ĐỀ THI HỌC KÌ II – Năm học: 2009-2010 Môn: Toán – Thời gian: 90 phút
Câu 1 (2,5 điểm): Giải bất phương trình và hệ bất phương trình sau:
a)
2 2
− + >
2
21 4− x x− < +x 3
Câu 2 (3 điểm):
1 Cho biết sin 4
5
a= với
2 a
π < <π
Tính sin2a; cos2a
2 Rút gọn biểu thức: sin( ) osasinb
sin( ) cosasinb
a b
+ −
− +
3 CMR: 4sin sin sin sin
a
π + π − =
Câu 3 (0,75 điểm):
Cho hình chữ nhật tạo bởi 3 hình vuông xếp kề nhau như hình vẽ
CMR:
4
π
α β+ =
β α
Câu 4 (1,25 điểm):
Cho đường tròn (C): x2 + y2 −12x+2y+ =3 0
a) Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua P(-2; -3)
Câu 5 (2,5 điểm):
Cho parabol (P): y2 = 4x và đường thẳng d: 2x – y – 4 = 0
a) Xác định tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol (P) b) Xác định tọa độ giao điểm A, B của d và (P)
c) Tìm điểm C thuộc parabol (P) sao cho ∆ABC có diện tích bằng 12
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN
1a
+ Bất phương trình −2x2+3x+ ≥2 0 có tập nghiệm 1
1
;2 2
=
+ Bất phương trình x2 −5x+ >4 0 có tập nghiệm S2 = −∞ ∪( ;1) (4; +∞)
+ Tập nghiệm của hệ là: 1 2
1
;1 2
÷
0,5 0,5 0,25
2
2
2
21 4 ( 3)
3 0
5 6 0
3
x x
x x x
x x x
x
− − ≥
− − < + ⇔ + >
− − ≥ +
− − ≥
⇔ + >
+ − >
− ≤ ≤
⇔ > −
< − ∨ >
⇔ < ≤ −
0,5
0,25
0,25
0,25 2a
+ Do
2 a
π < <π
nên osa=-3
5
c
+ sin 2 2sin cos 2 4 3 24
÷ ÷
os2a=2cos 1 2 1
c a− = − = −
0,5 0,25
0,25 0,25 2b sin( ) osa.sinb sin cos osa.sinb-cosa.sinb
sin( ) cosa.sinb sin cos osa.sinb+cosa.sinb
sin cos sin cos 1
=
=
0,5 0,25 0,25
4sin sin sin 2sin ( os os )
2a 2sin os sin
sin sin sin
sin sin sin sin
c
a
= + − ÷+
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 3Ta có: tan 1; tan 1
tan tan tan( )
1 tan tan
1 1
2 3 1 1 1 6
α β
+ + =
− +
−
Do α, β các góc nhọn nên
4
π
α β+ =
0,25
0,25
0,25 4a
Ta có:
= − = −
= ⇒ =
= =
Tâm I(6; -1), bán kính 2 2
6 ( 1) 3 34
0,25
0,25 4b Gọi đường thẳng ∆ qua P(-2; -3) có VTPT nr= ( ; )a b
Phương trình ∆ là: a(x + 2) + b(y + 3) = 0
⇔ ax + by +2a +3b = 0
∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) ⇔ d(I, ∆) = R
2 2
2 2
34 8 2 34.
64 32 4 34 34
30 32 30 0 15 16 15 0
− + +
+
Chọn b = 1 ta có 2
3 5
15 16 15 0
5 3
a
a
=
+ − = ⇔
= −
Vậy: Có 2 tiêp tuyến với (C) đi qua P(-2; -3) là: ∆1: 5x – 3y + 1 = 0
∆2: 3x + 5y + 21 = 0
0,25
0,25
0,25
5a Phương trình parabol có dạng chính tắc y2 = 2px với p = 2
Tiêu điểm F(1; 0)
Phương trình đường chuẩn: x = -1
0,25 0,25 0,25 5b Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ:
2 4
x y
=
− − =
= − =
Vậy: d cắt (P) tại A(1; -2); B(4;4)
Trang 45c AB= 9 36 3 5+ =
Gọi
2 ( ; )
4
c
C c thuộc (P), khoảng cách C đến đường thẳng d là:
2
2 8
2 5
=
Diện tích của ∆ABC =12
2
2
2 8
12
2 8 16 6
4
AB
c c
− −
⇔ − − =
=
⇔ = −
Vậy: có 2 điểm cần tìm C1(9; 6) và C2(4; -4)
0,25
0,25
0,25 0,25