Các phương pháp giải bài tập giải tích 12: Phần 1

Phần 1 tài liệu Giải bài tập giải tích 12 giới thiệu tới người đọc các kiến thức căn bản, phương pháp giải các bài tập và một số bài tập trắc nghiệm phần: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit. Mời các bạn cùng tham khảo.

NGUYEN VU THANH - TRAN MINH CHIEN

GIAI BAI TAP

Ha NOI

NGUYEN VO THANH - TRAN MINH CHIEN

Gidi bai tap

Gir Tica 12

DAI HQC QUOC GIA HA NOI Cag ty}seun hoahéng

ca ná¿ đu

Quyển sách GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 này

được biên soạn theo chương trình sách giáo khoa

hiện hành, nhằm giúp các em có tài liệu tham khảo để ôn tập, củng cố kiến thức, đồng thời vận

dung để làm những bài tap có dạng tương tự

hoặc nâng cao đạt kết quả lối

Quý thầy cô và quý phụ huynh có thể xem

quyển sách này như tài liệu tham khảo thêm

Chúng tôi mong đón nhận ý kiến xây dựng từ quý độc giả

TÁC GIÁ đ8r GIẢI TỊCH (2 3

Chuang, I

UNG DUNG DAO HAM DE KHAO SAT

VA VE DO THI CUA HAM SO

§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CUA HAM SO

A KIEN THUC CAN BAN

| TINH DON DIEU CUA HAM SO

1 Định nghĩa: K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

a) Néu f'(x) > 0 với moi x thuộc K thi ham sé f(x) đồng biến trên K,

b) Nếu f{x) < 0 với:mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

II QUY TẮC XÉT TÍNH DON BIỆU CỦA HAM SO

†1 Tìm tập xác định

2 Tính dao ham f'(x) Tìm các diém x; (i = 1, 2, , n) mà tại đó đạo hàm

bằng 0 hoặc không xác định

3 Sắp xếp các điểm x; theo thu tu tng dan va lap bảng biến thiên

4 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

c) y= x! — 2x? 43 ay =—x? +x? — 5

GãT GIẢI TÍCH ta 5

Bang bién thién:

Bang bién thién:

asraiditicn12 7

Feo Gag) SORES

Bang bién thién:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (~œ; -3), (-3; 3), (3; +œ)

8 Chứng minh rằng hàm số y = 5 đồng biến trên khoảng (-1; 1);

(—00; -1) va (1; +00)

4 Chứng minh rằng hàm số y = v2x-x” đồng biến trên khoảng (0; 1) va

nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Gjidi

y xác định khi và chỉ khi 2x - x” >0 0<x<2

8 apradrricn 12

gd) = cos*x 1 — 1= X” = tan”x ~ x”= (tanx - x)(tanx + x) > 0, Vx € (0; a

Do đó g đồng biến trên [0; 3 )

Với 0< x< 2 ta c6 g(x) > g(0)= 0 = tanx > x + zivxe (0; 2)

c BAI TAP LAM THEM

1 Xét tính đơn điệu của hàm số:

3

a)y Lis =— +x" - — - 3x; 2 i ad b)y= ly —————; _ NT œy= a

2 Chitng ruinh ham sé y = mm tăng trên từng khoảng xác định x+

với Imọi m

SRT GIẢI TícH tz 9

a) tanx > sinx,0<x< — b)cosx> 1- 3 0<x< 5

§2 CUC TRI CUA HAM SỐ

KIẾN THUC CAN BAN

KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có

thể a là —s; b là +) và điểm xạ e (2; b)

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(xo) vdi mọi x e (Xo — Ay Xo + h và

X #Xq thi ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại xo

b) Nếu tổn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(xạ) với mọi x e (xo — hị xạ + h và

x # xọ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại Xo

ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

Định lí 1: Giả sử hàm số y = f() liên tục trên K = (xạ — h; xạ + h) và có đạo

hàm trên K hoặc trên K\{x]}, với h > 0

a) Nếu f (xo) > 0 trên khoảng (xo ~ h; Xo) và †“(x) < 0 trên khoảng (Xo; Xo + h) thì xạ là một điểm cực đại của hàm số f(x)

b) Nếu f“(x) < 0 trên khoảng (xo — h; Xo) và f'(x) > 0 trên khoảng (Xo; Xo +t) thi

xo là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

(Xo— h; xạ + h) với h >0

Khi đó: a) Néu f '(xo) = 0; f (xo) > 0 thì xọ là điểm cực tiểu;

b) Nếu f "(x;) = 0; f (Xo) < 0 thì xọ là điểm cực đại

4 Dựa vào dấu của f “(x;) suy ra tính chất cực trị của điểm x¡

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 và ycp = 71

Hàm số đạt cực tiểu tai x = 2 va yor = —54

b) Tập xác định: D = R

y'= 4#) + 4x = 4x(x? + 1); y' = 0 x = 0 (y = -8) Bang bién thién:

Hàm số có điểm cực tiểu tại x = 0 và ycr = -3

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 » Yop = 208 5 3125

Hàm số đạt cực tiểu tai x = 1, yor = 0

e) Vix?—-x+1>0, Vk © R nén tap xdc dinh: D=R

Hàm số đạt cực tiểu tai x = „ Yer = =

2 Ap dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

12 car auditicn12

y”(0) = =4 < 0, hàm số đạt cực đại tai x = 0; yep =

#71) =8 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm x = +1, yer = 0

Hàm số đạt cực đại tại các điểm x = s +kn,ke Z

* Với x = + kn taco: y"- 8 + km) = ~4sinC 2) = 2/8 >0

Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = - : +km,ke Z

e) Tập xác định: D = RB

y’ = C0SX - sinX; y' = 0 ¢ sinx = cosx

= tanx = =tanT cx= 2 + km ke Z

y" = —sinx ~ cosx

*- Với k = 2m (m € 2) ta e6: y"(F + 2mm) = -sin t ~ cost =-⁄2 <0 Hàm số đạt cực đại tại các điểm x = a + 2mm, m e Z

* Voik = 2m +1 (m © 2) ta có: y( +m + Ln) = sin? + cost =2 >0

Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = 7 +(2m+1)t;meZ

asta ricniz2 13

- d) Tap xdc dinh: D =

y= 6x - 8x°-2;y'=0ox=lex=tl

y" = 20x - 6x

y"(1) = 14 > 0 Do dé ham sé dat cue tiéu tai x = 1

y"(-1) = -14 < 0 Do dé ham sé dat cuc dai tai x = -1

3 Chứng minh hàm số y = vel không có đạo hàm tại x = 0 nhưng van dat

cực tiểu tại điểm đó

A' =mÊ+6 >0 Vm c R nên phương trình y' = 0 luôn có hai nghiệm phân

biệt và y' đổi đấu khi qua các nghiệm đó Do đó hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu

5 Tim a và b để các cực trị của hàm số y = 3 ax’ + 2ax? — 9x + b déu la

những số dương và Xọ = -2 là điểm cực đại

“¡ải

* Với a = 0 thì hàm số y = -9x + b không có cực trị

5 1 5 9

Bang bién thién:

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) < M

với mọi x thuộc D và tổn tại xạ e D sao cho f(xạ) = M

TỔ saraidrricrtz

Ki hiệu M = maxf(x)

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu

f(x) >m với mọi x thuộc D và tồn tại xạ e D sao cho f(xạ) =

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1 Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Ta cd: y(-4) = -41; y(4) = 15; y(-1) = 40; y(3) = 8

Vay: max y=40; min y=-41

Ta có: y(0) = 3ð; y(5) = 40; y(3) = 8

Vậy: maxy = 40; miny =8

105] 108]

x=0

3 b) y'= 4x) ~ 6x = 2X(2x” ~ 3);y' =0 ©œ |x= 5:

A HA

a8r GIẢI vịcH tr 17

* V6i D = (2; 5) thix=0;x= +f đều không thuộc D nên: y(2) = 6; y(5) = 559

Vay miny = 6; maxy = 552

x-2 , 1

ce) y= ser⁄# = Rep >0; Vx 41

* Voi D = (2; 4]: y(2) = 0; y(4) = 2 Vay miny =0; maxy = 2

3” 14 (2:4) 3

ì 5 4 3 5 4

* V6i D = [-3; -2]: y(-3) = —; y(-2) = = Vay m =~; max y=

, L Hoyt 4 yee) 3 sự 1 ai 4 pce 3

@) Deb liy= 5 <0, vee F411

_*

y(-1) = 3; y(1) = 1 Vậy min y =1; maxy =3

Vậy khi hình chữ nhật là hình vuông thì diện tích lớn nhất

3 Trong tất cả các hình chữ nhật cùng diện tích 48 mổ, hãy xác định hình

l8 asraidiricn 12

4 Tính giá trị lớn nhất của các hàm số:

b) y = 4x) - 3X,

5 Tinh giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a)y = Ixl; b)y=x+ 5 (x>0)

Gidi

a) Tap xác định: D = R

Ta có |x| > 0 với Vx e R, dấu bằng xảy ra khi x = 0 Vay miny = 0

asradiricn 12 19

Hướng dẫn: Đặt t = log”x (t > 0) Tim miny trén [0; +2)

3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau đây trong đoạn đã

5 Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp hình tròn bán kính R

thì hình vuông là hình có chu vi lớn nhất và có diện tích lớn nhất

6 Trong các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R, xác định hình nón có

thể tích lớn nhất

§4 ĐƯỜNG TIỆM CAN

A KIẾN THỨC CĂN BẢN

| ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn

Đường thẳng y = yọ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

im Íx)=yg hoặc vn fX)=Yo

II ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

Đường thẳng x = xo là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

20 asredirricnts

lim f(x) = + hoặc lim f(x) = -z hoặc

lim f(x) =-% hoặc lim f(x) = +x

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1 Tìm các tiệm cận của dé thi hàm số

a) Vi lim " x 7102 —X = ~1 nên đường thẳng y = —1 là tiệm cận ngang của đồ thị (C)

lim —— = 40; lim -Š— = ~ nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận

đứng của (C)

c) lim =—— = = nény= = là tiệm cận ngan TT -

d) lim y = +œ nên x = 1 là tiệm cận đứng

lim y = 1 nên y = 1 là tiệm cận ngang

Xb :

c BAI TAP LAM THEM

1 Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

§5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN

VÀ VE DO THI CUA HAM SỐ

A KIEN THỨC CĂN BẢN

I SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

1 Tìm tập xác định của hàm số

2 Xét chiều biến thiên của hàm số

a) Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)

b) Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàm của hàm số,

22 aaradiricnr:

xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên va tim cực trị của hàm số (nếu có), điển các kết quả vào bảng

3 Vẽ đồ thị của hàm số

Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)

_ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của

đồ thị với các trục tọa độ (Trong trưởng hợp đồ thị không cắt các trục toa độ hoặc việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp thì bỏ qua phần nay)

y

y Phuong trinh

Phuong trinh

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Cho phương trình fx, m) = 0 (1) (m là tham số)

Đưa (1) về dạng: fx) =m (2)

- 5 dé thi (C)

Xét ddu ham so (Cc); {¥1 = f00 có đổ thi (C y„ạ =m có đồ thị d

d là đường thẳng song song trục tung tại tung độ y = m

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (e) và d

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị của các hàm số bậc ba sau:

Hàm số luôn đồng biến và không có cực trị

lim y =+=, lim y = —, đồ thị hàm số không có tiệm cận 0 x

xeytee xe» cơn

biến trên tập xác định và không có cực trị

lim y= -=, lim y= +, dé thi ham sé

2 Khao sat su bién thién va vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

x=2 (y=15)

lim y =-0

xete Bảng biến thiên va dé thi

x | -« -1 0 1 +0 = y’ - 0 + 0 - O + x

lim y = 1 nên y = 1 là tiệm cận ngang

Điểm dac biét: x = 0 > y = -3

Bang bién thién va dé thi

Diém dac biét: x =O > y = “7

Bang bién thién va dé thi oO

x=2 (y=l) lim y=~-z; lim y= +

5 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị (C) của hàm số y = -xŸ + 3x + 1

b) Dua vao dé thi (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng

biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị qua A(-1; v2)

Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

mì m

Cy

Suy ra x = me là tiệm cận đứng của đồ thị

Tiệm cận đứng qua A(-1; V2 ) khi - = =-lem=2

- 1 lo

7 Cho ham sé y = =x'+ yea 2 =x? +m

a) Với giá trị nào của tham số m, đỏ thị của hàm số đi qua điểm (~1; 1}? ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng fs

Phuong trinh tiép tuyén qua A 1a y — = y(Xx ~ 1l)e> y = 2x - :

Phương trình tiếp tuyến qua B là y - = y(1)(x + 1)«<»y =-2Xx— — l

£

b) (Ca) cắt trục hoành tại x = -2 ~-8 + 4(m +3) + 1=0c<+m= a

9 Cho ham sé y = (mi Ux 2m x (m là tham số) có đồ thị là G

a) Xác định m để đường cong (G) di qua điểm (0; ~1)

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị của hàm số với m tìm được

©) Viết phương trình tiếp tuyến của đổ thị trên tại giao điểm của nó với

"= <0, vxal

y E by < x

Tiệm cận đứng: x = 1; tiệm cận ngang y = 1 y

Bang bién thién va dé thi

a) Chứng minh rằng với mọi m, dé thị hàm số (1) luôn có cực trị

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị (C) của (1) khi m = 0

©) Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt

3 Cho hàm số y = xÍ - mx” + m ~ 5 (2)

a) Xác định m để đồ thị (C„) của hàm số (2) có ba cực trị

b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C;) hàm số ứng với m = 2

a)y=x”-8x—1; b)y=

32 cerourricn 12

c) Viét phuong trình tiếp tuyến của (Cz) song song với đường thẳng y=24x- 5

2x+1

x+1

4 Cho hàm số y =

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị hàm số

b) Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất

5 Cho ham sé y = 2x” + 2mx + m ~ 1 có đổ thị là (C„), m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

b) Xác định m để hàm số: ¡) Đồng biến trên khoảng (~1; +=)

ii) Có cực trị trên khoảng (~1; +œ)

©) Chứng minh rằng (C„) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với

Bảng biến thiên và đô thị

2

Sar GIẢI rieHz 33

Đồ thị đi qua O(0; 0), Ẵ1; 0)

i) Ham sé déng bién trén khoang (-1, +0) khi và chỉ khi — <-lom22

ii) Hàm số có cực trị trén khodng (-1; +«) khi va chi khi ~1 < — = om<2 c) Phuong trinh hoanh 46 giao diém ciia (C,,) véi true hoanh

2x? + 2mx +m-1=0

Ta có: Á=m°-2m+2=(m-1”+1>0,VmeR

Vay (Cm) luén cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt

6 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Ñx) = ~x” + 8x” + 9x + 9