7 0 (1)

Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là x x x1 2 3; ; Ta có: x1+x2+x3= 3m

Để x x x1 2 3; ; lập thành cấp số cộng thì x2 =m là nghiệm của phương trình (1)

⇒ − 2m3+ 9m− = 7 0 ⇔ m

m

1

1 15 2

− −

=

Câu III: (2 điểm) Cho hàm số y x= 3−3x2+1 có đồ thị (C).

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

2 Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2.

Hướng dẫn Câu III: 2) Giả sử A a a( ; 3−3a2+1), ( ;B b b3−3b2+1) (a ≠ b)

Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song suy ra y a′( )=y b′( )⇔

Câu IV (2.0 điểm) Cho hàm số y x= 4− 5x2+ 4, có đồ thị (C).

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2 Tìm m để phương trình x4− 5x2+ = 4 log2m có 6 nghiệm.

+

=

− có đồ thị (C).

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất

Các giao điểm của d với 2 tiệm cận: A

0

6 1;2

x x ⇒ M1(1 + 3;2 + 3); M2(1 − 3;2 − 3)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y = m(x +1) + 2 luôn cắt

đồ thị (C) tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến với đồ thị (C) tại N và P vuông góc với nhau.

Tiếp tuyến tại N, P vuông góc ⇔ y x'( ) '( )N y x P = − 1 ⇔ m=− ±3 2 23

Câu VII (2 điểm): Cho hàm sốy x= + 3 2mx2 + (m+ 3)x+ 4 có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.

2) Cho (d) là đường thẳng có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3) Tìm các giá trị của tham số m sao cho (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2

VIII (2 điểm) Cho hàm số f x( ) =x4 + 2(m− 2)x2 +m2 − 5m+ 5 (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1

2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân

Hướng dẫn

Câu VIII: 2) Hàm số có CĐ, CT khi m < 2 Toạ độ các điểm cực trị là:

A(0;m2 − 5m+ 5), ( 2B −m;1 −m C), ( − 2 −m;1 −m)

Tam giác ABC luôn cân tại A ⇒ ∆ ABC vuông tại A khi m = 1.

số) (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.

2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

Hướng dẫn

x1 < x2 < 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2) Chứng minh đường thẳng d: y = –x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Hướng dẫn Câu X: 2) AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12)

⇒ AB ngắn nhất ⇔ AB2 nhỏ nhất ⇔ m = 0 Khi đó AB= 24

CHƯƠNG II :

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ,HÀM SỐ LÔGARIT

I/Những kiến thức cần nhớ

Khái niệm và các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ

Khái niệm và các tính chất của lôgarit,qui tắc tính lôgarit, qui tắc đổi cơ số của lôgaritKhái niệm lôgarit thập phân,lôgarit tự nhiên

Khái niệm và tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

Công thức tính đạo hàm của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

II/ Các kĩ năng cần có:

Biết dùng các tính chất của lũy thừa để đơn giản biểu thức,so sánh những biểu thức có chứa lũy thừa

Vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản.

Vận dụng các tính chất cuả lôgarit vào các bài tập biến đổi,tính toán các biểu thức chứa lôgarit

Vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số,hai biểu thức chứa mũ và lôgarit

Tính đạo hàm các hàm số y = ex , y = lnx

Giải được một số phương trình, bất phương trình mũ đơn giản bằng các phương pháp đưa

về lũy thừa cùng cơ số, dùng ẩn phụ,sử dụng tính chất của hàm số

Giải được một số phương trình, bất phương trình lôgarit đơn giản bằng các phương pháp đưa về lôgarit cùng cơ số, dùng ẩn phụ,sử dụng tính chất của hàm số

VD7:Giải các phương trình:

a/ log4(x + 2) = log2x b/ log2

5x + log5x- 2= 0Giải:

5log 23d) 3

e) log log 83 2

1h) 9

1log 24 log 72

2e)

1log 18 log 72

3

−

−

Bài 3: Giải các phương trình:

8/ log2x + log2(x + 1) = 1 9/ log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3) 10/ log2(3 – x) + log2(1 – x) = 3 Bài 4: Giải các phương trình:

log (x - 5 - 6) -3x ≥

5) log0,8(x2 + x + 1) < log0,8(2x + 5) 6) log2(x + 4)(x + 2) ≤−6

CHƯƠNG III :

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNGI) Những kiến thức cần nhớ :

1 Định nghĩa , tính chất của nguyên hàm, bảng nguyên hàm của một só hàm số sơ cấp

thức và các phép biến đổi ngược lại)

2 ĐN và các tính chất của tích phân Tính tích phân của một hàm số bằng định nghĩa, bằng P2 đổi biến số, P2 tích phân từng phần.

3 Diện tích các hình phẳngvà thể tích các vật thể tròn xoay đơn giản

3 2

x

dx dx

xdx dx

x

x x

++

−

=+

−

=+

−

∫

25

25

3 ∫(x2 x −3x+ x)dx

x

x x x

)53

12

x

x x

u

+

+

=+

11

)1(11

11 11

x dx

x u

.sin

dx du

ln

2

x v x

dx du dx

x dv

x u

4ln.2

.2

1ln.2ln

2 2

54

1

22

3

54

24

52

45

1 0

1 0 2 1

0

3 1

0 4

1

0 3 1

0

2 3

−

=

−+

−

=

−+

−

=

−+

−

=

−+

∫

x x

x x

dx xdx

dx x dx x dx x x x

Bài tập : tính các tích phân sau

1

3 3 1)

x x x

e

.752

1

−+

x

x

.2

32

dx x

x x

( x dx , 11 ∫2 −

0

5

2 7) 3

( x xdx , 12 ∫2 +

1

2

3 1) .(x x dx

13 ∫1 +

0

2 1 x dx

2

2

.ln

e

dx x

x

x

.13

5

1

dx x

2

3

ln

e

e x x dx

5 Tính tích phân bằng P2 đổi biến số,P2 tích phân từng phân : chú ý qui tắc đổi biến và đổi cận, công thức tích phân từng phần

2

Đổi cận :

31

10

u x

10

13102

1)

12(

5 3

1

1

0

5 3

1

0

4 1

π

Giải : Đặt :

x v

xdx dv

dx du x

u

cossin

=

sxdx co x

cos)1(

π π

e

x

e xdx x

x J

1 2 2

1 1

2

4

122

1ln

12

2 2

2 −e − = e +

e

Bài tập : 1) ∫1 −

0

2 3

dx e

2sin

+Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số f1(x) và f2(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và

2

0

3 2

0

∫ x dx x (đvdt)

Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau : y = x2 – 2x và y = x

3

;00

Bài tập :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :

1) y = sinx , trục hoành trên đoạn

2

;2[−π π

]2) y = sin2x (0≤ x≤π ) và trục ox

8) y = x3 – 1 và tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x3 – 1 tại điểm m(-1 ;-2)

9).Cho hình phẳng giới hạn bới các đường y = 2x –x2 và y =0 Tính thể tích vật thểtròn xoay sinh ra bởi hình phẳng đó khi quay quanh : a Trục Ox , b Trục Oy

10).Cho hình phẳng giới hạn bới các đường y = x.ex , x = 2 và y = 0 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng đó khi quay quanh trục Ox

7 Thể tích khối tròn xoay : Công thức V = ∫b

a

dx x

f 2( )

π

Luyện tâp :

Vídụ 1 : Cho hình phẳng giới hạn bới đường cong y = sinx , trục hoành và hai đường

trục Ox

Giải : ta có V = ππ∫ =π ∫π −

2sin xdx co s x dx

=

2)2sin2

1(2

3) y = sin2x , y = 0, x = 0 , x = 1

4) y = 2x2 , y = x3

5) y = 2 – x2 , y = x

CHƯƠNG IV : SỐ PHỨC

I) Những kiến thức cần nhớ :

-Dạng đại số của số phức

-Biểu diễn hình học của số phức, môđun của số phức, só phức liên hợp

-Căn bậc hai của số phức

-Công thức tính nghiệm của Pt bậc hai với hệ số thực

2

1

− 3.Tính môđun của số phức : z = -3 + 4i

Giải : áp dụng công thức : z = a + bi ⇒ z = a2 +b2

vậy : z = ( )−3 2 +42 =5

4.Tìm z ; biết z = 1− 2i.

Giải : Ta có : z = 1+ 2i.

2)Thực hiện các phép toán cộng , trừ, nhân, chia số phức

+ Phép cộng : (a + bi) + (c + di) = (a + c)+(b +d)i

Ví dụ :Tính z1 + z2 , Biết z1 = 4 -5i, z2 = -3 -2i

Ta có : z = z1 + z2 = 1 -7i

+Phép trừ :(a + bi) - (c + di) = (a - c)+(b - d)i

Ví dụ :Tính z1 - z2 , Biết z1 = 1 + 3i, z2 = 3 - 5i

Ta có : z = z1 - z2 = -2 + 8i

+Phép nhân : (a + bi)(c + di) =(ac – bd) + (ad + bc)i

Ví dụ :Tính z1 z2 , Biết z1 = 4 -5i, z2 = -3 -2i

bc ad b a

bd ac bi a

di c

2 2 2

−++

+

=++

Ví dụ :Tính z =

2

1

z z

, Biết z1 = 1 + 3i, z2 = 3 - 5i

Ta có : z =

i i

i z

z

2 2

2 2

2

1

)5(3

1)

5(3.3)5(3

3)

5(1.353

31

−+

−

−+

−+

−+

12 +

−

Áp dụng:

1.Tìm các số thực x và y biết :

a) 2x + 1 + 91- 2y)i = 2 –x + (3y – 2)i

b)4x + 3 + (3y – 2)i = x + 1 + (y – 3)i

2 Tính :

a) ( )4

1+

32( − i + i

i

i

23

152+

−

31

)31)(

23(

i i

i

+

−+

3)Tính căn bậc hai phức của một số thực âm, Giải PT bậc hai với hệ số thực

Chú ý :

+Căn bậc hai của -2 là ±i 2 vì (±i 2) 2 = -2

+Căn bậc hai của -3 là ±i 3 vì (±i 3) 2 = -3

+Căn bậc hai của -4 là ±2i vì (±2i) 2 = -4

+Pt bậc hai : ax2 + bx + c = 0 với a , b, c ∈R,a≠0 Xét ∆=b2 −4ac, ta thấy :

2

2 , 1

2

2 , 1

III) Bài tâp :

1) Tìm phần thực và phần ảo của só phức z biết :

3) Tính z và tìm z biết :

7) Tính : i3 , i4 , i5 , (2+3i)2 , (2 = 3i)3

,(-3-2

1

i)3 8)Giải các PT :

a (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i

b (1 + 3i)z – (2 +5i) = (2 + i)z

- Khối đa diện đều , 5 loại khối đa diện đều.

- Thể tích khối đa diện, khối hộp chử nhật.Công thức thể tích khối lăng trụ và khối chóp

ha, hb, hc là 3 đường cao tương ứng với 3 cạnh a, b, c

A, B, C là 3 góc

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

a b c+ +

)+ Hệ thức lượng: sin = đối/huyền; cos = kề/huyền, tan = đối/kề; cot = kề/đối

+ Diện tích tam giác vuông:

S=1

B

* Hệ thức lượng: sin=đối/huyền; cos=kề/huyền, tan=đối/kề; cot=kề/đối

* Định lý Pitago: BC2=AB2+AC2

Bài 1 :Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC=b,

a)Tính độ dài AC’

b) Tính thể tích hình lăng trụ

Bài 2 :Lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ đáy là tam giác đều ABC cạnh a Đỉnh A’ cách đều

Bài 3: Cho khối lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng

a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

b) Tính thể tích khối chóp ABC.A’B’C’

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC = a ,

góc 300

a) Tính độ dài đoạn AC

b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC theo a

Bài 5 :Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=2a, AA’=a.Lấy M thuộc

AD sao cho AM= 3MD

Bài 8 :Hình chópS.ABC có đáy là tam giác vuông tại B; SA vuông góc đáy.Từ A kẻ AD

a)CMR: SO vuông góc mp(ABCD)

b) Biết SA tạo với đáy góc450, Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Bài11 : Hình chópS.ABCD đáy là hình bình hành ABCD có SA=SC và SB=SD Gọi O là giao điểm của AC và BD

a)CMR: SO vuông góc mp(ABCD)

Bài 12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a Gọi I

là trung điểm của cạnh BC

a) Chứng minh SA vuông góc với BC

b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a

Bài13: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = a , còn tất cẩ các cạnh khác có độ dài bằng b

a) Chứng minh SA vuông góc với SC

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và b

Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên đều

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD)

b) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

CHƯƠNG II :

MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

I) Những kiến thức cần nhớ :

- Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu.Quan hệ của mặt cầu với điểm, đường thẳng, mặt phẳng

- Thiết diện tạo bởi mặt phẳng giao với mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

- Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hoặc lăng trụ

II.Dạng toán thường gặp :

- Tính diện tích thiết diện

- Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

3Bh=3πr h (h là chiều cao khối nón)

- Tính thể tích khối trụ:V=Bh=πr h2 (h là chiều cao khối trụ và h=l)

3πr