Bài tập Giải tích 12

Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số: ππ.. Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây trên các đoạn tương ứng: ππ ]... Viết phương trình tiế

Trang 1

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

2

4

9ln

Bài 5: Hàm số P(x) = ax2 + bx + 4 lấy giá trị dương với mọi x Tìm tất cả các giá trị nguyên của

a và b sao cho P'(1) = 4

Bài 6: Cho hàm số y = xsinx Chứng minh rằng ta có: xy'' - 2(y' - sinx) + xy = 0

Bài 7: Một chuyển động thẳng có phương trình s(t) =

2 3 4

2

32

112

1

t t

t + +

Chứng minh rằng gia tốccủa chuyển động đó dương tại mọi thời điểm

Bài 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây:

sincos

cossin

Bài 10: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

1cos

2

x khi a

x khi x x

1

x khi a

x khi x

x

Xác định a để hàm số có đạo hàm tại x = 0 Khi đó, tính f'(0)

- Tài liệu lưu hành nội bộ - - Tài liệu lưu hành nội bộ - 1 - Tài liệu lưu hành nội bộ - 11

- Tài liệu lưu hành nội bộ - 1

Trang 2

Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng

Bài 12: Chứng minh rằng hàm số y = x[C1cos(lnx) + C2sin(lnx)] (C1, C2 là hai hằng số) thỏa mãnphương trình: x2y'' - xy' + 2y = 0

Bài 13: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Bài 14: Chứng minh rằng

a) Hàm số y = exsinx thỏa mãn hệ thức y''' - 4y'' + 6y' - 4y = 0

b) Hàm số y = 3e-2x thỏa mãn hệ thức y''' + 4y'' + 6y' + 4y = 0

Bài 15: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của các hàm số:

54

2

+

++

x

x x

tại điểm có hoành độ x = 0

b) y = x3 - 3x2 + 2 tại điểm (-1; -2)

c) y = 2x+1 biết hệ số góc của tiếp tuyến là 3

1

2 SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ:

Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

35

Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

+

−++

x

m x m x

đồng biến trên từngkhoảng xác định của nó

Bài 6: Xác định m sao cho hàm số:

Trang 3

a) y = x m

m x

m mx

−

−++

−

++

2

đồng biến trên từng khoảng xác định

Bài 7: Xác định m để hàm số:

a) y = x2 + mx + 1 đồng biến trên khoảng (1; +)

b) y = mx2 - (m + 6)x + 3 nghịch biến trên khoảng (-1; +)

Bài 8: Xác định m để hàm số y = 3

1

x3 - 2x2 + mx - 2 đồng biếna) trên khoảng (-; +)

Bài 11: Xác định giá trị của b để hàm số f(x) = sinx - bx + c nghịch biến trên toàn trục số

3 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ - CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU

Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:

x

x x

)4(

x

Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số:

ππ

Bài 5: Cho hàm số y = 1

Xác định m sao cho:

a) Hàm số có cực trị

b) Hàm số có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau

Bài 6: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 3(m + 1)x - m - 6 Xác định m sao cho:

Trang 4

a) Hàm số có cực trị

b) Hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu

Bài 7: Xác định m để hàm số y = x3 - mx2 + (m - 3

2)x + 5 có cực trị tại x = 1 Khi đó hàm số đạtcực tiểu hay cực đại? Tính giá trị cực trị tương ứng

1

x3 - mx2 + (m2 - m + 1)x + 1 Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cựctiểu tại x = 1?

Bài 9: Với giá trị nào của k thì hàm số y = -2x + k x2 +1 có cực tiểu?

Bài 10: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

4 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các hàm số:

+

x x

x

38

2− +

−

=

x x

x y

1sin2

++

−

x x

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây trên các đoạn tương ứng:

ππ

]

g) f(x) = 2sinx + sin2x trên đoạn [0; 2

3π

]

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây trên các khoảng tương ứng:

Trang 5

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) y = x.ex - 1 trên đoạn [-2; 2]

Bài 6: Cho số dương m Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng làlớn nhất

Bài 7: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất

Bài 8: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnhhuyền bằng hằng số a (a > 0)

Bài 9: Hai đỉnh của một hình chữ nhật ABCD nằm trên trục Ox, và hai đỉnh kia (với tung độdương) nằm trên parabol y = 4 - x2 Gọi S1 là diện tích giới hạn bởi parabol đã cho với trục hoành,

S2 là diện tích hình chữ nhật ABCD và S = S1 - S2 Tính kích thước hình chữ nhật ABCD sao cho Sđạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó

5 TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ

Bài 1: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị của các hàm số sau đây:

e) y = 3x5 - 5x4 + 3x - 2

Bài 2: Tìm a, b để:

a) I(1; -2) là điểm uốn của đồ thị của hàm số y = ax3 + bx2 + x + 1

b) I(1; 1) là điểm uốn của đồ thị của hàm số y = x3 - ax2 + x + b

Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị của các hàm số:

2 + +

+

x x

x

.có ba điểm uốn thẳng hàng

Bài 4: Tìm m để đồ thị của hàm số y = x4 - (m + 1)x2 + 3

6 TIỆM CẬN

Bài 1: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị của mỗi hàm số sau:

12

Trang 6

x x

x

x x

Bài 3: a) Cho hàm số y = x + m + m−x

3 (H) Xác định m để tiệm cận xiên của đồ thị (H) đi quađiểm (1; 2)

b) Hãy chỉ ra phép biến hình biến (H) thành (H') và (H') nhận giao điểm của hai đườngtiệm cận làm tâm đối xứng

7 KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

23

2

8 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ.

Bài 1: Cho hàm số y = x2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đó, biết:

a) Tiếp điểm là điểm (1; 1)

b) Tung độ của tiếp điểm bằng 4

c) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -x + 2

d) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = 2 1

1x+

.e) Tiếp tuyến đó đi qua điểm (0; -1)

Bài 2: Khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 4 (1) Từ điểm M(0; 4) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến củađồ thị (1)? Viết phương trình các tiếp tuyến đó

Trang 7

Bài 3: Khảo sát hàm số y = 1 + 2x2 - 4

a) Khảo sát hàm số (1)

b) Chứng minh rằng đồ thị (1) có tâm đối xứng Tìm tọa độ tâm đối xứng

c) Chứng minh rằng trên đồ thị (1) có vô số cặp điểm mà tại đó, các tiếp tuyến song songvới nhau từng đôi một

1

2

+

++

x

x x

(1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)

b) Tìm các điểm trên đồ thị (1) mà tọa độ của chúng là những số nguyên

Bài 6: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = -x3 + 3x + 1 (C)

b) Chỉ ra phép biến hình biến (C) thành đồ thị (C') của hàm số y = (x + 1)3 - 3x - 4

c) Dựa vào đồ thị (C'), biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau đây:

(x + 1)3 = 3x + m (1) d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đườngthẳng y = 9

x

x x

.a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Chứng minh rằng (C) không có tiếp tuyến nào song song với đường thẳng y = 2x - 1.c) Dựa vào đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x2 + (1 - m)x + 1 - m = 0

Bài 8: Cho hàm số y = x3 - (m + 4)x2 - 4x + m (1)

a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của m

b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn luôn có cực trị

c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của (1) khi m = 0

d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt

(C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Xác định m để phương trình x2 - (m + 1)x + 3m = 0 có hai nghiệm dương

c) Xác định k để tiệm cận xiên của (C) tiếp xúc với đồ thị của hàm số y = x2 + k

4

x

- 2x2 - 4

9.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Trang 8

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox

c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị hàm số y = k - 2x2 (P)

12)4(

x

m x m x

(Cm)

a) Xác định m để đồ thị (Cm) nhận điểm (2; 1) làm tâm đối xứng

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C-3) của hàm số khi m = -3

c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 - 2x + 2−x

1 = m

Bài 12: Cho hàm số y = 4x3 + mx (1) (m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (d) có phương trình là:

y = 13x + 1

c) Tìm các điểm cố định của họ đường cong (1) với m R

d) Xét sự biến thiên của hàm số (1) tùy thuộc vào giá trị của m

Bài 13: Cho hàm số y = f(x) = x3 + mx2 - 3 (1)

a) Xác định m để hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu

b) Chứng minh rằng phương trình: x3 + mx2 - 3 = 0 (2) luôn luôn có một nghiệm dương vớimọi m R

c) Xác định m để phương trình (2) có một nghiệm duy nhất

Bài 14: Cho hàm số y = f(x) = -(m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x - 5 (Cm)

a) Xác định m để hàm số đơn điệu trên R Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến? tạisao?

b) Tìm các điểm cố định của họ (Cm) Tiếp tuyến của (Cm) tại những điểm cố định có cốđịnh hay không khi m thay đổi? tại sao?

c) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1?

Bài 15: Cho hàm số y = f(x) = x4 - 2mx2 + m3 - m2 (Cm)

a) Tìm các điểm cố định của họ (Cm) khi m thay đổi

b) Gọi A là điểm cố định có hoành độ dương của (Cm) Hãy tìm giá trị của m để tiếp tuyếnvới đồ thị tại A song song với đường thẳng y = 2x - 3

)1(3

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O(0; 0) và tiếp xúc với (C)

c) Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên

Bài 17: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 3

Trang 9

24)

−+

−

x

m m x m x

.a) Xác định m để hàm số có cực trị Tìm m để tích của giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trịnhỏ nhất

b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0

c) Chứng minh rằng (C) có tâm đối xứng là giao điểm I của hai đường tiệm cận

d) Tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên

Bài 19: Chứng minh rằng phương trình: 3x5 + 15x - 8 = 0 chỉ có một nghiệm thực

2)1(2

2

+

+++

x

x m x

.a) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng (0; +)?

b) Tìm giá trị của a để đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 0 tiếp xúc với parabol y = -x2 + a Bài 21: a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = 2 2

b) Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 2

= m

Bài 22: Cho hàm số y = x m

x

32

4

+

−

(Cm)

a) Xét tính đơn điệu của hàm số

b) Chứng minh rằng với mọi m, đường tiệm cận ngang của đồ thị luôn đi qua điểm B(2

54

2

+

++

x

x x

b) Từ (C) suy ra đồ thị của hàm số y = 2

54

2

+

++

x

x x

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đườngthẳng y = 4

3

x - 3

1)

2(

2

−

++

−+

x

k x k x

.a) Xác định k để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi k = 2

Trang 10

c) Xác định a để phương trình: 1

= a có hai nghiệm phân biệt

4)

1(

x

m x m x

(1)

a) Khảo sát hàm số với m = 2

b) Chứng minh rằng hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu với mọi m Z

Bài 26: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2−x cắt trục tung tại điểm N sao cho ON = 2

3, cắttrục hoành tại điểm P sao cho OP= 3 Tìm tọa độ của tiếp điểm

Bài 27: Biên luận theo k số nghiệm của phương trình:

Bài 28: Cho hàm số y = x m

m mx x

+

−+2

2

(1)

a) Xác định m để hàm số có cực trị

b) Vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

c) Vẽ đồ thị hàm số y = 1

12

2

+

−+

x

x x

.d) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1

12

2

+

−+

x

x x

= m

)1(a− x3

+ ax2 + (3a - 2)x

a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến

b) Xác định a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

c) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ứng với a = 2

3 Từ đó suy ra đồ thị của hàm số:

52

36

2

x + +

Trang 11

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

Bài 2: Kiểm tra xem hàm số nào là nguyên hàm của hàm số kia trong mỗi cặp hàm số sau đây:

1

x sin( x

2)

x

và g(x) = x2 −2x+2 e) f(x) = x2 x e

1

và g(x) = (2x - 1)e x

1

Bài 3: Chứng minh rằng các cặp hàm số dưới đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số:

16

2

−

++

x

x x

1 và G(x) = 10 + cotg2x

c) F(x) = 5 + 2sin2x và G(x) = 1 - cos2x

Bài 4: Tìm một nguyên hàm của các hàm số sau đây:

1−

12

2 + +

+

x x

x

Bài 5: Tìm họ các nguyên hàm sau đây:

Trang 12

1

1ln

.i) ∫x2sin2xdx

x x)

1(

1sin

x x

cossin

sincos

(đặt t = sinx - cosx)

Bài 7: Tính các nguyên hàm sau đây:

x

)3)(

2(

x a

x x

2 2 2

2sin cos

cossin

sin1

Bài 9: Tính các nguyên hàm:

Trang 13

a) ∫(2x−3) x−3dx b)

∫

+

dx x

x

2

3

)1

c) ∫e +e− dx

e

x x

1

ln

Bài 10: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số: f(x) = 1 sinx

1

a) F(x) = 1 - cotg(2 4

π+

π

dx x

x

0 2

cos

2sin1

π

dx x

π

xdx x

3

16

x

dx x

.c)

dx x

Bài 3: Tính các tích phân sau:

x

Trang 14

0

2 2 3)sin(

π

xdx x

1

ln)12

a) ∫4

0

2

)sin(

π

dx x

π

dx x x

0

2 )1

t t

(

π

dx x x

0

2

)23

2 3

3

0

3cos3

cos3

cossin

π

dx x

x x

Bài 7: Tính các tích phân sau đây:

a) ∫2

0

2cos

π

xdx x

)1

π

xdx x

x

.g) ∫1 +

0

2

)1

1

ln1

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	3,91 MB