Các phương pháp giải bài tập giải tích 12: Phần 1 (Bản năm 2010)

Phần 1 tài liệu Giải bài tập giải tích 12 giới thiệu tới người đọc các kiến thức căn bản, phương pháp giải các bài tập và một số bài tập trắc nghiệm về: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit. Mời các bạn cùng tham khảo.

NGUYEN VO THANH - TRAN MINH CHIEN

GIAI BAI TAP

NGUYỄN VŨ THANH - TRẦN MINH CHIẾN

Giai bac

Quyển sách GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 này

được biên soạn theo chương trình sách giáo khoa

hiện hành, nhằm giúp các em có tài liệu tham

khảo để ôn tập, củng cố kiến thức, đồng thời vận

dụng để làm những bài tập có dạng tương tự hoặc nâng cao đạt kết quả tốt

Quý thầy cô và quý phụ huynh có thể xem

quyển sách này như tài liệu tham khảo thêm Chúng tôi mong đón nhận ý kiến xây dựng từ quý độc giả

TÁC GIẢ

G81 GIẢI TCH12 3

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A KIEN THỨC CĂN BẢN

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa: K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

a) Néu f(x) > 0 vdi moi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

b) Nếu f{x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

II QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1

2

3

4

Tim tap xac dinh

Tính đạo hàm f(x) Tìm các điểm x, (i = 1, 2, , n) ma tai dé dao ham

bang O hoac khéng xac định

Sắp xếp các điểm x, theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a)y=4 +4 3x- x? boy = px" + Bxt~ Tx -2

‹

c)y =x! — 2x? +3 d) y =-x" +x? - 5

GBT GIẢI TÍCH 12 5

6

Gjiat

a) Tập xác dịnh: D = &

95 y'=ð3-2x;y=0<>3-2x=0<»x= XU 8)

Bang bién thién:

a) Tap xac dinh: D= <= \ {1}

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-z; -3), (=3; 3) (3; +z)

Chứng minh rằng hàm số y = Ta đồng biến trên khoảng: (-1; l);

Do đó fix) đồng biến trên (0: 5 )

Với D<x< ; ta cé fix) > (0) = 0 -+ tanx > x; Vx © (0; 2)

G81 GIẢI ríCHv2 9

Hung ddan x? +2x—-m’?-m+2 e

§2 CUC TRI CUA HAM SO

KIEN THUC CAN BAN

KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng ((a b) (có

thé ala —»x; bla +x) và điểm xạ c (4; b)

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho í(x) < f(x;) với mọi x c (Xọ - h; Xo ~ MH) và

X # xạ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại xo

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(xo) vai moi x © (Xo — h, Xo ¬ !) và

x # Xọ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại xạ

ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = (xạ - h; Xọ + h) v:à :ó đạo

hàm trên K hoặc trên K\{xọ}, với h > 0

a) Nếu f '(xo) > 0 trên khoảng (xạ - h; xạ) và f '(x) < 0 trên khoảng) (:o; Xe +

h) thì xạ là một điểm cực đại của hàm số f(x)

b) Nếu f '(x) < 0 trên khoảng (xọ - h; xọ) và f (x) > 0 trên khoảng (%ọ; ›Xo + A) thi

xọ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

Quy TAC TÌM CỰC TRI

a) Dinh li 2 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng

G8T GIẢI TÍCH 12

(Xy) - hy Xy +h) vor h > O

Khi đó: a) Nếu † (Xe) = 0; f (xg) > O thì xạ là điểm cục tiểu;

b) Nếu † “(xo) = 0;† “(xe) < O thì xạ là điểm cực đại

b) Cac quy tắc tìm cực tri

Quy tac I

* Tim tap xac dinh

2 Tính f(x) Tìm các điểm tại đó f(x) bằng 0 hoặc f(x) không xác định

4 Dựa vào dấu của f ”(x,) suy ra tính chất cực tri của điểm x

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1 Ấp dụng quy tac I, hay tìm các điểm cực trị của các hàm sô sau:

Hàm số đạt cực đại tai x = -3 va yep = 71

Ham s6 dat cuc tiểu tại x = 2 và yer = -54

Hàm số có điểm cực tiểu tại x = 0 và ye+ = —3

Hàm số đạt cực đại tại x = -1, yep = =9

Hàm số đạt cuc tiéu tai x = 1, yer = 2

d) Tap xadc dinh: D=&

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yer = 0

e) Vix?-x+1>0, Vx e ®$ nên tap xde dinh: D = &

Hàm số đạt cực tiểu tại x = ; „ YCT = 3

2 Ap dung quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

12 cgroili rícH tz

why = x) - 2x’ + 1; bry ui sin2x ~ X;

y0) = -4 <0, hàm số đạt cực đại tai x = 0; yep = 1

y+10 <=8>0, hàm số đạt cực tiêu tại hai điểm x = +1, yer= 0

b) Tap xae dinh: D = š

d) Tập xác định: D = x

y' = 6x‘ - 3x” — 2,y' =0 co XÃ = lc>xe= tl

y”= 20x” - 6x y“(1) = 14 >0 Do đó hàm số đạt cực tiêu tại x = 1

y"(-1) = -14 < 0 Do dé hàm số đạt cực đại tại x = -1

3 Chứng minh ham sé y = Vixl không có đạo hàm tai x = O nhung “an dat

cuc tiéu tai diém do

4 Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số y = x” — mx — 2x +

1 luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

Gjidi

Ta có y' = 3x” - 2mx — 2

A=m”+6>0Vm c s nên phương trình y' = 0 luôn có hai nghiện phân

biệt và y' đổi đấu khi qua các nghiệm đó Do đó hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu

5 Tìm a và b đê các cực trị của hàm số y = nã x” + 2ax” — 9x + bdéu la những số dương và xạ = “3 la diém cuc dai

Tuy theo a hãy tìm cực trị của hàm số:

a

a) y = x — 2ax* + a°x; bby=x+—

x

Cho ham so y = 1 3 _ mx? + (m? — m + Ue + 1, Xée dinh m dé him s6

dat cuc tiéu tai x = 1

Định m để hàm số y = 2x” - 3(2m + 1)x” + 6m(m + 1)x + 1 dat cu đại,

cực tiểu tại xị, xa Chứng minh rằng khi đó x; - x¡ không phụ thuộc vo m

Đáp số: xị = m; x; = m + 1

x? +2x+m Chứng minh rằng hàm số y = “ a luôn luôn có một cực đại va

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(›) < M

với mọi x thuộc D và tổn tại xạ c D sao cho f(xẹ) = M

GBT GIẢI TÍCH 12

2 Tinh f(a), f(x:), (xạ), ., (xa), f(b)

3 Tim số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ta có:

M = maxf(x), m= minf(x)

[a:b] [a: b]

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1.Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a)y =x'`~ 3x” -— 9x + 35 trên các đoạn [=4; 4| và [0; 5]

Ta có: y(—4) = -41; y(4) = 15; y(—1) = 40; y(3) = 8

Vậy: max y=40; min y= -41

xe[-4;4] xe[-4;4]

* Xét D = [0; 5]

y'=3x”— 6x— 9;y' =0 <2

x=3cD y=0<»

x=-l#D

Ta có: y(0) = 35; y(5) = 40; y(3) = 8 \

Vậy: maxy = 40; miny = 8

* Voi D = [2; 5] thì x = 0; x = + V5 đều không thudc D nén: y(2) = 6; y(5) = 552

Vay miny =6; maxy = 552

p dat gia tri nho nhat <> x = 4 V3 , minp = 16 v3

Vậy khi hình chữ nhật trở thành hình vuông thì chu vi nhỏ nhất

a) Tap xdc dinh: D = %

Ta cé |x! > 0 với Vx c +, dấu bằng xay ra khi x = 0 Vay miny = 0

carciditicn12 19

3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của cdc ham s6 sau day trong daam da

I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn

Đường thẳng y = yọ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) néu:

lim f(x) =Yp hoặc im f(X) = Yo

Il DUONG TIEM CAN DUNG

Đường thẳng x = xọ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) néu:

20 ssroiAiricn:2

B

1

lim Í(x) =+z hoặc lim f(x) = + hoac

X »Xó X >Xo lim Í(x) =—z hoặc lim f(x) = +%

C BAI TAP LAM THEM

1 Tìm các tiệm cận đứng và ngang của dé thị mỗi hàm số sau:

2 Xét chiều biến thiên của hàm số

a) Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm sé

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)

b) Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàn ‹của h¿m

22 carGiAi TịcH t?

số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nêu có), điền các kết quả vao bang

3 /ẽ đồ thị của hàm số

Võ các đường tiêm cận của đồ thi (nếu có)

Xác định một số điểm đặc biệt của dé thi, chang han tim giao điểm của

đô thị với các trục tọa độ (Trong trường hợp đô thị không cắt các trục tọa

đô hoặc việc tìm tọa đô giao điểm phức tạp thi bỏ qua phân này)

II BO THI HAM SO BAC BA y = ax’ + bx? + cx +d (a # 0)

Phương trình

V BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Cho phương trình f(x, m) = 0 (1) (m là tham số)

Đưa (1) về dang: f(x) = m (2)

, =f 6 dé thi (C) ˆ

d là đường thẳng song song trục tung tại tung độ y = m

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (c) va d

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

Hàm: số luôn đồng biến và không có cực trị

lim y =+z, lim y = ~z, đồ thị hầm số không có tiệm cận O X

biến trên tập xác định và không có cực trị

lim y=~-z, lim y= +x, dé thi ham sé

X ~% 0 +2 :

ở + ————-—— , _„ G8T GIẢI TIcH2 25

2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau;

x=tl (y=1) lim y = +x

d¿ Tạp xác định: D = +

y'.= -4x - 4x” = -4x(1 v' il 0 c>x= Oly =3)

16 thi cat truc Ox tai x = +1

3 Khao sá: sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:

lim y =-x; lim y = +z nên x= 1 là tiệm cận đứng

x ol xol*

lim y = 1 nén y = 1 1a tiém can ngang

X +†z

Điểm dac biét: x = 0 -> y = -3

Bang bién thién va dé thi

lim y =-—z; lim y = +z nên x = 2 là tiệm cận đứng

x22" x->2

lim y=~—1 nén y = -1 1a tiém can ngang y

X-+1/

" - Sa 1

Diémdac biét: x =0 >y = -

Vv LH +7 | ae =]

G8T GIẢI TÍCH12 27

X= (y = -1)

28 — Garaidrricn 12

Đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (C) hàm số y = —x* + 2x* tai hai diém

phân biệt nên phương trình —x” + 2x” = -1 có hai nghiệm phân biệt Khảo sát sự biến thiên và vẻ đồ thị (C) của hàm số y = -x” + 3x + 1

Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo

tham số m,

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số luôa đồng

biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Xác định m để tiệm cận đứng của đô thị qua A(-1; v2)

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2

Gidi

a) TXD: D = % \ 2 |

to tet = >0, Vm © XR va Vx # - m

Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Tacó lim y=-z;, lim y =+z

x¬{ _m Ỷ x¬[- mì

\ 2) 2 }

m , ˆ 2 › + ˆ

Suy ra x = — 2 là tiệm cận đứng của đồ thị

Tiệm cận đứng qua A(-1; V2 ) khi - 7“ -l<»m=2 y

Viết phương trình tiếp tuyển của (C) tai diem co tung do bang

Phương trình tiếp tuyển qua A là v -

Phương trình tiếp tuyến qua l3 là y -

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = ~1

x’ + (m + 3)x? + 1 - m;

b) Xác định m để đô thị (C„„) cắt trục hoành tại điểm x = -2

a) làm số có điểm cực đại x = —1 khi và chỉ khi

Jy( 10-0 <> JAC 1 + 2an + 3) 1) 0 ; = 2m - 3 :0

5 b) (C,,) ct truc hoanh tai x = -2 <> -8 + 4(m +3) + 1=0¢s3 ms — n

9 Cho hàm số y = KH CHẾ," (m là tham số) có đồ thị là G

x-1

a) Xác định m để đường cong (G) đi qua điểm (0; -1)

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đô thị trên tại giao điểm củ¿a nó với

Tiệm cận đứng: x = 1; tiệm cận ngang y = 1 y

Bang bién thién va dé thi

* = =

y 1 > oN 1 +0 — x ï *

c) Giao điểm của (G) với trục tung là M(0; -1) \

"=——> =y(0)=-2 res ened

Phương trình tiếp tuyến tại M là y + 1 = -2x hay y = -2x - ]

C BÀI TẬP LÀM THÊM

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị các hàm số:

a)y =xXx”— 3x — 1; by = % - x41; chy = X42 d)y= a

2 Cho hàm số y = x” - (m + 4)x” - 4x + m (1)

a) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số (1) luôn có cực trị

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi m = 0

c) Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx tai ba điểm phân biệt

3 Cho hàm số y = x‘ — mx” + m — 5 (2)

a) Xác dinh m dé dé thi (C,,) cua ham số (2) có ba cực trị

b) Khảo sát va vẽ đồ thị (C;) hàm số ứng với m = 2

32 _ agroiAiTicnt2

©) Viết phương trình tiếp tuyên của (C,) song song với đường thang

v=394x- 5

` : 2x+]

4 Cho ham so y =

x +]

a) Khảo sát sự biến thiên và vẻ đồ thị hàm số

b) Tìm trên đồ thị những điềm có tông khoảng cách đến hai tiệm cận nho nhất

Dap s6: M\(O; 1), MA-2; 3)

_ ` s8 axtb „

5 Tim ham so y = biết:

cxtd

đồ thị có tiệm cận dung x = 1, tiém cận ngang y =

đồ thị đi qua điểm A | 0; - 2 \ ‘

5 Cho ham số y = 2x” + 2mx + m - 1 có đồ thị là (Cạ), m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

b) Xác định m để hàm số: Đồng biến trên khoảng (-1;+z) +

1) Có cực trị trên khoang (~1; +z) e' Chứng mình rằng (C¿) luôn cất trục hoành tại hai điểm phân biệt với

Đồ thị đi qua O(0; 0), A(—1; 0)

¡_ Hàm số đồng biến trên khoảng (—1; +) khi và chỉ khi - = <-lom2>2

ii) Ham s6 c6 cue tri trén khoang (-1; +90) khi va chi khi -1 < — 5 <>1In <£

c) Phương trình hoành độ giao điểm cửa (Cmạ) với trục hoành

2x? + 2mx + m-1=0 Tacó: A'=m2-2m+2=(m-1+1>0,Vme

Vậy (C„) luôn cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt

6 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị (C) của hàm số Ñx) = —x” + 3x” + 9x + 2

7 a) Khao sat sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của ham so y = x” + 3x” + 1

b) Dua vao dé thi cua (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m:

b) Số nghiệm của phương trình xỶ + 3x? + 1 = ¬ là số giao điểm của đổ

thi (C) va đường thẳng (đ) có phương trình y = >

Dựa vào đồ thị ta có:

i) n < 1 hoac > 5 <> m < 2 hoặc m > 10: phuong trinh cé 1 nghiém ii) = = 1 hoac > = 5 <> m = 2 hoặc m = 10: phương trình có 2 nghiệm ii) 1 < 5 <5<+»2<m< 10: phương trình có 3 nghiệm

e) Điểm cực đại A(-2; 5), điểm cực tiểu B(0; 1) Đường thẳng qua A, B có

phương trình là:

SY Ys i X= Xp ; ¥=1 ss x oye -9x+ 1

Yx~Yp Xa ~Xp 4 -2

§ Cho hàm số: f(x) = x” - 3mx” + 3(2m — 1)x + 1 với m là tham số

a) Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định

b) Xác định m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu

©) Xác định m sao cho f "{x) > 6x

G8T GIẢI TÍCH12 35