Các phương pháp giải bài tập giải tích 12 (chương trình nâng cao): Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 tài liệu Giải bài tập giải tích 12 nâng cao, phần 2 giới thiệu tới người đọc lý thuyết tóm tắt, bài tập căn bản, câu hỏi trắc nghiệm về nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng, số phức. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chuong III NGUYEN HAM, TICH `

PHAN VA UNG DUNG

§7 Wguyén ham

1 TOM TAT LY THUYET

1 Định nghĩa: Cho ham số f xác định trên khoảng I Hàm sé F dugc goi la

nguyên hàm của f trén I néu F'(x) = f(x) véi moi x thuộc I

2 Dinh lí 1: Giả sử F là nguyên hàm của hàm số f trên khoảng I Khi đó: a) Với mỗi c, hàm số F(x) + C cũng là nguyên hàm của f trên I

b) Ngược lại, nếu G là một nguyên hàm bất kì của f thì tổn tại c sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc I

œ+1

3) [S“=Inlx|+C; x 4) Voi k 1a hằng số #0

a) fin kxdx = _ +C; b) |eos kdx = sem +C

c) fevdx = 2" +0; —k d) fatdx = ar +QO<a#l) “na l

I BAI TAP CAN BAN

Bài 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Bài 3 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Nguyên hàm của hàm y = x.sinx là:

160

(A) x’sin + C; (B)-x.cosx + C; (C) —x.cosx + sinx + C

Giải Khang dinh (C) Có thể dùng nguyên hàm từng phần:

Dat EX = {du = dx

dy = sin xdx v =—cosx

> Íxsinxdx = =XC€08X+ feos xdx = —xcosx + sinx + C

Bài 4 Khẳng định sau đúng hay sai:

Nếu f) =(1~ Ýx}' thì [f(x)dx = —Ýx +C

Hướng dẫn: Khẳng định đúng Vì: fx) = (1 - Vx) =(-vxy

II CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 Hàm số y = có nguyên hàm fix) la biểu thức nào sau đây, nếu biết đồ

5 Một nguyên hàm của hàm số f{x) = sinx + =[Š —x| là:

(A) 2cosx; (B) sinx + cosx; (C) 2sinx; (D) -2cosx

§2 Mot số plucong phap tim nquyén ham

1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Cho hàm số y = f{x) liên tục và u = u(x) có đạo hàm liên tục trên

1 sao cho f(u(x)) xác định trên I Khi đó F là nguyên hàm của hàm f, nghĩa là:

2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Định lí 2: Nếu u(x), v(x) la hai ham số có đạo hàm liên tục trên I thì:

ÍaGOvGoáx = u)vG - [vG)u()dx- (2)

I BAI TAP CAN BAN

Bài 5ð Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Bài 6 Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các

hàm số sau:

a) Ñx) = xain ; b) fix) = x°cosx;

©) flix) = x.e%; 4) fix) = x'In(2x)

= x’sinx + 2xcosx — 2sinx + C;

Đặt t= V7 -3x? = t? = 7 - 3x? = tdt = —3xdx <> 3xdx = -tdt

163

batt = 8244S de= zat Suy ra: J = j footat = Zsint +c

Vay nguyén hàm của ham f(x) = cos(3x + 4) la F(x) = 3 sin(ax +4)+C

XétL= fsin® Xcos*dx = fl 1-cos* = * sin de

d) Xét L fain s 080 0E Ï 1-cos 3 coe sing

Dat t = cos* = dt = ~ Zein Xax = sin% dx = =8dt

3

Suy ra: L = [(1— tĐt(8dĐ) = -8[(tP =8 + tát = =2 tP = +

Vậy nguyên hàm của hàm sé f{x) = sin® 5 cos? la

F(x) = ~ Loos! % - neo ngon = +C

Bai 8 Tìm nguyên hàm của các hàm số:

Dat t = 57 =dt= a xtdx o> xix = 6dt

Suy ral = ƒ#.sát =tÊ+C

: + a 1 1/1; 2

b) Xét: J = [cy-sin co dx = 5 [y-sin =dx

Datt= = at = =d t=—-—dx© xã = vẽ —=-~dt 5

Suy ra J = ~+ Jsintat = Feost +C

Vậy nguyên hàm của ham sé f(x) = 4 sind cos? la F(x) = digg +C

=l= ~ 5 xeosDx + 5 Joos 2xdx = ~ 5 xe0s2x + 5g sinx +C

đ) Xét K= Jxcos(x*)dx Dat t = x? => dt = 2xdx © xdx = &

Suy ra: K = ; foos tdt = Saint +C Vay K= fx cos(x*)dx = sen x?sC

1 Một nguyên hàm của hàm số Ñx) = nhan $ - x] la:

cay 22nX > (mì tan, cos’ x © cot” x (D) 2tanx

3 Mét nguyén harn cia ham số: f(x) = xsin2x a

(A) - 5 xcos2x + sin2x; (B) - 5 xsin2x + + cost;

166

(C) 8 xcos2x + 1 gin2x; (D) ` ysin2x + đunzg;

5 Một nguyên hàm của ham fx) = x’.sin(x°) là:

(A) 5 sin(x’); (B)- 3 (-sin(x*)); (C) 5 cos*x; (D) s cos(x*)

1 TOM TAT LY THUYET

1 Định nghĩa: Cho hàm số f liên tuc trén khodng I va a, b là hai số bất kỳ thuộc I

Nếu F là một nguyên hàm của f thì hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân

của f từ a đến b và ký hiệu là: [”fQ)dx = F@9)|* = F(b) - F(a)

Chủ ý: ta có: [tat = [`f(u)du = @) - F(a)

9 Định lí 1: Cho hàm số y = ftx) liên tục, không âm trên khoảng I và a, b là

hai số thuộc I (a < b) Khi đó diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đổ thị

hàm số y = ffx), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là: S = Ÿtœax

8 Tính chất của tích phân Giả sử f, g liên tục trên I và a, b, c là ba số bất

II BÀI TẬP CĂN BẢN

Bài 10 Khéng-tim nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau:

a) f{š-3)t« b) l4; c) fi vo - x4dx

167

Giải a) Vé dé thi y = 5 +3

Suy ra dién tich S cia hinh

phẳng giới hạn bởi y = š +3 và x

=~2, x= 4, trục hoành là diện tích

hình thang có chiểu cao bằng 6 và

hai đáy bằng 2 và bằng 5, cho nên:

bì [|3f()dx =3 [(fGodx =-12

©) ['tt0o- gooldx = [foods f goods = 6-8 = -2

4) [ (4G) - gooldx = 4 [’ foodx - [ gGodx = 4.6 ~ 8 = 16

Bai 12 Cho [f (zidz=3; [' f(0dx =7 Hay tinh f f(t)dt ,

Giải

Ta có [f(z)dz=3; ['f@©0dx =7 = [† (dt =8 và [ f(ĐĐdt =7

Nên: [ f(Đdt = [ f(Đát + [ f(t)dt c7 =3+ [ f(Đ)dt

Vậy [fiat =4

Bài 13 a) Ching minh rhngnéu f(x) > 0 trên [a; b] thì [ f(x)dx >0

b) Chứng minh rằng nếu f(x) > g(x) trên [a; b] thì [ food > ft g(x)dx

Giai

a) Goi F(x) la một nguyên hàm của fx), ta có: F{x) = Ấx) > 0 trên đoạn [a;

bị] Do đó F(x) tăng trên đoạn [a; b]

Vi vay a<b = Fla) < F(b)

Nên ['fG0dx = Fib) - Fla) > 0

b) Theo câu a) ta có: f(x) - g(x) > 0, nén

[ ŒGÓ ~ gGordx > 0 > f'tGddx - [ g@e)dx > 0

Vậy Ÿreax > Ÿ soodx

Bài 14 a) Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 1 - 2sin2t (m/s) Tinh quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (s) đến thời

ie

é

laS= (a ~ 2sin 2t)dt = (t + cos 2t)

b) Khi vat dimg lai thi v(t) = 0 = 160- 10t=0 t= 16(s)

vậy quãng đường đi được từ t = 0 đến khi dừng lại là

S = [° (160 - 10t)dt = (160t ~ 5t”)|!°= 1280 (m)

169

Bài 15 Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t? Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây

Vậy quãng đường đi được là = (m)

Bài 16 Một viên đạn được bắn lên theo phuơng thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25 m/s Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s?

a) Sau bao lâu viên đạn đạt tới tốc độ cao lớn nhất

b) Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi rơi xuống đất (chính xác đến hàng phần trăm)

Giải

a) Giả sử rằng đạn được bắn lên từ mặt đất, khi đó:

v(t) = vo — gt = 2ð - 9,8L (t>0, t tính bằng giây)

Ta đã biết quãng đường viên đạn đi được trong t giây là S(t) thì:

Sit) = vit) => S(t) = fvit)dt = [(25 - 9, Bt)at

Do đó: max S(t) 18.6 khi t s8 t)=—— it=——

Vì thế, sau thời gian t = & (giây) thì viên đạn đạt độ cao lớn nhất là:

1 CAU HOI TRAC NGHIEM

§4 Mbt 16 phutong phip tinh tich phan

1 TOM TAT LY THUYET

1 Phương pháp đổi biến số:

[ ffuGu'Godx= ƒf@6)du — @)

Trong đó u = u(x); a = u(a); B = u(b)

2 Phương pháp tích phân từng phần

fucov '(x)dx = u(x).v(x)| = [voou '(x)dx (2)

Trong đó u(x), v(x) có đạo hàm liên tục trên I va a, b là hai số thuộc I

1I BÀI TẬP CĂN BẢN

Bài 17 Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:

a) [Hàn b) (ax fans dx; c) fiPas trax

cos? x

171

:Suy ra: [Ver iax =f" u2udu - 2.4 “| #33

x=0>u=0; xea Suzl

T

x=0>u=0; x= —>u=!l1

6

54 2

vay [/°(1 ~ cos 3x) sin 3xdx = ; fudu = a i “§

Bài 18 Dùng phương pháp tích phân từng phần:

Dat u=x+1; dv=e"dx = du = dx; v = e*

Suy ra [xs Detdx = et (x +1)|! - ['etdx = 2 -1-e" ) = 2e-1-(e-=e

ce) Tinh fe cos xdx

Đặt u = cosx; dv = e“dx => du = —sinxdx; v = e*

Suy ra [let cos xdx = e* cos x ot [let sin xdx = -e" -1+],

Tinh I, = fe sin xdx

Đặt u; = sinx; dv, = e*dx = du, = cosxdx; vị = e*

a-fe * cos xdx =-I

Vay I = -(e" + 1) - I <> 21 = -(e* + 1) , et

Suy ra: (? xcos xdx = x.sinx

3- sin xdx = 3 + (cos x) Nia

Vay [A xcosxdx = —1

173

Suy ra [ve + 2t(2 + 5t")dt = [lau =2 = 3"

b) ta có: [ƒ'xsin xeos xdx Tư

Suy ral = f(-t)-dĐ = [ f(-t)dt = [tcxax

“Thay vào (*) ta được:

VT= [f@)dx+ [`f(-x)dx = [ Œ(x) + f(-x))dx = VP

Bài 238 Cho f f004x = 3 Tinh f f(x)dx trong các trường hợp sau

a) Theo bai 6b) Néu flx) là hàm sé chan thi:

f foods = f foodx = 3

b) Nếu ftx) là hàm số lẻ thì: f, f(x)dx =0

© ÍjfúOdx + [fGOdx =0 P foods +3=0 = fi fxddx =-3

Bài 24 Tính các tích phân sau:

Datusx? = du= arte > x'dx =

Suy ra L= {> = In|ul |= In|2| =In2

Bài 2ð Tính các tích phân sau:

du = dx

dv = cos 2xdx v= gin 2x

176

Suy ra I = [/* xcos 2xdx = 5 x-sin 2x ‘ -} (sin 2xdx

Vay f 2 Inxdx =e

Ill CAU HOI TRAC NGHIEM

1, Khang định nào sau đây đúng?

3 Tinh tich phan I = fan x)'dx bing?

(A)e; ˆ (Œ)e-1; (C)e-2; (D){e-2)m

(A) Fina; (B) Zing; (C) Fina (D) 0

Đáp án (B) (A) (C) (A) (@)

§5 Ung dung tich phan dé tinh dign tich hinh phing

I, TOM TAT LY THUYET

+ Cho ham s86 y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích 9 của hình phẳng giới hạn bởi đổ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x =a, x = b

là: S= [|f6o|dx

+ Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đổ thị hàm số y = fx), y = g(x) và

hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) là: §= [lfc ~g(x)|dx

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong x = g(y), x = h(y) và hai

đường thẳng y = c, y = d là: S= [ |s(y)~ h(y)|dy

178

II BÀI TẬP CĂN BẢN

Bai 26 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đổ thị hàm số y = sinx + 1, trục

hoành và hai đường thẳng x = 0 và x = =

Giai

Ta thấy sinx + 1 >0 Vx€ G ts) nén dién tich S can tim bang:

-[ |sin x + 1Rx = ig (sin x + 1)dx = (—cosx + x)|§ :

Tự cos TE 6 72) -(-cos0 + 0)= = me 1

Bài 27 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số y = cos”x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = œ b) Dé thi hai ham sé y = Vx vay = *Vx

c) Dé thi hai ham sé y = 2x va y = x' - 2x? trong miễn x > 0

Giai a) Dién tich S can tim:

1+ cos 2x 1 I„, Sin2xI, S= [cost xdx = [Sd = 5 x|5

b) Hoành độ giao điểm của đổ thị hai hàm số y = vx và y = 'jx là

nghiệm của phương trình:

Bài 28 Tinh diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị các hàm số y = x” - 4, y = —x? - 2x và hai đường thẳng x = -3, x = —1; b) Dé thi hai hàm số y = x? — 4 và y = -x? - 2x

e) Để thị hàm số y = xŸ - 4x, trục hoành, đường thẳng x = -2 và đường

Chú ý: ở câu này, nếu không vẽ hình thì phải chứng tổ được rằng 7x

e[-3; -9] thì (x? - 4) — (—x? - 2x) > 0 để phá được dấu gid trị tuyệt đối

b) Phương trình hoành độ giao điểm đổ thị hai hàm số đã cho là:

x -4=-x?-2xox?+x-2=0 0 [zs

x=-2

Dựa vào hình vẽ ở câu a) ta có:

Ill CAU HOI TRAC NGHIEM

Trong mỗi khẳng định dưới đây, hãy chọn khẳng định đúng trong sác khẳng định đã cho (trong các khẳng định đó, chỉ có một khẳng định đúng)

+ Cho vật thể có diện tích thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với

trục Ox là S(x) Thể tích của nó giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục

+ Thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong

x = g(y), trục tung, hai đường thẳng y = c, y.= d quay quanh trục tung là:

V= xÏ (ø(y)#ây

1I BÀI TẬP CĂN BẢN

Bài 29 Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = -1 và x=1,biết rằng thiết diện vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ

x (-1s x $1) la mét hình vuông cạnh 1a 2 V1 - x?

181

Giải 2 Diện tích của thiết diện là S(x) = (sứ = x)

Diện tích của thiết diện là: S(x) = 5 (2vsinx) a =3sinx

Vậy thể tích của vật thể đã cho là: V= ƒ8sin xdx = -V3 cos x x= 2/3

Bài 31 Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 0, x = 4 và y = vx -1 Tinh

thé tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành

Giao điểm của đường y = vx -1va

đường y = 0 có hoành độ là x = 1, như

Bài 32 Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = en y=lvày=4 Tính

thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung

Bài 33 Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = v5 „*, x=0,y=-lvày=

1 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung

thính là tổng diện tích tam giác

zong OAC và tam giác cong ACB

Diện tích tam giác cong OAC là

Cách 2: Coi hình phẳng đã cho là hình phẳng giới hạn bởi đường cong có

hương trình x = avy, đường thẳng x = y, y = 0 và đường thẳng y = 1 Diện

:ích cần tìm là:

1 s= [(@ýy-yldy = anit x -3

Š 3 1

Nên S= [et cm + | E — ST váy) bog 4e 8

e) Ta thấy đường thẳng y = -4x - 4 và 2

đường thẳng y = 4x - 4 lần lượt là hai tiếp

tuyến của đổ thị hàm số y = xŸ tại các tiếp

Bai 35 Tinh dién tích hình phẳng giới hạn bới

a) Dé thi hai ham sé y = x? + 1 và y = 3 — x

b) Céc dudng c6 phuong trinh x = y*, y= 1vax=8

e) Đồ thị hai hàm số y = Vx, y = 6 — x va truc hoanh

Giai

a) Hoanh dé giao diém dé thj hai ham sé y = x’ + 1 và y = 3 - x là nghiện

xei x=-2°

c) Tacé: y= Vx e>x=y? (y>0);y=6—xex=6~y

Tung độ giao điểm của hai đường thẳng x = y', x = 6 - y là nghiệm củ:

Bài 36 Tính thể tích của vật thể T nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 < x < x) là một hình vuông cạnh là 2x/sin x

Giải Diện tích thiết diện là S(x) = (2 Vsin x )

Vậy thể tích của vật T được tính bởi:

Ve [[ (2vsinx)’ ax = ff 4 sin xdx = -4 cos x

Bài 37 Cho hình phẳng A giới hạn

bởi các đường y = xŸ, y =0,x =0

va x = 2 Tinh thé tích của khối

trdn xoay tao thanh khi quay

hinh A quanh truc hoanh

Giải Thể tích khối tròn xoay tạo

thành được tính theo công thức

“Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành

Giải

"Thể tích cần tìm là: V = mỆ"(cos x)'dx = xfs Tục

== x4 Ìsii2x inf Ta eB 4k B\ ở øo 2(4 2) 8 4

Bài 39 Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = x e?, y = 0, x = 0 và x = 1 Tinh thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành

Dat {ue =x i (x) = 1

v'(x) = e* v, (x) = e*

=> I, =xe" )- [ e*dx = e~e" j=e-(e-l=1

=I=e-2.1=e-2 Vậy V= m(e - 2)

Bài 40 Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = \j2sin2y, x =0, y=0

II CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 Thể tích khối chóp cụt có chiểu cao là 6(cm), diện tích đáy nhỏ là ð(cm?) và

diện tích đáy lớn là 20(em?) có giá trị là:

(A) 35 V2 (cm); (B) 70 (cm’);

(C) 402 (em); (Đ) 80 (cm)

2 Thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0, x = 3 và thiết diện của

vật thể bị cất bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0

<x <3) là một hình vuông cạnh x” bằng:

(A) 10; (B) =, (©) 22; œ 249 10 `

3 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đổ

thị hàm số y = vsin x (0 <x $7) va truc hoanh khi quay quanh trục Ox là:

(A) 2a; ST; ©, wy 2

4 Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y= V1-x? và đường thẳng y = 0 quanh trục Ox là:

ð Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đổ thị hàm số y = Vx , đường thẳng y = 1 và

trục tung Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A quanh trục tung là:

Câu 1 2 3 4 5 Đápán | Œ) | @) | A | © | C

186

cAU HOI VA BAI TAP ON TAP CHUGONG III

Bài 41 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

vi vậy fx ? sin| in| x? x? +1|= |~sinudu + [gsin lu = =~cosu + = —— cos| x? +1 |+ 3° + 3 x

Chú ý: ta có thể tính nguyên hàm này theo cách không đưa ra biến u như

> Jx?erdx = xe" - fetdx = x.e* - e*

=> Jx?.e% dx = x?.e% — 2(x.e" — e*) + ¢ = e%(x? — 2x + 2) +

Bài 42 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Giải Theo định nghĩa nguyên hàm thì f{x) là một nguyên hàm của hàm

Từ bảng biến thiên ta thấy y lớn nhất bang 2 = khix=1

Vậy để tích phân I có giá trị lớn nhất khi b = Sỹ

Bài 46 Cho biết [ f(x)dx =~1; [ f@)dx =5; [ g(x)dx = 4 Hãy tìm:

1

b-a

trị trung binh cia ham sé f(x) trén [a; b] va duge ky hiéu m(f) Chung minh

rằng tồn tại điểm c e (a; b) sao cho m(Ð = fic)

Giải

Bài 47 Cho hàm số fx) liên tục trên [a; b] Tỉ số [£60 duge goi la gid

m(f) = es f(x)dx _—

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm f{x) = F(x) = f(x) => F(x) liên tục trên

{a; b], có đạo hàm trên (a; b) và thỏa mãn Ÿre = F(b) - F(a)

b-a

Theo định lý Lagrăng thì 3 c e (a; b) sao cho ae = F'(c)

Vì Fe) = flc) > 3c € (a; b) dé m(f) = fc) (dpem)

Bài 48 Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 (s) chuyển động thẳng với

vận tốc v(t) = t(5 - t) (m⁄s) Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó

L= [t6 - tật = [et - tat 5 “I 3g” 0m

Bài 49 Một chất điểm A từ trạng thái nghỉ chuyển động với vận tốc nhanh dân đều 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6m/⁄s Từ thời điểm đó nó chuyển động đều Một chất điểm B khác xuất phát từ cùng vị trí với A nhưng chậm hơn nó 12 giây với vận tốc nhanh dân đều và đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát) Tìm vận tốc của B tại thời điểm đó

Giải

Từ công thức v, = vạ + at ta có:

Gia tốc trong 8 giây đầu của chất điểm A là:

` Trong 8 giây đầu này, chất điểm A chuyển động nhanh dân với vận tốc

2/8

v(t) = 34 vậy nó đi được quãng đường là (Grae = i+ Âu 24 (m)

8au 12 giây tiếp theo (khi mà bị B đuổi kịp), A đi được thêm 6.12 = 72 mét Như vậy, khi bị B đuổi kịp, A và B đi được quãng đường là: 24 + 72 = 96 (m)

Từ công thức S = S, + pat? suy ra gia tốc của chất điểm B là:

190

b) Tung độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình:

=-(¥° 5 49" yay I? (2249, ay) (92 49" gy ||* 2 Ue 288 3 aya 45 3 a (5 3 1 15

Chú ý: * Ta có thể làm theo cách khác như sau mà không cần lập bảng xét dấu:

Vì hai đường đã cho cắt nhau tại 4 điểm có tung độ lần lượt là ffs +1; 1

V8 nên trên mỗi khoảng (— V8; ~1); (-1; 1); (1; v3) thì biểu thức y'—4y?+3

giữ nguyên một dấu vậy:

lạ

S= (iby -4y? +8|dy = Ife" ~4y? +84y|+|[_ (y* -4y? +3)dy| +

{Poot —ay* + aay = |-28 án -l-3 KH a

* Ta cũng có thể dựa vào tính m xứng qua = của rl hai đường cong để tính gọn hơn

s=2[ ly ~4y? + 3y = 2| [ ơ* -4y? +8)dy|

4/328

oe a3 _ 28) _ 112-243

Bài 52 Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:

a) parabol y = x? - 2x + 2, tiếp tuyến với nó tại điểm M(3; 5) và trục tung;

b) parabol y = -x? + 4x - 3 và các tiếp tuyến của nó tại các điểm A(0; -3)

Tiếp tuyến tại A là: y = 4x - 3

Tiếp tuyến tại B là: y = =2x + 6

Hai tiếp tuyến này cắt nhau

tại điểm có hoành độ là nghiệm

rex

Vậy thể tích cần tìm là; V = (=- _ðn x'|? =4n

875

Bài ð4 Xét hình giới hạn bởi đường hyperbol y = 2 và các đường thẳng y = 1;

y =4; x = 0 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình đó

[0 sxs j) và hai trục tọa độ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi

quay A quanh trục hoành

Giải

Ve 1 (eos x)*dx = x [cos xdx = nsin x

Bai ð6 Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình x(y +

1) = 2 và các đường thẳng x = 0, y = 0, y = 3 Tính thể tích khối tròn xoay

tạo được khi A quay quanh trục tung

Bài ð7 Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình

x- y? =0 và các đường thẳng y = 2, x = 0 Tính thể tích khối tròn xoay tạo

Thể tích khối tròn xoay tạo được bằng

thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay

miễn chữ nhật OMNP quanh Ox trừ đi thể

khối tròn xoay tạo thành kki quay mién tam giác cong ONP quanh Ox

194

Ve xÍ ty?) ly nfy ly "eI, ?#dy = mÍ y'dy = | = 5

Bai ð8 Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình y =

ix

x?e? và các đường thẳng x = 1, x = 2, y = 0 Tính thể tích khối tròn xoay

tạo thành khi quay A quanh trục hoành

y?=x°©œy= tx? cex= Yy?

a) Ta thấy đường cong yŸ = xỶ

có 2 nhánh đối xứng qua Ox Vậy

khi quay quanh trục hoành ta có

BAI TAP TRAC NGHIEM KHACH QUAN

Trong mỗi bài tập dưới đây, hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng

định đã cho (trong các khẳng định đó, chỉ có một khẳng định đúng)

=lne Giá trị của c là:

Bai 61 Gié tri cia [2 e*dx la:

(A) e'; (B) e* - 1; (C) 4e!; (D) 3e* - 1

Bài 68 Giá trị của [) x*(x +1)"dx la:

Bài 64 Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn

bởi hai đường thẳng y = 8x, y = x va dé thi ham sé y = xỶ là:

(A) 12; (B) 15,75; (C) 6,75; (D) 4

Bai 65 Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn

bởi đường thẳng y = 2x và đồ thị hàm số y = x’ la:

số không phụ thuộc vào giá trị của a và b Khi đó a và b thỏa điều kiện sau: (A) b* = 2a°, (B) b® =2a°,; (C) b® = 2a°; (D) b* = 2a”

Vậy khẳng định đúng là (D)

x=0

x= +2

Với góc nhọn phần tư thứ nhất ta có x > 0 nên loai x = -2

=>S = fie ~4x|dx = [xe ~4)|dx = [xe ~4)]dx