bài giảng sức bền vật liệu, chương 13 potx

x Chương 13: DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG Một dầm chịu uốn ngang phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có hai thành phần nội lực là lực cắt và mô men uốn.. Xét một

x

Chương 13: DẦM CHỊU UỐN NGANG

PHẲNG

Một dầm chịu uốn ngang phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có hai thành phần nội lực là lực cắt và mô men uốn Các thành phần nội

lực này nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm

Ví dụ : Dầm có mặt cắt ngang là hình chữ nhật chịu lực như trên hình vẽ (hình 5.16) Xét một mặt cắt 1-1 nào đó của dầm, thì trên mặt cắt đó có hai thành phần nội lực

là lực cắt Qy và mô men uốn Mx Hai thành phần nội lực này đều nằm trong mặt phẳng

đối xứng của dầm là Oyz (hình 5.17)

5.6 ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

b

d z

1 2

1 2

x

z

y P

l

Hình 5.16: Dầm

chịu lực có mặt

cắt ngang

ữ nhật

Hình 5.17: Nội lực trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang

phẳng

Công thức tính ứng suất pháp z (5-2) được suy ra cho

trường hợp Mx = const

Nếu mô men uốn Mx là một hàm số theo z thì trên mặt cắt ngang sẽ có lực cắt:

Q y dMx

dz

Trong trường hợp này, trên mặt cắt ngang, ngoài ứng suất pháp do mô men uốn Mx gây ra, còn có ứng suất tiếp do lực cắt

Qy gây ra Đối với trường hợp này, sau khi bị biến dạng mặt cắt ngang không còn phẳng nữa Mặt cắt ngang không những bị xoay như trong dầm chịu uốn thuần túy phẳng mà còn bị vênh đi một ít

do tác dụng của ứng suất tiếp, cho nên quá trình chứng minh ở mục 5-2 không còn phù hợp Nhưng "Lý thuyết đàn hồi" đã chứng minh rằng, công thức (5-2) có thể dùng được trong trường hợp uốn ngang phẳng mà sai số mắc phải không lớn Vì vậy, chúng ta thừa nhận công thức (5-2) để tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang trong trường hợp uốn ngang phẳng:

M

z = x y

5.7 ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG.

Để đơn giản bài toán, ta giả thiết dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật

Nói chung, ứng suất tiếp z ở một điểm bất kì trên mặt cắt ngang có thể không cùng phương với lực cắt Qy

Phân tích ứng suất tiếp z ra thành hai thành phần zy và

zx (hình 5.18):

z = 2 2 zy

  zx Trong đó:zy là thành phần ứng suất tiếp

song song với lực cắt Qy (tức là song song với

Oy); zx là thành phần ứng suất tiếp vuông góc

với lực cắt Qy (tức là song song với Ox)

Cách xác định ứng suất tiếp z ở một điểm

bất kì trên mặt cắt ngang là vấn khó khăn Vả lại

nếu mặt cắt có dạng hình chữ

nhật hẹp thì thành phần ứng suất tiếp zx rất

bé so với zy Nên trong thực tế, người ta

thường chỉ xác định thành phần ứng suất tiếp

song song với lực cắt zy

Để lập công thức tính thành phần ứng suất

tiếp song song

với lực cắt, ta thừa nhận giả

thuyết sau:

Thành phần ứng suất tiếp song song

và cùng chiều với lực cắt ở một điểm bất

kì K trên mặt cắt ngang là phân tố đều theo đoạn thẳng đi qua điểm K và vuông góc với lực cắt

Qy

zx

Hình

5.18: Ứng

suất trên mặt cắt ngang của dầm chịu

Tưởng tượng tách ra khỏi dầm một đoạn vô cùng bé dz bằng hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (xem hình 5.19 và hình 5.20)

Sau đó, cắt đoạn dầm dz bởi mặt cắt thứ ba đi qua điểm đang xét K và vuông góc với lực cắt Qy Mặt cắt này cắt đoạn dầm làm hai phần, ta xét sự cân bằng của phần dưới ABCDEFGH (hình 5.20)

Viết điều kiện cân bằng của phân tố này dưới dạng phương trình hình chiếu của các lực lên phương của trục dầm (trục Oz)

- Trên mặt ABCD: Kí hiệu ứng suất pháp trên mặt này là

z(1) (hình 5.20), ta có:

z(1) 

S

x

z

M

M

x z(

1) J x

c Qy

x

Q y

1 d 2 z

Mx+d

A

B H

z(

z(

2)

x

Hình 5.19:

Hình 5.20: Xác

định ứng suất tiếp

Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt ABCD lên phương

Oz bằng:

N1=  dF  M x ydF

M x c x

(a)

Fc J x Fc J x Trong đó: Fc - Diện tích của mặt ABCD mà ta gọi là diện tích cắt; S c - Mô men

tĩnh của phần diện tích bị cắt đối với trục trung hòa Ox

- Trên mặt EFGH: Ứng suất pháp trên mặt 2-2 này là z(2):

MdM

z(2) = x yx

J x Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt AFGH lên phương

OZ bằng:

N2 =  dF x x ydF x Scx (b)

- Trên mặt ABEF: Theo giả thuyết về các thớ dọc, trên mặt này chỉ có ứng suất tiếp Dựa vào định luật đối ứng, thành phần ứng suất tiếpyz song song với trục OZ bằng:

yz =

zy

Vì chúng ta đã thừa nhận ứng suất tiếp zy phân bố đều trên đoạn AB (hình 5.20)

nên thành phần ứng suất tiếp yz cũng phân bố trên toàn mặt ABEF Do đó, hình chiếu của nội lực tác dụng lên mặt ABEF lên phương OZ bằng:

T = yz  diện tích (ABEF) = zybcdz Trong đó bc là bề rộng của mặt cắt (tức chiều dài đoạn AB)

đi qua điểm đang xét

K và vuông góc với lực cắt Qy

Vậy, điều kiện cân bằng dưới dạng phương trình tổng quát hình chiếu của các lực

tác dụng lên phân tố ABCDEFGH lên phương OZ:

z = 0; N1 - N2 + T = 0

dM x Sc 



b c dz  0

x x

x

h y

x

y

x

dMS

cx x

=

dz

dz

 Q y

J b c

=

Q Sc

J b c

(5-14)

Trong đó:

S c

- Mô men tĩnh của phần điện tích bị cắt đối với trục trung hòa; bc

-Bề rộng của mặt cắt đi qua điểm đang xét và vuông góc với lực cắt

Công thức (5-14) được gọi là công thức Durápski

Dưới đây, ta lần lượt tính ứng suất tiếp đối với một số mặt cắt ngang đơn giản

a) Mặt cắt ngang hình chữ nhật (hình 5.21).

Để xác định sự phân bố của thành phần ứng suất tiếp zy trên toàn bộ mặt cắt,

b

Qy

m ax

O

trước hết ta tính thành phần ứng suất

tiếp zy ở điểm K (hình 5.21)

Bề rộng mặt cắt đi qua điểm

K bằng :

bc = b

Mô men tĩnh của phần điện tích bị cắt (phần dưới) đối với trục trung hòa Ox bằng:

c
h

h
1 bh 2
 y 2


Sx  b
 y

y

1
4


y

Hình 5.2: Xác

định ứng suất tiếp

14) ta được:

Mô men quán tính của mặt cắt đối với

bh3 trục trung hòa Ox: 12Jx =

Khi thay các giá trị trên vào

x

(5-zy = 3 Qy

1
4 y 2



2

2 bh
h


Như vậy, quy luật phân bố của zy là một đường Parabol bậc hai Những điểm ở trên trục trung hòa Ox là những điểm có ứng suất

tiếp zy lớn nhất (y=0):

3 Qy

max = 2

bh

(5-15)

b) Mặt cắt ngang hình chữ I (hình 5.22).

Ở đây, ta chỉ xét sự phân bố của ứng suất tiếp

zy trong lòng chữ I Tính ứng suất tiếp zy ở

điểm K nằm trong lòng chữ I

Bề rộng của mặt cắt đi qua điểm K bằng: b

2

S c 

S

(yd) y

 S

2 x

d y

Thay chúng vào (5-14), ta

được:

96

x

O Kd

max y

R y



2

R



Q
S
d y
y
x 2


zy = 



J x d Vậy, luật phân bố của zy dọc theo chiều cao của mặt cắt ngang chữ I là một

đường Parabol bậc hai

Ứng suất tiếp zy đạt tới giá trị lớn nhất ở trên trục trung

=

Q y

.Sx

J x

d

Trong đó Sx là mô men tĩnh của nửa hình chữ I lấy đối với trục trung hoà Ox, đại

lượng này được cho trong các sổ

tay kĩ thuật

c) Mặt cắt ngang hình tròn

(hình 5.23)

R 4

Đối với trường hợp này :

bc = 2

R 2

y 2 ; Jx =4

3 R

Sc  b   d 

 2 R
y 2    d  2 (R 2
y2 ) 2

Thay chúng vào (5-14) và chú ý diện tích mặt cắt hình tròn F

là
.R2 :

4 Q y
 y 2


 zy



 3


1



Công thức này chứng tỏ

zy biến thiên dọc theo

đường kính của

mặt cắt ngang hình tròn là

đường cong bậc hai

Ứng suất tiếp zy đạt

tới giá trị lớn nhất ở những

điểm nằm trên đường trung

hòa (y=0):

Q y

K

b(

b)c

ma x

F

(5-17) Hình 5.23: Xác định

ứng

ất tiếp

5.8 ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

Như trên đã nói, trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng ngoài ứng

suất

pháp z do mô men uốn Mx gây ra, còn có ứng suất tiếp zy do lực cắt Qy gây ra

Trên hình 5.24 biểu diễn biểu đồ ứng suất pháp z và ứng suất tiếp zy dọc theo

b

Qy

A

B

97m

a x

O

C

chiều cao mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng

Dựa vào biểu đồ này, chúng ta thấy rằng trạng thái ứng suất của các phân tố trên mặt cắt ngang sẽ khác nhau Nói chung, chúng

ta có ba trường hợp sau :

a) Trạng thái ứng suất đơn:Vì ứng suất tiếp ở những điểm

mép trên cùng và dưới cùng bằng không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng suất đơn (tại điểm Avà D trên hình 5.24) Điều kiện bền của các phân tố :

- Đối với dầm bằng vật liệu dẻo: max||  ||

(5-18)

- Đối với dầm bằng vật liệu giòn: max []k ; min 

(5-19)

b) Trạng thái trượt thuần túy:Vì ứng suất pháp ở những

điểm trên trục trung hòa bằng không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái trượt thuần túy, ví dụ ở điểm O trên hình 5.24 Ứng suất chính của phân tố có trị số:

1= -3= max ; 2 = 0 (xem ở chương 3: Trạng thái ứng suất trượt)

- Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, ta có điều kiện

bền của phân tố:

[ ]

max  2

[

]

(5-20)

- Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình

Nếu dầm bằng vật liệu giòn, ta có thể dùng thuyết bền Mohr

để kiểm tra

c) Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt :

Vì ứng suất pháp và ứng suất tiếp nằm trong khoảng giữa trục trung hòa và mép trên cùng hay mép dưới cùng đều khác không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt Ví dụ ở điểm B, C trên hình 5.24

Ứng suất chính của phân tố này là (xem chương 3: Trạng thái ứng suất):

2



 1   2





2



 3 


2











2





 2 ; 2 = 0



Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, điều kiện bền của phân tố trên là :

- Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

2  42  []

- Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng:

2  32  []

- Đối với dầm bằng vật liệu giòn, có thể dùng thuyết bền Mohr để kiểm tra bền

* Chú ý: Không phải kiểm tra bền cho cả ba loại phân tố ở

trên cùng một mặt cắt ngang Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, ta phải chọn mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất Đối với phân tố ở trạng thái trượt thuần túy, phải chọn mặt cắt ngang có lực cắt lớn nhất Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt, phải chọn mặt cắt có mô men uốn và lực cắt cùng lớn (thường chỉ kiểm tra ở điểm tiếp giáp giữa đế và lòng của mặt cắt ngang hình chữ I) , cũng có khí ba mặt cắt đó trùng nhau trở thành 2 hay 1 vị trí

* Ví dụ 3: Kiểm tra bền dầm có mặt cắt ngang hình chữ I số

hiệu 36 chịu lực như

hình vẽ (hình 5.25a) Chiều dài của dầm là l=2m, cường độ tải trọng phân bố đều là

10 0

q=104N/m , lực tập trung P=20104N, đặt cách gối tựa một khoảng cách a= 0,2m Ứng suất cho phép là []=150MN/m2

a q

d

20,8 1

)

c

)

4,18.104

4,5.1 04

21

10 4N

21

10 4N

b

d

4 b

Hình 5.25: Kiểm tra bền

Bài giải :Biểu đồ lực cắt Qy và mô men uốn Mx được biểu

diễn trên hình 5.25b, c Chúng ta nhận thấy:

- Mặt cắt ngang ở giữa dầm có mô men uốn lớn nhất: Mmax

= 4,5.104Nm

- Mặt cắt ngang ở A và B có lực cắt lớn nhất: Qmax =

21.104N

- Mặt cắt ngang ở C, D có mô men uốn Mx và

lực cắt Qy đều lớn: Qy = 20,8.104N; Mx = 4,2.104Nm

Số liệu và kích thước của mặt cắt ngang chữ I số 36 (cho theo bảng) như sau: Jx = 13380cm4; Wx = 743cm3;

Sx = 423cm3, d = 0,75cm; h = 36cm

a) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn:

Phân tố này được chọn ở trên mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất và ở biên trên hay biên dưới của mặt cắt ngang này Ứng suất pháp lớn nhất bằng:

4

max = Mmax

W y

 4,5.10 743.10

6

 60,57MN / m 2

 150MN /

m 2

 [ ]

10 1

So sánh với ứng suất cho phép, ta thấy nhỏ hơn Vậy điều kiện bền đối với phân tố này được thỏa mãn

b) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái trượt thuần túy:

Phân tố này được chọn ở trên mặt cắt ngang có lực cắt lớn nhất và ở ngay trên trục trung hòa của mặt cắt ngang

này Ứng suất tiếp lớn nhất bằng:

Q S 21.10 4.423.10
6

max = max x  88,5 MN / m 2

J x d 13380.10
8.0,75.10
2 Trị số ứng suất tiếp cho phép có thể tính theo thuyết bền thế năng biến đổi hình

] 

3

15 0 1,73 2

 86,6MN / m2

phé

p

So sánh max với [], ta thấy max lớn hơn một ít khoảng 2% Điều đó có thể cho

Q S

x

k

y x

x

c) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái ứng suất

phẳng đặc biệt:

Phân tố này được chọn ở điểm tiếp giáp giữa đế và lòng của chữ I trên mặt cắt ngang có mômen uốn và lực cắt cùng lớn sát mép trái C hay sát mép phải D Gọi K là điểm tiếp giữa lòng và đế của chữ I

 =

M x y

J x

4,2.1

0 4



13380.1

0
8

(0,18
0,0123)  52,6MN / m 2

c

k = 20,8.10 4 317,5.10

6

 65,8 MN / m 2

J x d 13380.10
8  0,75.10
2 Trong đó: S

c  S
yx

d y k 2

 423
16,77  0,75  16,77  317,5cm 3

2

Sử dụng thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất, ta xác đinh ứng suất tương đương là:

td = 2 32  52,6/ m 22  3(65,8)2  125MN / m2  150MN []

k k

Ứng suất nhỏ hơn ứng suất cho phép, vậy dầm đủ bền