Trong chương trình phổ thơng ta xét các dạng sau: Bài tốn 1.. Khi đĩ tích phân cần tính cĩ dạng A Bài 1... Suy ra P x là hằng số hay bậc nhất... Mẫu là đa thức có bậc lớn hơn 4... DẠNG
Trang 1
§ 5 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CƠ BẢN TÍCH PHÂN TỰ LUẬN ĐỦ CÁC DẠNG V CĨ B I TẬP TỰ LUYỆN PHÂN THEO B I HỌC TRONG SGK CẦN FILE WORD 200 TRANG – GIÁ 300K Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH ĐT: 0975120189 https://www.facebook.com/duckhanh0205 A Các dạng tốn……… … 00
Dạng 1 Tích phân hàm hữu tỷ………… ……… …… 00
Dạng 2 Tích phân hàm vơ tỷ……… ……… 00
Dạng 3 Tích phân hàm lượng giác….… ……… …… 00
Dạng 4 Tích phân hàm logarit…….……… ……… 00
Dạng 5 Tích phân hàm số mũ….……… ……… …… 00
Dạng 6 Tích phân chứa trị tuyệt đối… ……… ……… 00
Dạng 7 Tích phân chứa nhiều hàm số….……… …… 00
B Bài tập tương tự……… 00
Dạng 1 Tích phân hàm hữu tỷ………… ……… …… 00
Dạng 2 Tích phân hàm vơ tỷ……… ……… 00
Dạng 3 Tích phân hàm lượng giác….… ……… …… 00
Dạng 4 Tích phân hàm logarit…….……… ……… 00
Dạng 5 Tích phân hàm số mũ….……… ……… …… 00
Dạng 6 Tích phân chứa trị tuyệt đối… ……… ……… 00
Dạng 7 Tích phân chứa nhiều hàm số….……… …… 00
Trang 2A CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1 TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ
( )d
P x x
Q x
bậc của P x( ) nhỏ hơn bậc của Q x( ) Ngược lại ta lấy P x( ) chia cho Q x( ) Trong chương trình phổ thơng ta xét các dạng sau:
Bài tốn 1 Mẫu là nhị thức bậc nhất Q x( )=ax+b, (a≠ 0)
Suy ra P x( ) là hằng số
Khi đĩ tích phân cần tính cĩ dạng
A
Bài 1 Tính các tích phân sau:
a)
1
0
d 1
x
x
−
=
+
0
d 1
x x
x
=
+
Lời giải
2
x x
+ −
0
Vậy I = −2 3 ln 2
b) Ta cĩ
2
2
x
= + +
Do đĩ
2
x x
2 2
0
2
x
= + + + = +
Vậy I = +6 3 ln 3
Trang 3Bài toán 2 Mẫu là tam thức bậc hai ( ) 2 ( )
Q x =ax +bx+c a≠ Suy ra P x( ) là hằng số hay bậc nhất
0
ax +bx+ =c có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì phân tích
( )
Q x = x x +x x
0
ax +bx+ =c có nghiệp kép x0 thì
( ) ( )
( ) ( )2 0
Q x =a x x
2
b x
a
= −
▪ Nếu P x( ) là hằng số thì
0
−
▪ Nếu P x( ) là hàm bậc nhất thì
1
Ax B
a
● Trường hợp ax2+bx+ =c 0 vô nghiệm thì
( ) ( )
( ) ( )2
b
∆
= = − >
▪ Nếu P x( ) là hằng số thì
1
A
a
▪ Nếu P x( ) là hàm bậc nhất thì
2
+ + −
2
A ax b
x
a ax bx c
+
=
∫
Trang 4
( )2 2
1
d 2
Ab
+ − ∫ + +
Bài 2 Tính các tích phân sau:
a)
3
2
2
d 2
x
x x
+
=
+ −
1
2 0
d 1
x
x
=
−
Lời giải
a) Ta có
( )( )
2
=
Ta phân tích
( )( )
( )( )
( )( )
2
Vậy I =3 ln 5−4 ln 2
b) Ta có
( )( )
2
+ =
− =
Khi đó
I = + = +A
Bài 3 Tính các tích phân sau:
a)
2 0
d
x x
=
2 2
1
x x
x
=
−
Lời giải
Trang 5a) Ta có
3
x x
Phân tích
( )( )
2
Đồng nhất hai vế ta được A= −4, B=3
3
2 ln 2 5 3 ln 1 3 ln 2 2 ln 3 2 ln 5
Vậy 3 3 ln 2 2 ln 3 2 ln 5
4
b) Ta có
2
x
x x
2 2
A=∫ x + dx= x + x =
●
2
2 2
x
−
2
I = + =A B +
Bài 4 Tính các tích phân sau:
( )
2 1
2 0
d 1
x
x
=
+
( )
2 0
d 1
x
=
+
Lời giải
( )
( ) ( )
( )
2
1
x
x
+
1
0
5
1
x
= − + − + = −
Vậy 7 4 ln 2
2
Trang 6b) Ta có
( )
( )
( )
2
1 2
0
x
x
= + − + − = −
Vậy 9 6 ln 2
2
I = −
Bài 5 Tính các tích phân sau:
a)
2 0
d 4
x
=
+
2 1
d
x x
x x
=
Lời giải
a) Ta có
2
x
2
1 2
4
x
+
2
2 0 0
x
= + + = +
Tính
2 2
dx A
x
=
+
2 1 tan
dx= + t dt
Đổi cận:
2
4
= ⇒ =
= ⇒ =
4 2
0
t dt dt t A
t
π
π
+
+
8
I = + = +A π
b) Ta có
3
x
2
31
x
x x
+
3
2 1
1
x x
Trang 7Tính
( )
3
2 1
31
x
x
+
=
= +
= +
Đổi cận:
3
4
= ⇒ =
= ⇒ =
2 0
t
t
π
+
+
∫
0 0
2
2
π
π
π
2
I = − =A − π+
Bài toán 3 Mẫu là đa thức bậc ba ( ) 3 2 ( )
Q x =ax +bx + +cx d a≠
● Trường hợp ax3+bx2+ + =cx d 0 có ba nghiệm phân biệt x1, , x2 x3 thì
Q x =x x +x x +x x
kép x2 thì phân tích ( )
( )
( )
● Trường hợp ax3+bx2+ + =cx d 0 có nghiệm đơn duy nhất x0 thì phân
( )
( )
0 0
+
Bài 6 Tính các tích phân sau:
a)
3
2 2
1 d 1
x x
=
−
4 2 3
1 d 4
x
x x
+
=
−
Lời giải
a) Cách 1 Phương pháp hệ số bất định
Ta có
1
A= − B= C=
Do đó
3
2
∫
Trang 8ln ln 1 ln 1 3 5ln 2 3ln 3
2
x
Cách 2 Phương pháp ghép và tách (thêm bớt)
Ta có
2
1
1
−
Do đó
2
2
1
1
xdx
−
Tính
3 2
xdx A
x
=
−
1
2
dt= xdx⇒xdx= dt
= ⇒ =
= ⇒ =
Suy ra
3 3
dt
t
b) Ta có
4
x x
A= − B= C = −
Do đó
4
3
∫
4
3
ln 2 ln 3 ln 5
Vậy 1ln 2 1ln 3 1ln 5
Bài 7 Tính các tích phân sau:
a)
( )( )
2 2
d
=
2 2
d
=
Lời giải
a) Ta có
2
Đồng nhất hai vế ta được A=1, B= −2, C=3
Trang 9Do đó
( )2
I
3
2
x
= − − + − + = + −
Vậy 3 5 ln 2 2 ln 5
20
b) Ta có
2
A= B= − C =
Do đó
3
2
∫
3
2
3 ln 1 3 ln 1 7 ln 2 3 ln 3 2 ln 5
x
Vậy 7 ln 2 3 ln 3 2 ln 5
2
=
Bài 8 Tính các tích phân sau:
a)
4
d
x
+
=
3
d
x x
=
Lời giải
a) Ta có
( )( )( )
Do đó
5
4
∫
5
4
2 4 13 7 14
Vậy 2ln4 13ln7 14ln 2
b) Ta có
6
x
Trang 10Do đó ( ) 3 2 2
6
( )
3 3
3
x
Tính
( )
3 3
2
x
=
−
2
dt dx
t x
x t
=
= − ⇒ = +
= ⇒ =
= ⇒ =
3 3
= + + = − − = +
Vậy 20 24 ln 3 148
3
Bài toán 4 Mẫu là đa thức có bậc lớn hơn 4
Bài 9 Tính các tích phân sau:
a)
1
2 2
0
d
x I
=
1
0
d
x I
x x
=
Lời giải
a) Ta có
( ) ( )
=
Đồng nhất hai vế ta được
Do đó
I
1
0
= − + − + + + − + = − +
Trang 11Vậy 2 4 ln 2 2 ln 3.
3
b) Ta có
1
Đồng nhất hai vế ta được
0
0 0
1
2
A C
A C
B D
B D
+ =
Do đó
● Tính
1 2
dx A
x
=
+
1 tan
dx= + t dt
Đổi cận:
1
4
= ⇒ =
= ⇒ =
2
4
t
t
π
π
+
+
● Tính
1 2
dx B
x
=
+
3 1 tan
Đổi cận:
1
6
= ⇒ =
= ⇒ =
6 2
0
t
t
π
π
+
+
= − = −
Bài 10 Tính các tích phân sau:
a)
7 1
1
d 1
x
−
=
+
1007 2 1
d 1
x
x
=
+
Lời giải
a) Ta có
1 1
x x x
−
−
7
7
= ⇒ =
= ⇒ =
Trang 12Do đó
1
Vậy 9 ln 2 2 ln129
7
b) Ta có
3
2
1 1
1
x
x
2
dx
Đổi cận:
5 2
4
= ⇒ =
= ⇒ =
Do đó
5
2 2
5 5
2
4 4
I
Vậy
1006
2012.2 2012.5
Trang 13DẠNG 2 TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
Bài toán 1 Dạng ∫ R x( ,n f x( ),m f x( ) )dx
Phương pháp: Đặt t=k f x( ) với k là bội chung nhỏ nhất của m và n
Bài 1 Tính các tích phân sau:
a)
64
3 2
1
dx
I
=
+
0
3 1
d
x
x
−
=
Lời giải
6t dt=dx
= ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó
6 6
=∫ + =∫ + =∫ − + +
1
3
2
Vậy 3 6 ln 3
2
I = +
b) Đặt t=6 x+ ⇒ = +1 t6 x 1, suy ra 5
6t dt=dx
= − ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó
5
.6
1
0
0
199
6 6 70
t
= − + + − − + + + − +
∫
● Tính
1 2
t
t
=
+
2
du
du= tdt⇒ =tdt
= ⇒ =
= ⇒ =
1 1
du
u
Trang 14● Tính 2
0
1 1
t
=
+
1 tan
dt= + u du
Đổi cận:
1
4
= ⇒ =
= ⇒ =
4 2
0
u
u
π
π
+
+
Vậy 199 6 6 199 3 ln 2 3
Bài toán 2 Dạng thường gặp ∫ R f x( ( ),n f x( ) ) 'f ( )x xd
Phương pháp:
+ Đặt t=n f x( )
+ Đổi cận và suy ra tích phân theo biến t
Bài 2 Tính các tích phân sau:
a)
2
0
1d
I =∫ x x + x b)
0 3 1
1d
−
Lời giải
3
tdt= x dx⇒ tdt=x dx
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy
3
2
1 1
t
I = ∫ t dt= =
t= x+ ⇒ = +t x , suy ra
2 3
3
1
t dt dx
x t
= −
= − ⇒ =
= ⇒ =
1
0
9
t t
I = t − t t dt= t −t dt= − = −
Bài 3 Tính các tích phân sau:
0
I =∫ x+ x + x+ x + x+ x b)
1
0
4d
I =∫ x x + x
Lời giải
Trang 15a) Đặt 2 2 2
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy
5
2
t
I = t t tdt= t dt= = −
b) Đặt t= x2+ ⇒ =4 t2 x2+ , suy ra 4 2 2
4
tdt xdx
x t
= −
= ⇒ =
= ⇒ =
I =∫ x x + dx=∫ x x + xdx=∫ t − t tdt
2 2
t t dt
∫
3 15
Bài 4 Tính các tích phân sau:
a)
2
2 1
1
x
1
0
d 3
x x
x
− +
=
+
Lời giải
a) Ta có
Đặt t= 3x3+ ⇒ =1 t2 3x3+ , suy ra 1
2 2
2
2 3
3
2
9 1
1 3
3
tdt x dx tdt x dx
t
t x
x
= ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó
5
Vậy 2 1ln 2
3
I = +
Trang 16b) Đặt 2
t= − ⇒ = −x t x, suy ra 2 2 2 2
tdt dx tdt dx
= ⇒ =
= ⇒ =
.2
1 3
0
12 11ln 2 13 ln 2 2 ln 2 13 ln 3
t
t
Vậy 40 2 ln 2 13 ln 3
3
Bài 5 Tính các tích phân sau:
a)
3
2 0
2 d 1
x
−
=
−
2 2
3
d
x
=
Lời giải
2 2
−
−
tdt xdx tdt xdx
Đổi cận:
= ⇒ =
1
1
t
24
I = −
tdt xdx tdt xdx
= ⇒ =
Trang 17Khi đó
( )( )
2
2
Vậy 1(2 ln 5 3 ln 2 )
3
Bài 6 Tính các tích phân sau:
1
0
I =∫ x− x−x x b)
2 0
d 1
x x x
x x
=
− +
Lời giải
I =∫ x− x−x x− dx=∫ x − x+ x−x x− dx
Đặt t= 2x−x2 ⇒ =t2 2x− x2
= ⇒ =
= ⇒ =
1
2
1
I = − − +t t tdt= t −t dt= − = −
1
− = −
= ⇒ =
= ⇒ =
3 2
t
Bài 7 Tính các tích phân sau:
a)
1
4
d
x
x
−
2 3
2 5
d 4
x I
x x
=
+
Lời giải
Trang 18a) Ta có
2
tdt xdx tdt xdx
= ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó
2
3
0
+
−
−
b) Ta có
I
xdx tdt xdx tdt
= ⇒ =
Khi đó
2 2
1
4
+ − −
−
3 3
= ∫ − − + = − − + =
4 3
I =
Bài 8 Tính các tích phân sau:
a)
4 1
3
d
x x
x
−
3 3 2
3
1
d
2
x I
=
−
∫
Lời giải
Trang 19a) Ta có
3
x x
−
3
2
−
Đổi cận:
1
2 3
= ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó
2
0
t
I = − ∫ t t dt= ∫ t dt= =
b) Ta có
6
I
x x
Đặt
3
3
3
2 1
x t
=
2 2
2 3
2 1
t
t
−
=
Đổi cận: x= ⇒ =1 t 1; 3
3
x= ⇒ =t
3
2
1 2
3
3
1
3
2
2 1
t
t t
−
+
Nhận xét Bài 8 có sự phân tích đặc biệt khéo léo mới sử dụng được phương pháp đặt ẩn phụ Nói chung bài này thuộc dạng khó nên chỉ mang tính chất tham khảo thêm
Bài toán 3 Dạng dx
ax+ +b cx+d
Phương pháp: Đặt t= cx+d , đưa về dạng ( )
( )d
P x x
Q x
Bài 9 Tính các tích phân sau:
a)
3
0
3 d
x
−
=
+ + +
4
0
1 d
x
x
+
=
Trang 20Lời giải
t= x+ ⇒ = +t x , suy ra 2 2
1
tdt dx
x t
= −
= ⇒ =
= ⇒ =
2
1
3
6 6 ln 1 3 6 ln
2
Vậy 3 6 ln 3
2
I = − +
b) Đặt t= 2x+ ⇒ =1 t2 2x+1, suy ra 2 2
1
tdt dx tdt dx
= ⇒ =
= ⇒ =
2
1
2
= ∫ + = ∫ − + − +
3
1
= − + − + = −
Vậy 13 ln 2
3
Bài 10 Tính các tích phân sau:
a)
( )
0
d
x
=
6
2
d
x I
=
∫
Lời giải
a) Đặt t= x+ ⇒ = +1 t2 x 1, suy ra 2 2
1
tdt dx
x t
= −
= ⇒ =
= ⇒ =
( )
2
2
1
t
+