Các phương pháp giải bài tập giải tích 12: Phần 2 (Bản năm 2010)

Phần 2 tài liệu Giải bài tập giải tích 12 do NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ấn hành giới thiệu tới người đọc các kiến thức căn bản, phương pháp giải các bài tập và một số bài tập trắc nghiệm nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng, số phức. Mời các bạn cùng tham khảo.

NGUYEN HAM - TICH PHAN VA UNG DUNG

$1 NGUYEN HAM

A KIEN THUC CAN BAN

I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu Ff{x) = Í(x) với mọi x e K

Định lí 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + € cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K

Định lí 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì moi nguyên hàm của f(x) tren K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đổi biến số

Jf(u(x))w(x) dx = F(u(x)) + C

Hệ quả: [f(ax + b)dx : F(ax + b) + C (vdia z0)

2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

ju(x)v'(x)dx = u(x)v(x) Jư(x)v(x)dx

hay Judv = UV - [du

B PHUONG PHAP GIAI BAI TAP

b) fix) = (?) —0-» [f(x)dx= Mile diế”” = 2 _+ = a me!

e

GBT GIẢI TỊCH 12

c) [xsin (2x + 1)dx d) fa -x)cos x¢x

u = In(1 +x) Dat

Suy ra [(x+ e*dx = (x + l)e* - Íe*dx = xe" + C

Vậy fle ae + 2x — 1)e* — 2xe* + C = (x? - 1)e*+ C

du = dx

=X

c) Dat i dv = sin(2x + 1)dx = v= F Hườa +1) ~1

[xsin (2x +1)dx = > cos(2x +1) + 5 feos (2x + 1)dx

= —a cos(2x +1)+ + sin(2x +41)+C

=>

dv = cosxdx v = sinx

d) Dat’

Ja ~ x)cosxdx = (1 — x)sinx + fsin xdx = (1 — x)siax —cosx+ C

C BAI TAP LAM THEM

2 Tính các nguyên hàm các hàm số sau:

3 Bang cach bién doi lugng ide hay tinh:

§2 TICH PHAN

A KIEN THUC CAN BAN

1 Tich phan va tinh chat

2 Phương pháp tính tích phân

a) Phương pháp đổi biến số

Định li 1: Cho ham sé f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Giá sử hàm số

x = 0(†) có đạo hàm liên tục trên đoạn (a; ð] sao cho y(«) = a, ~(B) = b

và a < o(t) <b với i te [a: 0Ì Khi đó:

In 2 2x+l In 2

§3 UNG DUNG CUA TICH PHAN TRONG HINH HOC

A KIEN THUC CAN BAN

1 Dién tich hinh thang cong

Cho f(x) liên tực trên [a; b]; diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

b

y =f(x), y = 0, x = a, x = b tính theo công thức: S = [t(x)ax

a

2 Diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C,) và (C;) có phương trình

y = f;(%), y = fa(x) và các đường thang x = a; x = b (voi f,(x) < f;(x) Vx c {a; b]

b

có diện tích: S = { tp (x) - f,(x)]dx

a

3 Thé tich hinh xoay tron

Thể tích hình xoay tròn do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x);

trục Ox, các đường thẳng x = a; x = b quay quanh Ox là:

i) V= x J[f(x) Ï dx;

a

b

ii) 09 > g(x) thi V = x [[f?(x) - gỂ (x) Jax

'B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f;(x), y = fạ(x), x = a, x = b là:

S= J#(«)-5(x)dx (1)

Để bỏ giá trị tuyệt đối trong (1) ta thực hiện một trong hai cách:

:Cách 1: Xét dấu f(x) — f;(x) trên [a; b]

Giải phương trình: f;(x) - fa(x) = 0 trên đoạn [a; b] Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c < d) Khi đó, f;(x) — fa(x) không đổi dấu trên các đoạt [a; c], fc; đ], {d; b] Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn [a; c], ta có

Parabol y = 2 chia hình tròn có tam tai géc toa dd, ban kinh 2V¥2

thành hai phần Tìm tỉ số diện tích của chúng

Goi S, 1a diện tích giới hạn bởi (C) va

OM = Ro Osa: wok -01 Gọi V là khôi tròn xoay thủ được khi quay

Phuong trinh dugng thang OM: y = (tana).x

C BAI TAP LAM THEM

1 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

ayx=0,x=1l,y =0,y = 5x! + 3x? + 3; bby=x’+1,x+y=3;

cearaiatricn12 77

- Hướng dẫn: V = x [(cos* x+sin" x)

78

y=0;y= Veos°x + sin®x ; x = 0; x= 5

j 5n?

Đáp sé: V = — e 16

Gọi miễn được giới hạn bởi các đường: y = 0 và y = 2x - x là D Tíah thé

tích vật thể được tạo thành do ta quay D

ˆ

ON TAP CHUONG III

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

nx * n

Suy ra fx sin xdx = -xcos x\, + feos xdx = 1+ sin X|, =7

gỗ Vậy [a+ sinay dx = + or

hai đường đã cho là

T ra loi: Dat u = Vx => u’ = x => dx = 2udu

Jor qe dee J#' m2 2udu = fen In 2du x

6 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = vx và Y = X quay xuin£ quanh

trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Trả lời:

' x? x? ‘ T4 V= xÍx-*)£~-x|[$-S] "` Chọn (D)

84 asroadiTicHr2

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết:

c) Phan thực của z thuộc khoảng (-1; 2)

d) Phan ảo của z thuộc đoạn [1; 3]

e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2; 2]

b) [zi < 1 <> x* + y* < 1 Tap hop diém 1a hình tròn kể cả bién tam O

ban kinh bang 1

c) va d) Tap hop diém 1a cac hinh sau:

1 Tập hợp điểm là đường tròn tâm O bán kính

b)x+y-3 + (2x — yi = 3x - 2y - (2y + L)i

2 Tính môdun của z biết:

3 Tim tap hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa |z| < 2 và phần ảo của z thuộc [—1; 1]

G8T GIẢI TícHt2 87

§2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC

A KIEN THUC CAN BAN

(a + bi) + (c + di) = (a+c)+(b+d)i (a + bi) — (c + di) = (a—c) + (b-d)i (a + bi)(c + di) = (ac — bd) + (ad + be)i

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

c)a+ PB = —-2i, a — B = 12i; d)œơ+B=19-2i;œ-B= 11+ 2

d) (-2 — 5i)4i = -8i - 20i? = 20 - 8i

Tinh i’, i*, i> Néu cach tinh i" véi n 1a một số tự nhiên tùy ý

* Néur = 2 thi i® = i? =-1 *Néur=3thi? =i? = -i

88 osroii rícH2

.„

đidải

Ap dung các hằng dang thức đã biết

a)(2+3i)/2= 4+ 12i + (i)” = =5 + 19i

A KIEN THUC CAN BAN

a+bi (a+bi)(c-di) ac+bd „ Ðec- ad,

b) (1 + 3idz — (2 + 5i) = (2 + i)z <> (1 + Bila — (2 + ie = 2 + Bi

§4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

A KIEN THUC CAN BAN

1 Căn bac hai của số thực a < 0 là + ¡ (la|

2 Phương trình bậc hai với hệ số thực ax” + bx +c =0 vớia,b,cc3,az0

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1 Tìin các cần bậc hai phức của các số sau: ~7; -8; -12; -20; -121

Gjidi

Căn bậc hai phức của các số: -7; =8; -12; -20; -121 lan luot 1a:

tì V7 ; +9i V2; +9¡ V3; +2i V5; 411i

2 Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) -32° + 2z-1=0; b) 727 + 3824+2=0; ©)5z?—~ 7z+ 11=0,

Gjiai a) -32° + 22-1 =0¢9 327-22+1=0

1+i/2

Phương trình có hai nghiệm phức z¡¿ = — TS”

c8r GIẢI TÍcH12 9Ì

Phuong trinh c6é hai nghiém phic 2,» = a tt

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a

-b+ J Nếu A < 0 phương trình có hai nghiém phic z, 2 = - 5

2 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

c) 2=x + yi vGi x’ + y* < 4 và -l <x< 1 là các số phúc có phần thực thuộc đoạn [—1; 1] và môdun không vượt quá 2

y=2-x

b)2x+y_— Ì=(x+ 2y - 5)I <2 ate <cox=-ly=3

x+2y-5=0 Chứng tỏ rằng với moi số phức z, ta luôn có phần thuc va phin do cua z không vượt quá môdun của nó

Gjidi

Giả sử z = a + bì khi đó |z| = va? + bề

Ta có lzÌ = va? +b? > va? = laÌ > a và

lzi = va? +b° > Vb? = Ibi > b Tir dé suy ra dpem

9 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

7 +47

Vậy phương trình có hai nghiệm z¡; = —g—

b) z' - 8= 0 Dat Z = z*, ta được phương trình ZŠ - 8 = 0

Vậy z¡, z¿ là các nghiệm của phương trình zŸ” - 3z + 4= 0;

A=9- 16 =- 7 Vay z¡ = 34 ivT Z¿= ——————

BAI TAP TRAC NGHIEM

1 Số nào trong các số sau là số thực?

Trả lời: (2 + 2i)? = 4 + 4i? + 8ï = 8i Chọn (C)

3 Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?

(A) i'977 = -1; (B) i294 =i; (C),i%=1; (D).it%=- Trd loi: 2345 = 586.4 + 1 => i? = i.(i*)°** = i Chon (B)

4 Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?

(A) (1 + i)® = -16 (B) (1 + i)® = 16i

(C) (1 + i)® = 16 (D) (1 + i)® = -16i

Trả lời: (1 + i)? = 1+ i? + 2i = 2i; (1 + i)’ = (2i)” = -4

=> (1+ i)* =(-4)* = 16 Chon (C)

5 Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của m6, trmg

các kết luận sau, kết luận nào là đúng?

(A) z c R; (B).|z| = 1; (C) z là một số ảo; (D).|zÌ = —1

Trả lời: # « È = 5x 1 = Íz|?= 1= lz| = 1 Chọn (B)

Zz

6 Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai?

(A) Môđun của số phức z là một số thực

(B) Môđun của số phức z là một số phức

(C) Môđun của số phức z là một số thực dương

(D) Môdun của số phức z là một số thực không âm

Trd loi: z = 0 thi |z| = 0 Chon (C)

9G osroili rícH tô

ÔN TẬP CUỐI NĂM

1 Cho hàm số f(x) = ax” - 2(a + 1)x +a + 2(a z0)

a) Chứng tỏ rằng phương trinh f(x) = 0 luôn có nghiệm thực Tính các nghiệm đó

b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình f(x) = 0 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thi cua S va P theo a

S'=- z < 0, Va 0 nén ham sé nghich biến trên từng khoảng (—œ; 0)

Tiệm cận đứng a = 0; tiệm cận ngang S = 2 8

Giao của (C¡):Š =2 + 2 véi Oa:S=O>a=-l

a

Đô thị (C¡): S = 2 + 2 là đường nét liền

a Tịnh tiến dé thị (C;) song song với trục

tung xuống dưới 1 đơn vị ta được đô thị

(C¿):Pz1+ £ (nét đứt)

2 Cho hàm số y = ~ 2 x” + (a — 1)x? + (a + 3)x — 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 0,

X=-l,x= 1

ostqiditicn12 OT

+

trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét

a) Tinh v(2), a(2), biét v(t), a(t) lan lượt là vận tốc, gia tốc của chuyển động đã cho

b) Tìm thời điểm t mà tại đó vận tốc bằng 0

Giiai a) Ta có vận tốc: v(t) = s(t) = tÌ ~ 3t? + t— 3, với t = 2 thì v(2) = —5 (m/s)

*- Tại A(0; 1) ta có y0) = 0

Phương trình tiếp ‘wen tại A:y-1=0«€Ầy=1

* Tai B(—=; — 1) ta có y(->) = — a"

Phương trình tiếp tuyến tại B: y - 1 = -*ự- -LJesy Some Ễ

* Tại CC:—~; 1) ta có y'——~- =— 1

trình tiế ến tại C: y— 1=—-—(Xx+ -—)©y=—-—%X+ =

6 Cho hàm số y= —X=2_,

x+m-]l

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của dé thị (C) tại điểm M có hoinlh độ

az-l

100 asrakrcw+z

e) Tính khoảng cách từ điểm I(-1; 1) đến tiếp tuyến d Xác định a để

Giao điểm với trục Ox tai (2; 0);

Giao điểm với trục Oy tại (0; -2);

a-2

«» (a + 1)Ÿy = 3(x-a) + (a - 2)(a + 1) /

<> 3x - (a+ 1)*y + a? - 4a-2=0

b) Tìm các giao điểm của (C) và đổ thị của hàm số y = xỶ + 1 Viết

phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm

c) Tính thể tích vật thể trịn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới

hạn bởi đơ thị (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh

trục Ox

òr GiẢiTÍcH12 101

đái

a) TXD: D=R \ (2]

y'= a x >0, Vx #2 Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận ngang y = 0

©) Ñx) = xe" trên nửa khoảng [0; +z)

d) f(x) = 2sinx + sin2x trên đoạn [0:3 3]

102 ssroiả ricn 12

f(x) = 2xInx + x = x(2Inx + 1) > 0 Vx e€ [15 e]

Do do: maxf(x) = fle) = e’, minf(x) = fll) =0

Gjidi

t«=1 a) Đặt t = 13" (t > 0) ta có phương trình 13t - t - 12 = 0 © t._12 (lai)

130 t= 1© 13”= 1‹>x=0 Vậy S = (0)

b) Chia hai vế phương trình cho 6* ta được

-1 1 +0

Pro

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = G ñ U [2; 400)

11 Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:

dv = —-dx v = -cotx sin’x

12 Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:

Do đó j ủy COS2X ee foutdu = 249) = 4v2 3 3

18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a)y =x? +1,x=-1,x = 2 va truc hoanh

b) y = Inx, x = 1 x=e và trục hoành

14

15

1 Đặt u = Inx, dv = dx => du = ox ,VE=X

Tìm thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới han

bởi các đường y = 2x” và y = x” xung quanh trục Ox

c) Phuong trinh da cho c6 A’ = 1-13 = 12)? nénz=1+2V3i

d) Đặt t = z”, ta có phương trình bậc hai t? - t - 6 = 0 với hai nghiệm là

t=-2,t=3

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là 2,2 = + v3, Z34=tv2i

esraiditicn12 109

16 Trên mặt phẳng tọa độ, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phưíc z th›a mãn bất đẳng thức:

a) |zÌ < 9

b)lz—i| <1

e) |z— 1—i| <1

Giidi

Giả sử số phức có dạng: z = x + yi; x, y e R;i?=-—1

a) Tacó lzÌ <2 \x°+y? <2©x?+y?<4

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z có môđun nhỏ hơn 2 hà hhìth tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính 2 (không kể biên)

b) Ta có z — ¡ = X + (y — 1)¡ nên

lz—il<1 @ \jx?+(y-1 <1

©x?+(y- 1)<1

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đã cho là hình tròn có tâm tại

điểm I(0; 1), bán kính 1 (kể cả biên)

©) Ta có z— l1—-i=(x- l)+(y - l)¡ nên

lz—1—il <1 yÿ(x-1 +(y-1# <1

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z da cho là hình tròn có tâm ai

điểm I(1; 1), bán kính 1 (không kể biên)

110 asreiAi ren r2

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 0 2Ÿ 5 CỤC TRỊ CỦA HÀM SỐ 22222222222002 2002222 nàn 2x ya 10 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 16 ĐƯỜNG TIỆM CẬN 2 22222 222 022cc nh nh nan 22a nu xe 20 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 22

ÔN TẬP CHƯƠNG I 0 0 2n n2 22tr nàn 33 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 0 0Q n1 HH1 n2 re 39 HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

LÙY THỪA Q20 nh ngang HH HH ngan H Hà ng nan no tre 41

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 57

ỒN TẬP CHƯƠNG II 2.2 020 nhe 59 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 2.0200 200020nn nh H2 2g na sa 62 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

NGUYÊN HÀM 0n HH ng HH tu n2 n2 22 HH n2 2tr rea 63

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 0 nu 73

ÔN TẬP CHƯƠNG lll TH t1 0121112 rxxa 78 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Q2 T21 H2 ng 2 1n at ngu 83

SỐ PHỨC

SỐ PHÚỨC 1 ng ng n1 n2 ng 2e CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC - 1n HH 021211110 da

PHÉP CHIA SỐ PHỨC 2022110112111 11 211021222 ye

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

ỒN TẬP CHƯƠNG IV Q0 0000 n1 HH 11121212 re BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Q TH nàn g2 n2 tre

ÔN TẬP CUỐI NĂM

ceraidiricn12 111